METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

2.3. LA DYNAMIQUE DE METROPOLIS-HASTINGS 27
(i) Soit x l’état initial : choisir y suivant Q(x;:)
(ii) Si ¼(y) ¸ ¼(x), garder y. Revenir en (i).
(iii) Si ¼(y) < ¼(x), tirer une loi uniforme U sur [0;1] :
² si U p = ¼(y)
¼(x)
,garder y.
²² si U > p, garder la valeur initiale x.
(iv) Revenir en (i).
Ergodicité de P.
Puisque a > 0, P est ergodique si Q est régulière. De même, P est irréductible si Q est irréductible.
Restera à s’assurer de l’apériodicité de P.
Proposition 2.4 Ergodicité de l’algorithme de M.H.
Supposons que Q soit irréductible et que a véri…e la condition de réversibilité (2.4). L’ergodicité
de P, et donc la convergence ºP n ! ¼ pour toute loi initiale º; est assurée sous l’une des
conditions suivantes :
(i) Q est régulière.
(ii) 9x 0 t.q. Q(x 0 ;x 0 ) > 0.
(iii) 9(x 0 ;y 0 ) t.q. r(x 0 ;y 0 ) < 1.
(iv) Q est symétrique et ¼ n’est pas la loi uniforme.
Preuve : (i) est bien su¢sante puisque a > 0. Pour les trois autres conditions, montrons
qu’il existe x 0 t.q. P(x 0 ; x 0 ) > 0. Cette condition garantit l’apériodicité de P. Sous (ii) ou (iii),
utilisant l’expression (2.2) donnant P(x;x) en fonction de Q et de a, il est facile de voir que
P(x 0 ;x 0 ) > 0.
Examinons (iv): Q étant irréductible, tous les états communiquent. Notons x » y si q(x;y) >
0 (, q(y;x) > 0). Puisque ¼ n’est pas uniforme et que tous les états communiquent, il existe
x 0 » y 0 tels que ¼(x 0 ) > ¼(y 0 ). On a donc :
P(x 0 ;x 0 ) ¸ q(x 0 ; y 0 )[1 ¡ ¼(y 0)
¼(x 0 ) ] > 0 ¤
2.3.3 Exemples
Exemple 2.7 Loi ¼ issue d’une énergie U : ¼(x) = Z ¡1 expU(x)
Si Q est symétrique, la dynamique de Metropolis dépend des ratios p = ¼(y)
¼(x) = expfU(y) ¡
U(x)g et donc du signe de ¢U = fU(y) ¡ U(x)g : si ¢U ¸ 0, on retient y ; sinon, y est retenue
avec la probabilité exp¢U. Notant a + = supf0;ag, la transition s’écrit pour x 6= y,
P(x;y) = Q(x;y)exp¡[U(x) ¡ U(y)] + :
Exemple 2.8 Dynamique d’échange de spins pour un modèle d’Ising
Considérons le modèle d’Ising (2.1) sur S = f1; 2;¢ ¢¢ ;ng 2 , la valeur du spin en i étant
x i 2 f¡1; +1g, la loi jointe sur E = f¡1; +1g S étant donnée par l’énergie U(x) = h P i2S x i +
¯ Pki¡jk 1 =1 x ix j . Soit x une con…guration initiale.
On choisit la proposition de changement Q suivante : on commence par choisir au hasard
uniforme deux sites i et j de S ; on propose alors la con…guration y identique à x partout à ceci
près que les valeurs x i et x j ont été interchangées :
y fi;jg = x fi;jg ;y i = x j et y j = x i