Taik-cours1_AN3

A. Taik Cours AN3 LST-MI
Le deuxième crochet, qui n’est autre que l’équation de la chaleur initialement posée dans l’énoncé,
est nul. Ce qui nous done l’égalité finale:
= re j i+1 + rej i−1 + (1 − 2r)ej i
⇒ ∣ ∣e j+1∣ ∣ = ∣ ∣re j i+1 + rej i−1 + (1 − 2r)ej ∣
i
e j+1
i
Si r < 1/2, on a: 1 − 2r > 0 ⇒ |1 − 2r| = 1 − 2r, alors:
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ e
j+1 ≤ r ∣e j ∣ + r ∣e j ∣ + (1 − 2r) ∣e j∣
Posons
Par recurence,
i+1
E j =
max
i−1
1≤i≤n x−1
∣ e
j ∣
i
⇒ ∣ ∣ e
j+1 ∣ ∣ ≤ rE j + rE j + (1 − 2r)E j ⇒ ∣ ∣ e
j+1 ∣ ∣ ≤ E j , ∀ 1 ≤ j ≤ n t − 1
⇒ ∣ ∣ e
j+1 ∣ ∣ ≤ E j ≤ · · · ≤ E 1 ≤ E 0
E 0 = U 0 − u 0 à t = 0, or, d’après les conditions initiales, U 0 − u 0 = 0, donc E 0 = 0.
∣
∣e j+1∣ ∣ ≤ 0 ⇒ e j = 0, ∀j et r < 1 2
Donc, la méthode explicite converge vers zéro quand r < 1/2.
6.2. Stabilité numérique
On dit qu’un schema numérique est stable si et seulement si au cours des calculs, l’erreur commise
d’une itération à l’autre (d’une maille à l’autre) n’infecte pas le calcul suivant. Dans le cas
contraire, le calcul peut exploser et on n’aura pas une bonne convergence. soit l’équation de la
chaleur:
∂U
∂t = k ∂ 2 U
cρ ∂x 2
La numérisation de cette équation nous donne la relation matricielle:
U j+1 = AU j ⇒ U 1 = AU 0
U 0 étant donnée par les conditions initiales.
⎧
U 1 = AU 0
⎪⎨ U 2 = AU 1 = A 2 U 0
U 3 = AU 2 = A 3 U 0
⎪⎩
.
U j = AU j−1 = A j U 0
i
Département de Mathématiques
FST-Mohammedia, (2008)
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