Taik-cours1_AN3

A. Taik Cours AN3 LST-MI
2. Résolution de l’EDP par la méthode directe:
Exemple:
Soit à résoudre l’équation de Laplace
⎧
⎨ ∆u = 0 dans le domaine (x, y) ∈ [0, 20] × [0, 10]
u(x, 0) = u(x, 10) = u(0, y) = 0 et u(20, y) = 100
⎩
h x = h y = h ∈ {5, 2.5, 1.25, 0.625, 0.3125}
Tout en variant h, résoudre cette EDP:
1. En utilisant la méthode directe.
2. En utilisant la méthode de relaxation de Liebmann.
3. Conclure.
2.1. Cas où h = 5
On a: h x = b−a
n x
⇒ n x = b−a
h x
= 20−0
5
= 4 et n y = d−c
h y
= 10−0
5
= 2 La grille maillée contient alors
(n x +1)×(n y +1) mailles vu que nous avons à rajouter les points où x i = 0 et ceux où y j = 0 c’est à
dire les points intersection de la courbe avec les axes. Mais comme les conditions aux limites nous
donnent les images sur les bords, alors les points inconnus restent seulement ceux de l’intérieur du
cadrillage. Ce qui fait donc que le nombre d’inconnues est alors (n x − 1) × (n y − 1) = 3 × 1 = 3
Nous obtenons le système de trois équations à trois inconnues suivant:
⎧
⎨
⎩
−4u 1,1 + u 2,1 + 0u 3,1 = 0
u 1,1 − 4u 2,1 + u 3,1 = 0
0u 1,1 + u 2,1 − 4u 3,1 = −100
Il nous reste maintenant à résoudre le système matriciel: A × U = B Avec:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−4 1 0
0
u 1,1
A = ⎝ 1 −4 1 ⎠ , B = ⎝ 0 ⎠ et U = ⎝ u 2,1
⎠
0 1 −4
−100
u 3,1
Avec une des méthodes vues en Analyse Numérique II (résolution des systèmes linéaires), nous
obténons la solution:
⎛ ⎞
1.786
U = ⎝ 7.143 ⎠
26.786
Département de Mathématiques
FST-Mohammedia, (2008)
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