METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

3.2. OPTIMISATION PAR RECUIT SIMULÉ 51
Les deux résultats précédents de convergence du RS dans les deux contextes de la dynamique
de Gibbs et de la dynamique de Metropolis donnent des conditions su¢santes non-optimales de
convergence du recuit simulé. Obtenir une condition nécessaire et su¢sante d’ergodicité forte
sur la suite (¯k) est beaucoup plus di¢cile.
Décrivons une telle condition obtenue par Hajek [50] dans le contexte de le dynamique
de Metropololis. Q est supposée symétrique dé…nissant la relation de Q-voisinage : x » y ,
Q(x;y) > 0. L’ensemble E¤ loc des minimums locaux est l’ensemble des x t.q. U(x) U(y) si
x » y. La profondeur d(x) d’un minimun local x 2 E¤ loc est
d(x) = inffd > 0 : 9y t.q. U(y) < U(x) et 9 x à y de niveau U(x) + dg
où x à y est un chemin qui va de x à y : pour sortir du puits local de U en x a…n d’aller vers y,
plus bas que x (U(y) < U(x)), on peut trouver un chemin qui ne monte pas à plus que U(x)+d.
On dé…nit alors la profondeur maximum du paysage de l’énergie U par :
D = maxfd(x);x 2 E loc
¤ nE ¤g
La condition nécessaire et su¢sante de convergence du RS est :
Proposition 3.14 Condition nécessaire et su¢sante de convergence du RS (Hajek, [50])
lim P(X k 2 E ¤ j X 0 = x 0 ) = 1 () X exp¡fD¯kg = +1
k!1
k¸0
On remarque que D M¢. Pour la suite ¯k = ° log k, le résultat de Hajek implique bien le
résultat précédent puisque ° (M¢) ¡1 D ¡1 .
Exemple 3.2 Lissage de courbe (suite)
Reprenons l’exemple 3.1. Supposons que l’espace d’état F est l’intervalle [¡5;+5] discrétisé
à pas 0:1 (F a 101 éléments): Soit " petit (" = 0:1). La proposition de changement x 7! z est la
suivante :
(i) on décide de ne rien changer avec la probabilités "
(ii) on choisit au hasard i 2 S = f0;1;2;¢¢¢ ;ng et on change la valeur x i 7! z i en ce seul
site i de §0:1 si x i =2 f¡5;+5g, ou z i 2 fx i ou x i § 0:1 si x i = ¨5g; cela avec la probabilité
Q(x;z) = 1¡"
2n ;
(iii) Q(x;z) = 0 sinon.
Q est symétrique, régulière, M 101 £ (n + 1). Un calcul direct de ¢U = U(z) ¡ U(x),
conditionnel à y, donne :
¢U = °(z i ¡ x i )[(z i + x i )(6 + ° ¡1 ) ¡ 2y i ¡ 8(x i¡1 + x i+1 ) + 2(x i¡2 + x i+2 )]
On garde z i avec une probabilité 1 si ¢U 0, et sinon avec la probabilité e ¡¯k¢U .
Exemple 3.3 Un problème de recouvrement
On dispose de N segments de longueurs l i > 0;i = 1;N avec lesquels on veut recouvrir
sans chevauchement ni dépassement un intervalle de longueur L < l 1 + l 2 + ¢¢¢ + l N . Notons
S = f1;2;¢¢ ¢ ; Ng, E = fA ½ S : A 6= ; et P i2A l i Lg et U(A) = P i2A l i. Recouvrir au
mieux l’intervalle [0;L] revient à optimiser U sur E. On va décrire l’algorithme de Metropolis
pour la transition de proposition Q(A;B) suivante :
(i) Choisir un s uniformément dans S:
½ Si s 2 A; passer à B = Anfsg
(ii) Les seuls changements A 7! B sont :
Si s =2 A, passer à B = A [ fsg