METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

Chapitre 3
Chaîne inhomogène et recuit simulé
Une chaîne de Markov inhomogène sur un espace d’état …ni E est un processus de Markov
dont la probabilité de transition à l’instant k dépend de k
P(X k+1 = j j X k = i) = P k (i;j)
Une chaîne inhomogène est donc caractérisée par sa loi initiale º et la suite de ses transitions
(P k ) k¸0 . La loi de (X 0 ;X 1 ;¢¢¢ ;X n ) est
n¡1
Y
P(X 0 = x 0 ; X 1 = x 1 ; ¢¢¢ ;X n = x n ) = º(x 0 ) P k (x k ;x k+1 )
la loi de X n étant donnée par le produit matriciel ºP 0 P 1 ¢¢¢ P n¡1 .
Utilisant la notion de coe¢cient de contraction d’une transition P (Dobrushin [26]; [92],
[47], [106]), nous commencerons par établir des critères d’ergodicité pour une chaîne de Markov
inhomogène.
Ensuite, nous présenterons la méthode et les résultats du Recuit Simulé. On montrera qu’à
un problème d’optimisation général :
Optimiser U : E ¡! R
peut être associé canoniquement, pour un schéma de température (T k ) convergeant vers 0 et une
dynamique donnée, une chaîne de Markov inhomogène se concentrant sur les états réalisant le
maximun de U. La recherche du maximun de U est alors liée de l’étude de l’ergodicité de cette
chaîne inhomogène.
k=0
3.1 Coe¢cient de contraction de Dobrushin
3.1.1 Préliminaires
Commençons par établir quelques propriétés préliminaires. Soit ¹ une mesure sur E. La
norme en variation de ¹ est dé…nie par
k¹k , X x2E
j¹(x)j = k¹k 1
On a la propriété,
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