1666724786535_math analyse

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3. f(x, y) = ln (x 2 + y 2 − 4)
L’équation cartésienne d’un cercle C de centre I (a, b)
et de rayon R (x − a) 2 + (y − b) 2 = R 2
D f il faut que x 2 + y 2 + 4 > 0
x 2 + y 2 − 4 = 0 ⟺ x 2 + y 2 = 4 ⇔ x 2 + y 2 = 2 2 ⟺ (x − 0) 2 + (y − 0) 2 = 2 2
C’est l’équation cartésienne d’un cercle de centre I(0,0) et de rayon R=2.
Les dérivées premières de f :
f ′ x (x, y) = (x2 + y 2 − 4)′
x 2 + y 2 − 4 = 2x
x 2 + y 2 − 4
f ′ y (x, y) = (x2 + y 2 − 4)′
x 2 + y 2 − 4 = 2y
x 2 + y 2 − 4
2. Homogénéité :
Soit T > 0 et K ∈ R on dit que f est homogène de degré K si et seulement si :
f(tx, ty) = t k . f(x, y)
Exemple :
f(x, y) = x3 2
√x + y ⟺ f(tx, ty) = tx3 2
√tx + ty = t3 2. x 3 2
√t(x + y) = t 3 2. x 3 2
√t + √x + y = t3 2
√t + x3 2
= t3 2
t 1 + f(x, y) = ⁄ t3 2 −1 2 + f(x, y) = t 1 + f(x, y)
2
f(x, y) est homogène de degré k=1.
3. Elasticité :
√x + y
e f (x, ⁄ y) = x. f′ x (x,y)
x
f(x,y)
; e f (x, y) = y. f′ y (x,y)
⁄ y
f(x,y)