Taik-cours1_AN3

A. Taik Cours AN3 LST-MI
pour:
Alors:
|λ i | < 1 ⇒ |1 − 4r sin2 iπ
2(N + 1) | < 1, avec r = k cρ × ∆t
∆x
⇒ −1 < 1 − 4r sin2 iπ
2(N + 1) < 1
−1 < 1 − 4r sin2 iπ
2(N + 1) ⇒ r < 1 [ sin 2 ] −1
2 × iπ
, ∀ i = 1, 2, · · · , N
2(N + 1)
⇒ r < 1 [ ] sin 2 −1
2 × min iπ
i=1,··· ,N 2(N + 1)
Or ∀x, sin 2 x ≤ 1 ⇒ sin2 x
a
[
≤ 1, ∀a > 1 ⇒
sin 2 x
a
] −1
≥ 1, donc:
[ sin 2 −1
iπ
min
≤ 1 ⇒ r <
i=1, ··· , N 2(N + 1)] 1 2
On tire encore une fois que la méthode directe (explicite) est stable si r < 1 . Ce qui est en parfait
2
commun accord avec l’expérience réalisée.
Conclusion
Il est intéressant de remarquer que l’équation de la chaleur, introduite initialement pour décrire la
conduction thermique, apparaît également dans d’autres branches de la physique théorique. Elle
permet par exemple de décrire :
1. Le phénomène de diffusion ;
2. Certains aspects probabilistes du mouvement brownien
Les méthodes de résolution de cette équation sont multiples et diversifiées. Toutefois, il faut
faire attention à la stabilité et la convergence de la méthode choisie car, simple et facile à manipuler
qu’elle soit, elle pourrait causer des instabilités inattendues et si on n’a pas la solution analytique
pour faire la comparaison, des confusions pourraient s’engendrer. Il serait sage de payer le cot
de résolution et avoir une méthode stable et convergente inconditionnellement que de se contenter
d’une résolution aléatoire ( valable pour quelques valeurs particulières) vue qu’elle soit maniable
facilement.
Département de Mathématiques
FST-Mohammedia, (2008)
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