METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

1.3. RÉVERSIBILITÉ ET MESURE INVARIANTE 13
1.3 Réversibilité et mesure invariante
Les transitions ¼-réversibles vont jouer un rôle important dans la construction des algorithmes
de simulation.
On dit que la transition P sur E est ¼-réversible si elle véri…e l’équation de bilan détaillé :
8i;j 2 E : ¼ i p ij = ¼ j p ji (1.3)
La première conséquence est que ¼ est loi invariante pour P. En e¤et, on a pour tout j :
Pi ¼ ip ij = P i ¼ jp ji = ¼ j
P
i p ji = ¼ j , c’est à dire ¼P = ¼. Aussi, chaque fois que l’on construira
une transition véri…ant (2.3), on saura que ¼ est invariante pour cette transition.
La deuxième remarque concerne la loi de (X 0 ; X 1 ) : si la loi initiale est X 0 » ¼ et si la
transition de la chaîne est P, alors la loi du couple (X 0 ; X 1 ) est symétrique ; en e¤et :
P(X 0 = j;X 1 = i) = ¼ j p ji = ¼ i p ij = P(X 0 = i;X 1 = j)
En particulier, la transition de X 1 à X 0 est encore P
La chaîne X, de loi initiale ¼, est réversible.
P(X 0 = i j X 1 = j) = P(X 0 = i;X 1 = j)
P(X 1 = j)
= p ji
1.4 Ergodicité pour un espace d’état général
Nous présentons ici les résultats d’ergodicité qui nous semblent à la fois les plus utiles et
les plus faciles à manipuler. Dans le contexte de ce cours, on supposera toujours connue la loi
invariante de la transition (on veut simuler ¼ donnée, et on aura construit P de telle sorte que ¼
soit invariante pour P). Aussi l’objectif visé est très di¤érent de celui en modélisation aléatoire
où la question préliminaire qui se pose est de reconnaître quand une chaîne de transition P
admet une loi invariante et une solution stationnaire (cf. Meyn-Tweedie [75],Du‡o [29], Tweedie
[102]).
Les résultats d’ergodicité pour un espace discret sont exposés dans Feller ([30], tome 1) et
Isaacson et Madsen [53]; ceux relatifs à un espace d’état général (du type E = R p ) sont étudiés
par Tierney ([98], [99]).
La notion d’irréductibilité reste inchangée pour un espace discret in…ni. Par contre, elledoit
être redé…nie pour un espace d’état général. Modulo cette notion, on dira que le noyau de transition
P, ¼-irréductible, est périodique si il existe un entier d ¸ 2 et une suite fE 1 ;E 2 ;¢¢¢ ;E d g
de d événements non vides t.q., pour i = 0; 1; ¢¢¢ ;d ¡ 1 et x 2 E i ,
Sinon, on dira que P est apériodique.
1.4.1 Espace d’état discret
P(x;E j ) = 1 pour j = i + 1 (mod d)
C’est le cas où E est …ni ou dénombrable, muni de la tribu de toutes ses parties. Considérons
une chaîne de transition P.
Proposition 1.5 ([30], tome 1, p. 394; [53], Théorème III.2.2)
Soit P une transition irréductible et apériodique sur un espace discret E. Alors les deux
propositions suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe une loi invariante ¼ pour P.
(ii) P est ergodique : 8º; ºP n ! ¼
De plus, la loi invariante est unique et ¼ > 0.