METHODES NUMERIQUES PAR CHAÎNES DE MARKOV

2.3. LA DYNAMIQUE DE METROPOLIS-HASTINGS 29
Spéci…ons E et ¼ dans le contexte d’un problème de coupe maximale d’un graphe. Soit
S = f1;2;¢¢ ¢ ; ng un ensemble de n sites, et w = fw ij ;i;j 2 Sg un ensemble de poids réels et
symétriques sur S £ S : pour tout i;j 2 S, w ij 2 R et w ij = w ji . Posons E = P(S) l’ensemble
des parties de S, et pour A 2 E,
U(A) =
X
i2A;j=2A
Le problème posé est le suivant : trouver A minimisant U(A). On utilisera pour cela un algorithme
de recuit simulé (cf. chapitre 3). Nous allons décrire ici l’algorithme de simulation de la
loi ¼¯ suivante :
w ij
¼¯(A) = Z ¡1 (¯)expf¡¯U(A)g
Le rapport entre la simulation de ¼¯ et la minimisation de U est le suivant, c’est l’heuristique du
recuit simulé : l’ensemble M¯ des modes de ¼¯ tend, lorsque ¯ ! +1, vers l’ensemble M où U
atteint son minimun. Ainsi, la simulation de ¼¯ pour ¯ grand se concentre approximativement
autour de M.
Algorithme de Metropolis pour la simulation de ¼¯.
(1) Les seuls changements autorisés sont A 7! B où B di¤ère de A en exactement un site ;
deux cas se présentent :
½ (i) B = A [ fsg si jAj < n et si s =2 A ou
(ii) B = Anfsg si jAj ¸ 1 et s 2 A
On remarquera que B 7! A est possible si A 7! B l’est : le graphe de communication associé
A » B est symétrique.
(2) On choisit s uniformément sur S : si s 2 A, on prend B = Anfsg ; si s =2 A, on prend
B = A [ fsg. Dans ces deux cas, q(A;B) = 1 n
; sinon, q(A;B) = 0.
Q est symétrique et irréductible. Notons que Q n’est pas régulière, puisque là où elle n’est pas
nulle, elle change la parité d’un sous-ensemble.
(3) Evaluer ¢U = U(B) ¡ U(A) : pour (i), ¢U = P j=2B w sj ¡ P P
i2A w is ; pour (ii), ¢U =
i2B w is ¡ P j=2A w sj.
(4) ¼¯ est associée à l’energie ¡¯U. Donc, si ¢U 0, on garde B. Sinon, on garde B avec
la probabilité p = exp¡¯¢U.
Q étant symétrique, l’algorithme est ergodique dès que U n’est pas constante.
2.3.4 Quelques résultats généraux sur les transitions¼-réversibles
Soit P une transition ergodique et ¼-réversible sur E = f1; 2; ¢¢¢ ;rg, X = (X 0 ;X 1 ;X 2 ; ¢¢¢)
une chaîne homogène de transition P. Notons l 2 (¼) = lC 2 (¼) l’espace des fonctions réelles dé…nies
sur E muni du produit scalaire hf;gi = P f(x)g(x)¼(x). Pour toute loi initiale º et tout f 2 ­,
on a [58] :
T¡1
X
v(f;¼;P) = lim
T!1 Var(T¡1 2 f(X t )) existe et est indépendante de º:
t=0
Proposition 2.5 Spectre d’une transition réversible et valeur de v(f;¼; P)
(1) Si P est ¼-réversible et ergodique, P est auto-adjointe sur l 2 (¼). P est donc diagonalisable
de valeurs propres réelles véri…ant
¸1 = 1 < ¸2 ¢¢¢ ¸r ¡1