METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

3.1. COEFFICIENT DE CONTRACTION DE DOBRUSHIN 43
Proposition 3.3 Deux expressions de c(P):
(1) c(P) = 1 ¡ min x;y
Pz
inffP(x;z);P(y; z)g.
(2) c(P) = 1 2 max x;y max h:jhj1 jPh(x) ¡ Ph(y)j
Preuve : Pour (1) (resp. (2)) on utilise la description (2) (resp. (3)) de la proposition 3.1 décrivant
la norme en variation. ¤
En particulier, si "(P) = inf x;z P(x; z) et r = card(E), on a la majoration :
c(P) 1 ¡ r"(P) (3.2)
Cette majoration est simple et importante du point de vue théorique. On a par ailleurs les
propriétés de contraction suivantes,
Proposition 3.4 Soient ¹, º deux lois sur E et P; Q deux transitions sur E.
(1) kºP ¡ ¹Pk c(P) kº ¡ ¹k
(2) c(PQ) c(P)c(Q)
° En conséquence, si P est ergodique de loi invariante ¼, alors, pour toute loi initiale º; t 7!
°ºP t ¡ ¼ ° est une fonction décroissante de t.
Preuve :
(1) kºP ¡ ¹Pk = max jhj1 j(ºP)h ¡ (¹P)hj. Mais :
(¹P)h = X z
(¹P)(z)h(z) = X z;x
¹(x)P(x; z)h(z) = X x
¹(x) X z
P(x;z)h(z) = ¹(Ph)
Ainsi,
kºP ¡ ¹Pk = maxjº(Ph) ¡ ¹(Ph)j
jhj1
kº ¡ ¹k £ max f1
jhj1 2 max jPh(x) ¡ Ph(y)jg = c(P)kº ¡ ¹k
x;y
(2)
c(PQ) =
1 2 maxkPQ(x;:)
¡ PQ(y;:)k = 1 x;y 2 max kP(x;:)Q ¡ P(y;:)Qk
x;y 1
2 maxkP(x;:)
¡ P(y;:)kc(Q) = c(P)c(Q) (point (1)) x;y
¤
Le résultat suivant contrôle l’oscillation de Pf et compare les valeurs propres de P à c(P);
Proposition 3.5 Oscillation de Pf , valeurs propres de P et c(P):
(1) ±(Pf) c(P)±(f)
(2) Soit ¸ 6= 1 une valeur propre de P. Alors, j¸j c(P) 1 ¡ r"(P)
Preuve :
(1) Pour deux lois ¹ et º, j¹(f) ¡ º(f)j 1 2
±(f)k¹ ¡ ºk. Choisissant ¹ = P(x;:) et º = P(y;:),
on obtient :
j(Pf)(x) ¡ (Pf)(y)j 1 ±(f)kP(x;:) ¡ P(y;:)k
2
Il su¢t de prendre le maximun en x;y pour obtenir (1).
(2) Soit ¸ une valeur propre de P, f 6= 0 une valeur propre associée, Pf = ¸f. f n’est pas
à coordonnées constantes si ¸ 6= 1 : en e¤et, si f était à coordonnées constantes, P étant une