Taik-cours1_AN3

A. Taik Cours AN3 LST-MI
3.2. Exercice 2:
Soit à résoudre:
⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂ 2 u
∂t 2
= (1 + 2x) ∂2 u
∂x 2 , x ∈ [0, 1]
u(x, 0) = 0
∂u(x, 0) = x(1 − x)
∂t
u(0, t) = u(1, t) = 0
Corrigé
Pour ce problème, a = −(1+2x), b = 0, c = 1, e = 0. La résolution de l’équation am 2 +bm+c =
0 donne:
√
1
m = ±
(1 + 2x)
Les courbes caractéristiques sont obtenues en résolvant les équations différentielles:
⎧ √
dt
⎪⎨ = 1
,
dx 1+2x
⎪⎩
√
dt
= − dx
1
. 1+2x
En intègrant à partir du point initial de coordonnées (x 0 , t 0 ), on trouve:
⎧
⎨ t = t 0 + √ 1 + 2x − √ 1 + 2x 0 , pour m + ,
⎩
t = t 0 − √ 1 + 2x + √ 1 + 2x 0 , pour m − .
La figure suivante nous montre les différentes courbes caractéristiques que nous obtenons avec
cette équation.
On choisit deux points P (0, 0.25) et Q(0, 0.75) et on se propose de chercher la valeur de u dans
leur intérsection R qui, après résolution du système, donne les coordonnées R(0.4841, 0.1782).
En suite , on résout l’équation 2.5 pour avoir p = ∂u ∂u
et q = .
∂x ∂t
Après utilisation de deux valeurs de m en chaque point, l’équation 2.5 donne le système suivant:
⎧
⎨ −1.77341(0.45015)(p R − 0) + (1)(q R − 0.1875) = 0; P → R,
⎩
−2.22341(−0.6726)(p R − 0) + (1)(q R − 0.1875) = 0; Q → R.
Après la résolution de ce système, on obtient p R = 0 et q R = 0.1875.
Département de Mathématiques
FST-Mohammedia, (2008)
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