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Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°6 l'équilibre de pression entre le milieu extérieur et l'air chaud intérieur. Les conditions atmosphériques sont identiques à celles définies pour l'étude de l'ascension du ballon météorologique. Les capacités calorifiques molaires à pression et volume constants seront notées Cp et Cv. On notera � le rapport Cp/Cv de l'air. La montgolfière est en équilibre à l'altitude z, altitude où l'air extérieur possède la pression pe et la température Te. 1. Equilibre de la montgolfière. a. Exprimer la masse mi de l'air intérieur à l'enveloppe en fonction de pe, Vo, Me et Ti. b. Ecrire la condition d'équilibre de la montgolfière. En déduire une relation qui relie les températures Te et Ti aux masses m et mi. Exprimer la masse mi en fonction de m, Te et Ti. c. Ecrire la condition d'équilibre en fonction de Ti, To, � o , Vo, m, � , � et z. d. Quelle est la valeur minimale Td de la température Ti permettant le décollage de la montgolfière ? e. Exprimer la condition d'équilibre de la montgolfière en fonction de Td. Montrer qu'elle peut s'écrire : pe[ 1 − T e 1 T i ] =p o[ 1 − T o 1 T d ] . Exercice n° 2 - (Extrait concours spécial P') Partie I : Etude de différents modèles d'atmosphère Dans cette partie, on considère l'air comme un gaz parfait. Cet air est en équilibre statique dans le champ de pesanteur terrestre de module g. Oz désignant l'axe vertical ascendant, on désire étudier les évolutions de la pression P, de la température T et de la masse volumique � en fonction de l'altitude z du point considéré. On pose : P o =P �z =0�, T o =T � z=0� , � o =��z=0�. Pour les applications numériques, on prendra : g = 9,8 m.s-2, � o=1,25 kg.m −3 , P o=10 5 Pa , T o=290 K. 1. Modèle de l'atmosphère isotherme. Danièle FRISTOT On suppose l'air en équilibre isotherme à la température To. Déterminer la pression P et la masse volumique à l'altitude z en fonction de P o , � o et g.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°7 Application numérique : à quelle distance h o a-t-on : �= � 0 2 2. Modèle de l'atmosphère adiabatique. On admet qu'il existe maintenant entre P et � une relation de la forme : P=P 0 [ � � � ] 0 avec � = constante. a. Sachant que le gaz est parfait, établir l'équation différentielle vérifiée par T et montrer que : dT =−� dz T o où � est une constante que l'on exprimera en fonction de � , P o , � o et g. b. En déduire t(z), P(z) et ��z �. c. Montrer que, dans ce modèle, l'atmosphère est limitée et calculer la hauteur limite h 1 en fonction de P o , � o , g et � . Application numérique : en plus des valeurs précédentes, on donne �=1,4 ; calculer h 1 . d. Quelle valeur faudrait-il donner à � pour que ce modèle coïncide avec celui de l'atmosphère isotherme ? n x On rappelle que lim 1� =e n� ∞[ n ] x . 3. Modèle de l'atmosphère standard. Danièle FRISTOT Pour étudier les performances d'un hélicoptère, on définit habituellement une atmosphère standard où on admet que � et T varie de la manière suivante : �=� H−z H�z T =T o −�z avec H = 20 km et �=6,5.10 −3 K.m −1 . Ce modèle n'est valable que pour z < 11 km. a. Montrer que, si l'on donne à � une certaine valeur � s , les modèles de l'atmosphère adiabatique et de l'atmosphère standard donnent la même évolution de la température T. Exprimer � s en fonction de �, � ,P o ,T o et g. Calculer la valeur numérique de � s . b. On considère maintenant les expressions de la masse volumique � données par les deux modèles, atmosphère adiabatique avec �=� s et atmosphère standard ; donner un ordre de grandeur de la valeur numérique du module de l'écart relatif maximum �� entre les deux expressions des masses volumiques (on rappelle que z < 11 km). Commenter. ?
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