METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

2.4. EXERCICES 35
² Avec une probabilité p(x); on ajoute un point » choisi sur S avec une densité b(x; :) :
y = x [ »:
² Avec la probabilité 1 ¡ p(x), on retire l’un des points ´ de x avec la probabilité d(xn´;´),
´ 2 X : y = xn´:
Cela laisse un très grand choix pour la transition de proposition.
(ii) La probabilité d’acceptation de y est a(x; y) = minf1;r(x;y)g où
(
r(x;x [ ») =
f(x[»)
f(x)
r(x;y) =
1
r(y;xn´)
1¡p(x) d(x;»)
p(x)
b(x;») si y = x [ »
si y = xn´ avec ´ 2 x
Par exemple, si p(x) = 1 ¡ p(x) ´ 1 1
2
, si b(x; ») ´ et d(x;») = 1 jSj n
(
r(x;x [ ») =
f(x[»)
r(x;y) =
f(x)
f(x) n
f(xn´)
jSj
n si y = x [ »
jSj
si y = xn´;´ 2 x
si n(x) = n, on a
L’irréductibilité de q est assurée : pour x et y deux états de E, il existe un chemin de longueur
n(x) + n(y) joignant x à y ; il su¢t en e¤et de passer de x à la con…guration vide ;, et e¤açant
les n(x) points de x point après point, puis, depuis la con…guration vide, de faire apparaître
progressivement les n(y) points de y.
2.4 Exercices
Exercice 2.1 Loi jointe et lois conditionnelles
(1) Une loi jointe positive est caractérisée par ses lois conditionnelles.
Soit ¼ > 0 une loi sur E = F 1 £ F 2 £ ¢¢¢ £ F n , chaque F i étant …ni. Soit ! i un état de référence
pour chaque F i , ! = (! i ). Véri…er que la loi jointe peut être reconstruite à partir de ses lois
conditionnelles sur la base de l’identité
¼(x) = ¼(!)
nY
i=1
¼ i (x i j ! 1 ;¢¢ ¢ ; ! i¡1 ;x i+1 ;x n )
¼ i (! i j ! 1 ;¢¢ ¢ ; ! i¡1 ;x i+1 ;x n )
(2) En général et sans contraintes, une famille de n lois conditionnelles ne se recolle pas en
une loi jointe.
Soit F 1 = f1;2;¢¢¢ ;m 1 g et F 2 = f1;2; ¢¢¢ ;m 2 g, m 1 et m 2 > 2. On se donne des familles
de lois (X j Y = y) et (Y j X = x) respectivement sur F 1 et sur F 2 , pour y 2 F 2 et x 2 F 1 .
Evaluer la dimension paramétrique de ces deux familles s’il n’y a pas de contraintes. Quelle est
la dimension d’un modèle joint (X;Y ) général sur E £ F ? Conclusions.
Exercice 2.2 Echantillonneur de Gibbs pour un processus bivarié à composantes binaires
Soit S = f1; 2;¢ ¢¢ ;ng 2 le tore bidimensionnel, muni de la relation aux 4-p.p.v., relation
prolongée par périodicité. On considère sur S le processus bivarié Z i = (X i ;Y i ) 2 f0; 1g 2 ;i 2 S
de loi de Gibbs
¼(z) = Z ¡1 exp[ X i2S
© 1 (z i ) + X hi;ji© 2 (z i ;z j )] avec
© 1 (z i ) = ®x i + ¯y i + °x i y i et © 2 (z i ;z j ) = ±x i x j + ´y i y j pour hi;ji
(1) Déterminer les lois conditionnelles suivantes : ¼ i (z i j z i ), ¼ 1 i (x i j x i ;y) et ¼ 2 i (y i j x; y i ).
(2) Construire un échantillonneur de Gibbs utilisant les deux familles ¼ 1 i et ¼2 i ; i 2 S. Etablir
l’ergodicité de cet échantillonneur.