Taik-cours1_AN3

A. Taik Cours AN3 LST-MI
Ceci est le schéma numérique de Crank - Nicolson.
Lorsque nous fixons j et faisons varier i, nous obténons le système linéaire suivant:
⎧
Avec:
⎪⎨
⎪⎩
−ru j+1
0 + (2 + 2r)u j+1
1 − ru j+1
2 = ru j 0 + (2 − 2r)u j 1 + ru j 2
−ru j+1
1 + (2 + 2r)u j+1
2 − ru j+1
3 = ru j 1 + (2 − 2r)u 2 i + ru j 3
−ru j+1
2 + (2 + 2r)u j+1
3 − ru j+1
4 = ru j 2 + (2 − 2r)u j 3 + ru j 4
.
.
−ru j+1
n x −2 + (2 + 2r)u j+1
n x −1 − ru j+1
n x
= ru j n x −1 + (2 − 2r)u j n x
+ ru j n x
=⇒ M 1 U j+1 + N 1 = M 2 U j + N 2
⎛
⎞ ⎛
2 + 2r −r 0 · · · · · · · · · 0
−rU j+1 ⎞
0
. −r 2 + 2r −r .. .
. 0 −r 2 + 2r −r . .
.
M 1 =
. . .. . .. . .. . , N 1 =
.. 0
⎜
⎝
.
.
..
⎟
−r 2 + 2r −r ⎠ ⎜
0...
⎟
⎝ 0 ⎠
0 · · · · · · 0 −r 2 + 2r
−rUn j+1
x
⎛
⎞ ⎛
2 − 2r r 0 · · · · · · · · · 0
rU j ⎞
0
r 2 − 2r r
.. . .
. 0 r 2 − 2r r . .
.
M 2 =
. . .. . .. . .. . , N 2 =
.. 0
⎜
⎝ .
..
⎟
. r 2 − 2r r ⎠ ⎜
0...
⎟
⎝ 0 ⎠
0 · · · · · · 0 r 2 − 2r
rUn j x
Ce système matriciel est linéaire d’ordre n x − 1.
4.3. Programmation de la solution
=⇒ U j+1 = M −1
1 [M 2 U j + (N 2 − N 1 )]
Voici le programme qui sert à donner la courbe de la solution numérique de la méthode de Crank
- Nicolson. Pour avoir la solution (la courbe) pour le deuxième cas, il suffit de remplacer r par 0.25:
*********************************
clc; clear;
k=0.13;c=0.11;
Département de Mathématiques
FST-Mohammedia, (2008)
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