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4. Relation d’Euler :
x. f ′ x (x, y) + y. f′ y (x, y) = k(x, y) ⇔ e f⁄ (x, y) + e f (x, y) = k
x
⁄ y
5. Fonction Cobb Douglas :
On dit que f est une fonction Cobb Douglas si et seulement si elle s’écrit sous la forme :
f(x, y) = c. x a . y b
Théorème :
Si f est une fonction Cobb Douglas : e f x
Exemple :
(x, ⁄ y) = a ; e f (x, y) = b ; k = a + b
⁄ y
f(x, y) = 2x 3 y 4 ⇨ f est une fonction Cobb Douglas ⇨ e f x
k = 7.
6. Variation relative de f :
(x, ⁄ y) = 3 ; e f (x, y) = 4 ;
⁄ y
Si x varie et y fixe donc ∆f
Si x fixe et y varie donc ∆f
Si x varie et y varie donc ∆f
f
f
f
= ∆x
x
= ∆y
y
= ∆x
= e f (x, y)
⁄ x
= e f (x, y)
⁄ y
∗ e ∆y
f (x, y) +
x ⁄ ∗ e f (x, y)
x
y ⁄ y
Application:
Soit f(x, y) = x 3 + 2x 2 y + xy 2