Taik-cours1_AN3

Chapitre 2
Résolution d’une EDP parabolique
Enoncé:
Soit à résoudre l’équation de la chaleur ∂u = α ∂2 u
avec α ∈ R fixe. Considérons le système:
∂t ∂x 2
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂u
= κ ∂ 2 u
∂t cρ ∂x 2
u(x, 0) =
{ 100x si x ∈ [0, 1]
100(2 − x) si x ∈ [1, 2]
u(0, t) = u(2, t) = 0
Prendre κ = 0.13, c = 0.11, ρ = 7.8g/cm 3 , ∆x = 0.25. ∆t sera donné par les conditions de
stabilité définies par l’inéquation: r = κ ∆t
< 1 . La solution analytique est donnée par:
cρ ∆x 2 2
u exact (x, t) = 800 ×
∞∑
n=0
1
π(2n + 1)(x − 1)
× cos × e −0.3738(2n+1)2 t
π 2 (2n + 1)
2
2
1. Utiliser la méthode directe (méthode explicite) en supposant r > 1 2 puis r < 1 2 . Que
constatez-vous?
2. Utiliser maintenant la méthode de Crank- Nicolson et faites varier le r. Que constatez-vous?
3. Comparaisons des méthodes:
(a) Comparer, en fonction de r, graphiquement u exact (0.25, t) et u app (0.25, t) puis u exact (0.75, t)
et u app (0.75, t)
(b) Même question pour u exact (x, 0.99) et u app (x, 0.99) puis
u exact (x, 1.98) et u app (x, 1.98)
4. Conclure.
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