METHODES NUMERIQUES PAR CHAÃNES DE MARKOV

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38 CHAPITRE 2. SIMULATION PAR CHAÎNE DE MARKOV est invariante pour Q ( Q est même ¹-réversible). (2.3) Véri…er que la loi ¹ est markovienne, avec pour ensemble de cliques C = f@i = fj 2 S : hi;jig;i 2 Sg Exemple : soit S = f1;2;¢¢¢ ;Ng 2 le tore bidimensionnel, N pair, et hi; ji la relation aux 4-p.p.v. prolongée par périodicité. Comparer les graphes de Markov de ¼ et de ¹. Véri…er par exemple que si ¹ + (resp. ¹ ¡ ) est la loi marginale de ¹ sur S + = fi = (i 1 ; i 2 ) 2 S, i 1 + i 2 pairg (resp. S ¡ = SnS + ), alors ¹ = ¹ + ¹ ¡ . Exercice 2.11 Echantillonneur de Gibbs métropolisé Montrer que la transition P de l’algorithme de Gibbs Métropolisé est ¼ réversible et irréductible. Véri…er que P 2 (x;x) > 0 et caractériser les con…gurations x t.q. P(x;x) = 0. En déduire que P est apériodique dès que ¼ n’est pas la loi uniforme. Exercice 2.12 Dynamique générale de relaxation site par site [33] Soit F = f¡1;+1g; S = f1;2;¢¢ ¢ ; ng 2 le tore bidimensionnel, hi; ji la relation aux 4-p.p.v., avec conditions de bords périodiques et ¼(x) = Z ¡1 exp¯ X x i x j On va examiner les dynamiques issues de transitions P s où seule une relaxation est e¤ectuée en s : P s (x; y) = 0 si x s 6= y s . Pour s 2 S on note m , m(s) le nombre de spins positifs parmi les quatre voisins de s. On impose : (i) d’une part, que P s ne dépend que de m hi;ji P s (x;y) = P s (x s ! y s j m) pour x s = y s (ii) d’autre part, la symétrie suivante vis-à-vis de la transformation x 7! ¡x P s (¡x s ! ¡y s j 4 ¡ m) = P s (x s ! y s j m) (1) Quelles sont les valeurs possibles de m. Montrer que P s est entièrement déterminée par les cinq paramètres suivants : a 4 = P s (¡1 ! +1 j m = 4) et a 3 = P s (+1 ! ¡1 j m = 4) a 2 = P s (¡1 ! +1 j m = 3) et a 1 = P s (+1 ! ¡1 j m = 3) a 0 = P s (+1 ! ¡1 j m = 2) (2) Montrer que P s est ¼-réversible si et seulement si a 3 = a 4 exp(¡8¯) et a 1 = a 2 exp(¡4¯) On supposera ces deux conditions véri…ées et on note a = (a 0 ;a 2 ;a 4 ) 2]0; 1] 3 les trois paramètres dé…nissant la dynamique. (3) Indiquer les valeurs de a = (a 0 ;a 2 ;a 4 ) pour les algorithmes suivants : (i) L’échantillonneur de Gibbs ; (ii) l’échantillonneur de Metropolis. (4) Montrer que la dynamique associée à une telle transition P s pour un choix aléatoire uniforme de s est ergodique. Exercice 2.13 Diverses transitions de proposition de changement pour la simulation d’une N(0; 1) [43]
2.4. EXERCICES 39 Le but de cet exercice est de mettre en évidence l’in‡uence prépondérante du choix de la transition de proposition de changement q(x ! y) dans la dynamique de Metropolis ainsi que de la valeur initiale x 0 . On veut simuler une loi ¼ » N(0;1). Pour cela, on choisira comme propositions de changement : (i) q(x;:) » N(x;0:5) et x 0 = ¡10 (ii) q(x;:) » N(x;0:1) et x 0 = 0 (iii) q(x;:) » N(x;10) et x 0 = 0 La probabilité d’acceptation de y est celle de la dynamique de Metropolis : a(x; y) = minf1; ¼(y)q(x;y) ¼(x)q(y;x) g Pour chacun de ces choix, représenter graphiquement la trajectoire fx t , 0 t 500g. Evaluer la probabilité de non-changement dans l’algorithme de Métropolis. Tester la gaussianité des réalisations et la rapidité à entrer dans le régime stationnaire N(0;1). Exercice 2.14 Comparaison des variances de moyennes pour deux dynamiques de M.H. On a vu que pour deux dynamiques P et Q de M.H. t.q. P Â Q, V ar P ( 1 T TX f(X t )) V ar Q ( 1 T t=0 TX f(X t )) t=0 pour T = 1 et lorsque T ! 1. Comme le montre l’exemple suivant [100], ceci n’est pas vrai en général pour d’autres valeurs de T . Soient les deux transitions symétriques sur l’espace E à 4 états : P = 0 B @ 0 :2 :8 0 :2 0 0 :8 :8 0 :2 0 0 :8 0 :2 1 0 C A et Q = B @ :1 :1 :8 0 :1 :1 0 :8 :8 0 :2 0 0 :8 0 :2 P et Q sont ¼-réversibles pour ¼ = ( 1 4 ;1 4 ;1 4 ;1 4 ) et P Â Q. Pour f = t (1; ¡1;¡3;3), véri…er que V ar R (f(X 0 ) + f(X 1 ) + f(X 2 )) = 1 C A ½ 15:4 pour R = P 14:8 pour R = Q Exercice 2.15 Processus Ponctuel : un cas où Q n’est pas irréductible Sur [0;1] 2 , et pour n(x) ´ 2, déterminer pour un processus à noyau dur la valeur maximale r 0 de r . Montrer que pour " > 0 petit et r = r 0 ¡ ", la transition de proposition q proposée pour la simulation d’un P.P. n’est pas irréductible (proposer deux con…gurations à deux points qui ne peuvent communiquer entre elles). Exercice 2.16 Dynamique de Metropolis pour le P.P. de Strauss Mettre en oeuvre la simulation par dynamique de Métropolis d’un processus de Strauss à n(x) = n = 50 …xé (seul le paramètre b (ou °) est in‡uent) et pour r = 0:05. Examiner les con…gurations de simulations pour ° = 0:01; 0:5, 1, 2, 10.
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