METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

2.4. EXERCICES 37
Exercice 2.9 Echantillonneur de Gibbs gaussien : une approche directe [112]
Reprenons les notations du paragraphe relatif à la simulation d’un vecteur gaussien ¼ » N n (0; §),
de matrice de covariance inverse Q = § ¡1 = (q ij ). Considérons la situation de balayages périodiques
1 7! 2 7! ¢¢¢ 7! n de S. Si X(k) est l’état au temps k, et X(k + 1) celui au temps k + 1
après relaxation au site i = i(k), on a
X i (k + 1) » N(¡ 1 X
q ij X j (k); 1 )
q ii q ii
Si on se donne un état initial X(0) = x(0) 2 R n , X(k) est un vecteur gaussien pour tout k. Il
su¢t donc de montrer que la moyenne M(k) et la variance §(k) de X(k) tendent respectivement
vers 0 et § lorsque k ! 1.
Soient A i = I ¡ B i où B i est la matrice n £ n avec toutes ses lignes nulles sauf la ième ligne
valant q
ii ¡1 (q i1 ;q i2 ;¢¢¢ ;q in ). Soit S i la matrice n £ n à coe¢cients tous nuls sauf le terme (i;i)
égal à q ii ¡1 .
(1) Véri…er que (X i (k + 1) j X(k)) » N(A i X(k);S i ). En déduire que :
M(k + 1) = A i(k) M(k) et §(k + 1) = S i(k) + A i(k) §(k) t A i(k)
(2) La loi ¼ étant invariante pour un pas de l’échantillonnage, en déduire que
j6=i
§(k + 1) ¡ § = A i(k) (§(k) ¡ §) t A i(k)
Ainsi, l’ergodicité de l’échantillonneur de Gibbs sera assurée par la convergence
A(k) = A i(k) A i(k¡1) ¢¢ ¢A i(0) ! 0 pour k ! 1
(3) Soit hx;yi Q la norme induite par Q, k:k Q
la norme matricielle correspondante. Montrez
que pour ce produit scalaire, A i et B i sont des projecteurs orthogonaux. Démontrer que
kA(n)k Q
% < 1. En déduire l’ergodicité de l’échantillonneur de Gibbs.
Remarque : ce résultat s’étend à des balayages non nécessairement périodiques, à condition
que chaque balayage recouvre S et que le nombre de pas d’un balayage soit borné [112].
Exercice 2.10 Echantillonnage synchrone, loi virtuelle ¹ associée à ¼
(1) La loi virtuelle ¹ di¤ère en général de ¼. Soit F = f0;1g et S = f1;2g et ¼ dé…nie sur E
par : ¼(0;0) = ¼(1;1) = 0:1 et ¼(0;1) = ¼(1;0) = 0:4. Expliciter le noyau de Gibbs asynchrone
P et le noyau de Gibbs synchrone Q. Véri…er que ¼Q 6= ¼.
(2) Explicitation de la loi virtuelle pour le modèle d’Ising aux p.p.v..
Dans le contexte suivant, on va pouvoir expliciter la loi virtuelle ¹. ¼ est un modèle binaire à
états f0;1g sur S = f1; 2;¢ ¢¢ ;ng munie d’un graphe de voisinage h:;:i; de densité
¼(x) = Z ¡1 exp¯ X
x i x j
(2.1) Véri…er que la loi conditionnelle en i est
hi;ji
¼ i (x i j x i ) = ex iv i (x)
1 + e v i(x) où v i(x) = ¯ X
j:hi;ji
(2.2) Déterminer le noyau d’échantillonnage synchrone Q. Véri…er que la loi ¹
Y n
¹(x) = ¡ ¡1 [1 + e vi(x) ]
i=1
x j