Taik-cours1_AN3

Contents
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Introduction 5
2. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Résolution d’une EDP elliptique 9
1. Discrétisation de l’EDP: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Méthode des différences finies: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Approximation de l’équation différentielle partielle . . . . . . . . . . . . . 10
2. Résolution de l’EDP par la méthode directe: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Cas où h = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Cas où h = 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Méthode de relaxation de Liebmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1. Méthode: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Idée de Relaxation: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Résolution d’une EDP parabolique 20
1. Discrétisation de l’espace et du temps: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1. Discrétisation de l’espace: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2. Discrétisation du temps: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Programmation de la solution analytique: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Discrétisation de l’équation différentielle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Rappel de la notation spatiale et temporelle: . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Discrétisation des dérivées partielles: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Equation aux dérivées partielles discrètisée: . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4. Résolution numérique du système: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Méthode de Crank - Nicolson ou méthode implicite: . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1. Méthode: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Résolution numérique de l’EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Programmation de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5. Comparaison des méthodes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1. Comparaison de u exact (0.25, t) et u app (0.25, t), u exact (0.75, t) et u app (0.75, t) 31
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