Taik-cours1_AN3

A. Taik Cours AN3 LST-MI
Si h x <<< 1, le développement de Taylor au voisinage de 0 de f(x + h x , y) donne:
∂f
f(x + h x , y) = f(x, y) + h x + θ(h ∂f
∂x x) ≃ f(x, y) + h x avec une erreur de l’ordre de h ∂x x.
⇒
∂f(x, y)
∂x
≃ f(x + h x, y) − f(x, y)
h x
Ceci est appelé le schéma avant.
De la même manière, nous pouvons aussi donner le schéma arrière qui est de la forme:
∂f(x, y)
∂x
f(x, y) − f(x − h x , y)
= lim
hx→0 h x
Avec la formule de Taylor, ceci nous donne:
f(x, y) = f(x − h x , y) + h ∂f(x,y) + θ(h
∂x
x ) ≃ f(x − h x , y) + h ∂f(x,y) avec une erreur de h
∂x x .
⇒
∂f(x, y)
∂x
≃ f(x, y) − f(x − h x, y)
h x
La somme de ces deux schémas nous donne le schéma centré suivant:
∂f(x, y)
∂x
≃ f(x + h x, y) − f(x − h x , y)
2h x
.
En résumé, on a les trois approximations suivantes pour la dérivée partielle première de f(x, y)
par rapport à x avec la formule de Taylor:
⎧
f(x+h x ,y)−f(x,y)
f x(x, ′ f(x + h x , y) − f(x, y)
⎪⎨ h x
schéma avant
f(x,y)−f(x−h
y) = lim
≈
x ,y)
hx →0 h
h x
⎪⎩
x
schéma arrière
schéma centré
La dérivée séconde f ′′
x de f(x, y) sera alors de la forme:
f(x+h x ,y)−f(x−h x ,y)
2h x
∂ 2 f(x i+1 ,y j )−f(x i ,y j )
f
∂x ≈ h x
− f(x i,y j )−f(x i−1 ,y j )
h x
2 h x
∂ 2 f
∂x ≃ f(x i+1, y j ) − 2f(x i , y j ) + f(x i−1 , y j )
(1.1)
2 h 2 x
Nous utiliserons tour à tour ces égalités dans la suite pour approximer les dérivées partielles.
1.2. Approximation de l’équation différentielle partielle
Soit l’équation de Laplace:
∆u = 0 ⇔ ∂2 u
∂x 2 + ∂2 u
∂y 2 = 0 (1.2)
Département de Mathématiques
FST-Mohammedia, (2008)
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