1666724786535_math analyse

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Application:
On donne f(x; y) = x 3 + 2xy + y
1. Calculer les dérivées partielles premières de f
2. Donner l’équation du plan P tangent a S P au point [(1; 0); f(1; 0) ]
3. Déduire une valeur approchée de f(1.001; 0.05)
Correction :
1. f ′ (x, y) = 3x + 2y
x
f ′ (x, y) = 2x + 1
y
df(x 0 ; y 0 ): la différentielle de f au point (x 0 ; y 0 )
2. P: z = f(1; 0) + f ′ x (1; 0). (x − 1) + f′ (1; 0). (y − 0)
y
z = 1 + 3(x − 1) + 3y = 1 + 3x − 3 + 3y
P: z = 3x + 3y − 2
3. f(x; y) ≃ z ⟹ f(x; y) ≃ 3x + 3y − 2
f(1.001; 0.05) ≃ 3 ∗ 1,001 + 3 ∗ 0,05 − 2 ≃ 1,093
IV. Extremums liés par une contrainte :
1. Méthode de Lagrange :
On a f(x, y) = e x+y − 3(x + y) + (x − y) 2
• Etudier l’existence et la nature des extremums de f sous contrainte x + y = 2 .
Contrainte : x + y = 2 ⟺ on pose ∶ g(x, y) = x + y − 2 = 0
L(x, y, λ) = f(x, y) + λ ∗ g(x, y)
= e x+y − 3(x + y) + (x − y) 2 + λ ∗ (x + y − 2)
1 ère étape : les dérivées partielles premières
L ′ x (x, y, λ) = ex+y − 3 + 2x − 2y + λ