Taik-cours1_AN3

A. Taik Cours AN3 LST-MI
3. Exercices d’application
3.1. Exercice 1:
Soit à résoudre:
⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂ 2 u
∂t 2
= 2 ∂2 u
∂x 2 − 4
Prendre ∆x = 0.25 et ∆t = 0.1768
Corrigé
On a a = −2, b = 0, c = 1 et e = 4,
∂u
= 0, 0 ≤ x ≤ 1
∂t
u(x, 0) =
{ 12x, 0 ≤ x ≤ 0.25
4 − 4x, 0.25 ≤ x ≤ 1
u(0, t) = u(1, t) = 0
Donc: b 2 − 4ac = 0 − 4(−2)(1) = 8 > 0, m 1 = +2√ 2
4
= √ 2
2 et m 2 = − √ 2
2 .
Pour chaque point, nous avons deux caractéristiques:
∆t = √ 2
∆x et ∆t = − √ 2∆x (voir figure 2).
2 2
Calculons u au point R 2 (0.5, 0.1768): On a l’équation
am∆p + c∆q + e∆t = 0,
suivant la droite P R 2 puis la droite QR 2 on trouve:
⎧
⎨
⎩
−2 √ 2
2 (p R 2
− p P ) + (q R2 − q P ) + 4∆t = 0,
2 √ 2
2 (p R 2
− p Q ) + (q R2 − q Q ) + 4∆t = 0.
On prend: p P = ( ∂u)
∂x P = −4 (car on est à droite du point P ), p Q = ( ∂u)
∂x Q = −4, et q P = ( ∂u)
∂t P =
q Q = ( ∂u)
∂t Q = 0 et on les remplace dans le système pour avoir:
{ √
√ − 2(pR2 + 4) + q R2 + 4∆t = 0,
2(pR2 + 4) + q R2 + 4∆t = 0.
Après résolution de ce système, on obtient: p R2 = −4 et q R2 = − √ 2
2
Département de Mathématiques
FST-Mohammedia, (2008)
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