METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

2.3. LA DYNAMIQUE DE METROPOLIS-HASTINGS 33
¼ est invariante pour P. Il faut donc s’assurer de la ¼-irréductibilité et de l’apériodicité de P
pour avoir la convergence
8x 2 E, kP n (x;:) ¡ ¼(:)k VT
! 0
Le fait que la convergence ait lieu pour tout x tient au fait qu’une transition de M.H. est Harris
récurrente (cf. Corollaire 2 de [98]).
Si Q est ¼-irréductible, P l’est aussi. Une condition su¢sante d’apériodicité est
Z
¸fx : 1 ¡ p(x;z)¸(dz) > 0g > 0
C’est à dire, sur un ensemble de ¸-mesure > 0, on ne change pas la con…guration avec une
probabilité > 0.
Exemple 2.12 Simulation d’un Processus Ponctuel de Gibbs sur S = [0;1] 2
Nous présenterons au chapitre 4 les processus markoviens d’objets. Lorsque les objets sont
réduits à un point de R d , on parlera de processus ponctuels. Nous présentons ici ces processus
ponctuels ainsi que leur simulation.
Un processus ponctuel (noté par la suite P.P.) sur S = [0;1] 2 est une variable aléatoire qui
prend ses états x dans l’espace exponentiel des con…gurations E = [ n¸0 S n . Si x = (x 1 ; x 2 ; ¢¢¢ ;x n ),
il y a n = n(x) points de S dans la réalisation du P.P., l’ordre d’énumération des points étant
gardé (il y aura donc chaque fois n! réalisations équivalentes ). Pour une présentation générale
des modèles de P.P., on pourra consulter ( [14], [94]).
Le P.P. (la mesure) de référence est le P.P. de Poisson (P.P.P.). Le P.P.P. d’intensité 1 sur S
est caractérisé par :
(i) la probabilité qu’il y ait n points dans la réalisation est (n! £ e) ¡1 .
(ii) s’il y a n points, ceux-ci sont répartis au hasard uniforme sur S.
Ainsi, la densité du P.P.P. est
p(x) = 1 e
X
n¸0
1(n(x) = n)
n!
dx 1 dx 2 ¢¢¢ dx n
Une façon classique de dé…nir d’autres P.P. est de dé…nir leur densité par rapport au P.P.P..
Soit U : E ! R une fonction d’énergie invariante par permutation des coordonnées de x (U(x) =
U(¾(x)) pour toute permutation ¾ des coordonnées de x), véri…ant la condition d’admissibilité,
Z = X n¸0
1
n!
Z
x2S n expU(x)dx < 1
Alors la densité f(x) = Z ¡1 expU(x) dé…nit un P.P. sur S. Par exemple, U(x) ´ 0 redonne
le P.P.P. de paramètre 1, U(x) ´ a celle du P.P.P. d’intensité e a . Présentons quelques modèles
classiques.
Exemple : Modèle uniforme à noyau dur (Hardcore model)
Soit r > 0 un rayon …xé. Un processus à noyau dur est un P.P.P. conditionné au fait que deux
points quelconques de la réalisation sont toujours à une distance ¸ r. La densité d’un tel modèle
est, si x = (x 1 ;x 2 ;¢ ¢¢ ;x n ) :
f(x) = c1(8i 6= j,kx i ¡ x j k ¸ r)
Par exemple en écologie, ce conditionnement traduit l’existence de zones d’in‡uence des plantes
situées aux sites x i . En physique, on parle encore de modèle de sphères non-pénétrables : il existe
un rayon d’encombrement irréductible.