METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

1.5. EXERCICES 15
Donner la valeur de P 5 avec quatre décimales. Pour la loi initiale ¹ 0 = (1;0; 0; 0); de combien
¹ 0 P 10 di¤ère-t-elle de ¼ ?
Exercice 1.2 Irréductible et apériodique ) régulière
Montrer directement que si P est une matrice de transition …nie, irréductible et apériodique,
P est régulière.
Exercice 1.3 Transition particulière sur un espace produit
Soit une chaîne de transition P sur E = f0;1;2;3;¢¢¢ g. On dé…nit la transition R sur E£E :
r (i;j);(k;l) = p ik p jl
(i) Montrer que r (n)
(i;j);(k;l) = p(n) ik p(n) jl
.
(ii) Montrer que si P est irréductible et apériodique, il en est de même pour R.
Exercice 1.4 Un modèle de météorologie markovien
Un régime météorologique est décrit par les trois états : s =soleil, n =nuageux et p =pluie,
et, pour les états pris dans cet ordre, par la matrice de transition :
0
1
0:5 0:5 0
P = @ 0:5 0:25 0:25 A
0 0:5 0:5
La chaîne est-elle irréductible ? apériodique ? régulière? Déterminer sa loi invariante ¼. La chaîne
est-elle ¼ réversible ? Sur la base des divers contrôles de la vitesse d’ergodicité (diagonalisation,
contraction, coe¢cient de contraction (cf. chapitre 3)), évaluer kºP n ¡ ¼k. Déterminer N t.q.,
pour toute loi initiale º :
sup j ºP n (j) ¡ ¼(j) j< 10 ¡3
n¸N;º;j
Exercice 1.5 Irréductibilité et apériodicité sur un espace dénombrable
Vis à vis de l’irréductibilité, de l’apériodicité et de la régularité, que penser d’une matrice
de transition P dont la première ligne et la première colonne sont > 0?
Exercice 1.6 Transition ayant “le mal du pays”
(1) Une matrice de transition est doublement stochastique (D.S.) si la somme de chacune
de ses colonnes est 1. Véri…er que si P est D.S., la loi uniforme est invariante pour P. Si ¼ est
l’unique loi invariante de P, démontrer l’équivalence : P est D.S. et réversible, P est symétrique.
(2) Soit la marche aléatoire sur E = f1; 2; 3;4g à barrières ré‡échissantes, de transition
P =
0
B
@
0:5 0:5 0 0
0:5 0 0:5 0
0 0:5 0 0:5
0 0 0:5 0:5
P est-elle réversible? P est-elle régulière?
(3) On dit d’une transition qu’elle “a le mal du pays” si elle véri…e (R)
(R) : 8i;j, p ii ¸ p ij
D’autre part, on dit qu’une transition est invariante par permutations si tout couple de lignes
s’échange par permutation des colonnes, (P) : 8i 6= l, 9¾ t.q.8k; p l;k = p i;¾(k) .
(3-1) Véri…er que pour P dé…nie en (2), P et P 2 véri…ent (P).
(3.2) Démontrer que si P est symétrique et véri…e (P), P 2 véri…e (R) (utiliser l’inégalité du
produit scalaire). Pour P dé…nie en (2), montrer que P 4 véri…e (R).
1
C
A