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Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°1<br />
Danièle FRISTOT<br />
SOMMAIRE<br />
1. Ascension atmosphérique<br />
➢ Atmosphère en équilibre p.2<br />
➢ Ascension du ballon météorologique p.4<br />
➢ Ascension de la montgolfière p.5<br />
➢ Différents modèles d'atmosphère p.6<br />
➢ Concours externe CAPESA p.19<br />
2. Statique des <strong>fluide</strong>s et forces pressantes<br />
➢ Equilibre d'un aréomètre p.9<br />
➢ Calcul de la densité d'un liquide p.9<br />
➢ Manomètre différentiel p.10<br />
➢ Citerne à fioul p.11<br />
➢ Mouvement du ludion p.12<br />
➢ Tube en U p.14<br />
➢ Barrage prismatique p.14<br />
➢ Etude de barrages p.16<br />
3. Tension superficielle<br />
➢ Loi de Laplace p.22<br />
➢ Ascension capillaire p.22<br />
➢ L'impossible montée p.22<br />
➢ Loi de Tate (Capesa) p.24<br />
➢ Méthode d'arrachement p.25<br />
➢ Densimètre p.25
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°2<br />
Danièle FRISTOT<br />
4. Dynamique des <strong>fluide</strong>s parfaits<br />
➢ Ecoulement vertical p.27<br />
➢ Alliage d'aluminium p.27<br />
➢ Nettoyage au jet d'eau p.28<br />
➢ Chauffage central p.28, 36<br />
➢ Théorème de Bernoulli (CAPLP) p.20, 35<br />
➢ Vidange d'un réservoir (BTS) p.29, 30, 37, 38,40<br />
➢ Temps de vidange (PLPA) p.21<br />
➢ Contrôle BTS ( Bernoulli) p.30<br />
➢ Citerne p.31<br />
➢ Tube de Venturi p.34<br />
➢ Phénomène de cavitation (CAPESA) p.27, 46<br />
➢ Coup de Bélier p.34, 47<br />
➢ Fonctionnement d'une hélice p.43, 44,48<br />
5. Dynamiques des <strong>fluide</strong>s non parfaits<br />
➢ Ecoulement de Poiseuille p.51<br />
➢ Formule de Stockes p.51<br />
➢ Réfrigérant à huile p.51<br />
➢ Perte de charge dans une pipeline p.52<br />
➢ Puissance dissipée dans un oléoduc p.52<br />
➢ Ecoulement laminaire sur p.52<br />
un plan incliné<br />
➢ Etude de l'eau sucrée au p.53<br />
viscosimètre à chute de bille<br />
➢ Viscosimètre capillaire p. 53<br />
➢ Etude de la viscosité du lait p.55<br />
➢ Turbine p.56
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°3<br />
1. ASCENSION ASCENSION<br />
ATMOSPHÉRIQUE<br />
Exercice n°1 - Ascension atmosphérique (Extrait Concours spécial T' – Session 1993)<br />
Introduction<br />
Le problème traite de l'ascension atmosphérique en ballon et montgolfière.<br />
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le champ de pesanteur, d'intensité uniforme g,<br />
est dirigé suivant l'axe vertical Oz, et de sens opposé. Tous les mouvements étudiés<br />
s'effectuent suivant cet axe vertical.<br />
Dans tout le problème, les gaz ont les propriétés du gaz parfait. R désigne la constante des gaz<br />
parfaits.<br />
I. Etude de l'atmosphère en équilibre.<br />
La masse molaire moyenne de l'air est égale à Me. Sa pression est égale à p, sa masse<br />
volumique est égale à � . On désigne par po et � o les valeurs de p et � au niveau du sol (où<br />
z=0).<br />
1. On s'intéresse à l'équilibre de l'atmosphère isotherme. On appelle T la température<br />
uniforme de l'air.<br />
a. Exprimer la valeur de la masse volumique de l'air en fonction de p, R, T et Me.<br />
b. Ecrire la condition d'équilibre statique de l'air. En déduire la valeur de la pression p,<br />
en fonction de po, g, z, Me, R et T.<br />
c. A quelle altitude H la pression est-elle égale po/2 ?<br />
d. Evaluer H, après avoir indiqué les valeurs numériques retenues pour chacune des<br />
données intervenant.<br />
2. Le modèle de l'atmosphère isotherme n'est pas très réaliste ; aussi, on s'intéresse à<br />
Danièle FRISTOT<br />
l'équilibre <strong>poly</strong>tropique de l'atmosphère. Jusqu'à une altitude de 10 km, on admet que la<br />
température de l'air vérifie la loi :<br />
T=T o �1−� z �,<br />
expression dans laquelle le gradient de température −� T o est une constante<br />
négative. To est la température de l'air au niveau du sol.<br />
a. Proposer une valeur numérique plausible pour la constante � , indiquer sur quelles<br />
bases numériques repose votre évaluation.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°4<br />
b. Calculer la pression p de l'air en fonction de l'altitude z, et des paramètres<br />
p o ,� ,M e , g , R et T o .<br />
c. Calculer la masse volumique � de l'air en fonction de l'altitude z, et des paramètres<br />
� o ,� ,M e , g ,R et T o .<br />
d. Exprimer p et � en fonction de l'altitude z, des paramètres p o , � o , � , et de la<br />
constante � dont on donnera l'expression. Montrer que :<br />
p=p o�1 −� z � �<br />
�=� o�1 −� z� ��−1�<br />
e. A quelle altitude H la pression est-elle égale à po/2 ?<br />
Dans toute la suite du problème, on utilisera le modèle de l'atmosphère <strong>poly</strong>tropique.<br />
Les expressions de la pression et de la masse volumique de l'atmosphère seront notées<br />
p e et � e à l'altitude z.<br />
II. Ascension du ballon météorologique<br />
Le ballon météorologique est constitué d'une enveloppe de volume maximal égal à Vm.<br />
La masse de l'enveloppe et des instruments de mesure est égale à m, tandis que leur<br />
volume total est négligeable.<br />
Au niveau du sol, l'enveloppe n'est pas complètement dilatée et occupe le volume Vo,<br />
tandis que la température interne est égale à To.<br />
Le ballon est gonflé avec de l'hélium dont la masse molaire est égale à Mi. La masse<br />
totale de l'hélium est égale à mi. On notera p i et � i la pression et la masse<br />
volumique du gaz à l'intérieur de l'enveloppe. La masse volumique initiale de l'hélium<br />
sera notée � io .<br />
L'ascension du ballon s'effectue en deux phases ; au cours de la première, l'enveloppe<br />
se dilate jusqu'à atteindre le volume Vm ; au cours de la seconde, qui se fait à volume<br />
constant, le ballon s'élève jusqu'à ce qu'il atteigne sa position d'équilibre et son altitude<br />
maximale.<br />
On notera � le rapport des capacités calorifiques à pression et volume constants pour<br />
l'hélium.<br />
Danièle FRISTOT<br />
1. Première phase de l'ascension. On admet que l'hélium, à l'intérieur de<br />
l'enveloppe, subit une détente adiabatique réversible. On admet aussi que l'équilibre de<br />
pression est réalisé entre l'intérieur et l'extérieur du ballon.<br />
a. Quelle est la valeur du rapport � pour l'hélium, considéré comme un gaz parfait ?
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°5<br />
b. Ecrire la condition sur � o ,V o , m et m i , pour que le ballon puisse décoller.<br />
c. A l'altitude z, calculer la masse volumique de l'hélium, en fonction de �i ,� , � , � et z.<br />
o<br />
d. Calculer la poussée d'Archimède � exercée sur le ballon. Exprimer la valeur � 0 de<br />
� au niveau du sol, en fonction de mi, g, Mi et Me, puis la valeur de � en fonction de<br />
� 0 , � , �, � et z.<br />
e. Sachant que �≈5,4 , indiquer le sens de variation de � avec l'altitude.<br />
f. Exprimer la force ascensionnelle F qui fait monter la ballon, en fonction de m, mi, Me,<br />
Mi, g, � , �, � et z.<br />
g. On admettra que la masse m est choisie de telle sorte que la force ascensionnelle F<br />
reste positive lorsque l'enveloppe est complètement dilatée. Quelle est alors l'altitude zd<br />
atteinte par le ballon ?<br />
2. Deuxième phase de l'ascension. Le ballon continue son ascension, sans<br />
augmentation du volume de son enveloppe.<br />
a. Quelle est la température de l'hélium au début de cette phase ?<br />
b. Exprimer la force ascensionnelle F qui fait monter le ballon, en fonction de m, mi, Vm,<br />
g, � , � , � o et z. Quelle est alors l'altitude zm atteinte par le ballon à la fin de cette<br />
seconde phase ?<br />
c. L'altitude zm atteinte, le ballon se met en équilibre thermique avec l'air extérieur.<br />
Quel serait le volume de l'hélium, exprimé en fonction de � o , m, mi, Vo et Vm, dans les<br />
conditions de pression et de température régnant à cette altitude ?<br />
d. En utilisant le résultat de la question II.1.b, montrer que le ballon reste gonflé à son<br />
volume maximal, et qu'il se stabilise à l'altitude zm.<br />
III. Ascension de la montgolfière<br />
Danièle FRISTOT<br />
La montgolfière est constituée d'une enveloppe ouverte de volume intérieur Vo, et d'une<br />
nacelle. La masse totale de l'enveloppe, de la nacelle et des passagers est égale à m ;<br />
le volume propre de ces différents éléments est négligeable.<br />
Le volume de l'enveloppe est constant, mais la masse mi de l'air chaud emprisonné à<br />
l'intérieur de l'enveloppe est variable.<br />
Dans un but de simplification, on supposera, dans cette partie, que la température Ti et<br />
la pression pi sont uniformes à l'intérieur de l'enveloppe.<br />
L'ouverture inférieure de l'enveloppe permet, d'autres part, de réaliser en permanence
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°6<br />
l'équilibre de pression entre le milieu extérieur et l'air chaud intérieur.<br />
Les conditions atmosphériques sont identiques à celles définies pour l'étude de<br />
l'ascension du ballon météorologique.<br />
Les capacités calorifiques molaires à pression et volume constants seront notées Cp et<br />
Cv. On notera � le rapport Cp/Cv de l'air.<br />
La montgolfière est en équilibre à l'altitude z, altitude où l'air extérieur possède la<br />
pression pe et la température Te.<br />
1. Equilibre de la montgolfière.<br />
a. Exprimer la masse mi de l'air intérieur à l'enveloppe en fonction de pe, Vo, Me et Ti.<br />
b. Ecrire la condition d'équilibre de la montgolfière. En déduire une relation qui relie les<br />
températures Te et Ti aux masses m et mi. Exprimer la masse mi en fonction de m, Te et<br />
Ti.<br />
c. Ecrire la condition d'équilibre en fonction de Ti, To, � o , Vo, m, � , � et z.<br />
d. Quelle est la valeur minimale Td de la température Ti permettant le décollage de la<br />
montgolfière ?<br />
e. Exprimer la condition d'équilibre de la montgolfière en fonction de Td. Montrer qu'elle<br />
peut s'écrire : pe[ 1<br />
−<br />
T e<br />
1<br />
T i ] =p o[ 1<br />
−<br />
T o<br />
1<br />
T d ] .<br />
Exercice n° 2 - (Extrait concours spécial P')<br />
Partie I : Etude de différents modèles d'atmosphère<br />
Dans cette partie, on considère l'air comme un gaz parfait. Cet air est en équilibre statique<br />
dans le champ de pesanteur terrestre de module g. Oz désignant l'axe vertical ascendant, on<br />
désire étudier les évolutions de la pression P, de la température T et de la masse volumique �<br />
en fonction de l'altitude z du point considéré.<br />
On pose : P o =P �z =0�, T o =T � z=0� , � o =��z=0�. Pour les applications numériques, on<br />
prendra : g = 9,8 m.s-2, � o=1,25 kg.m −3 , P o=10 5 Pa , T o=290 K.<br />
1. Modèle de l'atmosphère isotherme.<br />
Danièle FRISTOT<br />
On suppose l'air en équilibre isotherme à la température To. Déterminer la pression P et<br />
la masse volumique à l'altitude z en fonction de P o , � o et g.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°7<br />
Application numérique : à quelle distance h o a-t-on : �= � 0<br />
2<br />
2. Modèle de l'atmosphère adiabatique.<br />
On admet qu'il existe maintenant entre P et � une relation de la forme :<br />
P=P 0 [<br />
�<br />
�<br />
� ] 0<br />
avec � = constante.<br />
a. Sachant que le gaz est parfait, établir l'équation différentielle vérifiée par T et<br />
montrer que :<br />
dT<br />
=−� dz<br />
T o<br />
où � est une constante que l'on exprimera en fonction de � , P o , � o et g.<br />
b. En déduire t(z), P(z) et ��z �.<br />
c. Montrer que, dans ce modèle, l'atmosphère est limitée et calculer la hauteur limite<br />
h 1 en fonction de P o , � o , g et � .<br />
Application numérique : en plus des valeurs précédentes, on donne �=1,4 ; calculer<br />
h 1 .<br />
d. Quelle valeur faudrait-il donner à � pour que ce modèle coïncide avec celui de<br />
l'atmosphère isotherme ?<br />
n<br />
x<br />
On rappelle que lim 1� =e<br />
n� ∞[ n ] x .<br />
3. Modèle de l'atmosphère standard.<br />
Danièle FRISTOT<br />
Pour étudier les performances d'un hélicoptère, on définit habituellement une<br />
atmosphère standard où on admet que � et T varie de la manière suivante :<br />
�=� H−z<br />
H�z<br />
T =T o −�z avec H = 20 km et �=6,5.10 −3 K.m −1 .<br />
Ce modèle n'est valable que pour z < 11 km.<br />
a. Montrer que, si l'on donne à � une certaine valeur � s , les modèles de l'atmosphère<br />
adiabatique et de l'atmosphère standard donnent la même évolution de la température<br />
T. Exprimer � s en fonction de �, � ,P o ,T o et g.<br />
Calculer la valeur numérique de � s .<br />
b. On considère maintenant les expressions de la masse volumique � données par les<br />
deux modèles, atmosphère adiabatique avec �=� s et atmosphère standard ; donner<br />
un ordre de grandeur de la valeur numérique du module de l'écart relatif maximum ��<br />
�<br />
entre les deux expressions des masses volumiques (on rappelle que z < 11 km).<br />
Commenter.<br />
?
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°8<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°9<br />
2. STATIQUE STATIQUE<br />
DES FLUIDES ET<br />
Exercice n° 1 : Equilibre d'un aréomètre.<br />
Un densimètre est un instrument de verre, lesté à sa<br />
partie inférieure. Sa masse totale est m. Il est composé<br />
d'une carène lestée de volume V et à sa partie<br />
supérieure d'un tube fin de diamètre d. Le tube est<br />
gradué. La hauteur h dont est immergé le tube, est<br />
reliée à la densité du liquide dans lequel il est plongé.<br />
1. Ecrire la relation d'équilibre de l'instrument dans<br />
un liquide de masse volumique � si la<br />
hauteur du tube immergée est h.<br />
2. Calculer h pour l'eau.<br />
Application numérique :<br />
m=50,00 g ; V=48,00cm 3<br />
Exercice n° 2 : Calcul de la densité d'un liquide.<br />
ET FORCES FORCES<br />
PRESSANTES<br />
; d=3,50mm ; le liquide est de l'eau : �=1000kg.m −3<br />
Pour mesurer la densité d'un liquide, on réalise 3 pesées successives d'un même solide,<br />
suspendu sous le plateau d'une balance.<br />
Lors de la première pesée, le solide est suspendu, à l'air libre. Pour équilibrer le solide, il faut<br />
mettre dans le deuxième plateau une masse m 0 =20,50 g .<br />
Lors de la deuxième pesée, le solide est immergé dans de l'eau distillée à 4°C. Pour équilibrer<br />
le solide, il faut mettre dans le deuxième plateau une masse m 1 =12,70 g .<br />
Lors de la troisième pesée, le solide est immergé dans le liquide dont on cherche la densité, à<br />
20°C. Pour équilibrer le solide, il faut mettre dans le deuxième plateau une masse<br />
m 2 =14,10 g .<br />
Etablir la relation littérale donnant la densité du liquide, puis la calculer.<br />
Donnée : la masse volumique de l'eau à 4°C est � eau =1000kg.m −3<br />
Danièle FRISTOT<br />
.<br />
.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°10<br />
Exercice n°3 - BTS industriels<br />
Un manomètre différentiel est formé de deux récipients cylindriques de sections droites<br />
identiques S, réunis par un tube de section intérieure s (voir figure). Il contient deux liquides<br />
incompressibles non miscibles entre eux ; leur surface de séparation se trouve toujours dans la<br />
partie gauhe du tube de section s.<br />
L'eau a une masse volumique notée � 0 .<br />
L'aniline a une masse volumique notée � .<br />
Figure<br />
1. On étudie l'équilibre initial du manomètre, sachant que la pression au-dessus des deux<br />
liquides est la même, égal à p 0 .<br />
1.1. A désigne un point de la surface de séparation eau/aniline. Enoncer la relation<br />
fondamentale de la statique des <strong>fluide</strong>s. Donner les expressions de p A et de p B en<br />
fonction de p 0 , � 0 , � , H 0 , H et g (voir figure)<br />
1.2. Démontrer la relaion entre � 0 , � , H 0 et H .<br />
2. On provoque une surpression � p au-dessus de l'eau (la pression devient<br />
p 0 �� p�p 0 ) et on observe un déplacement � h de la surface de séparation<br />
eau/aniline (la pression au-dessus de l'aniline reste égale à p 0 ).<br />
2.1. Démontrer que la surface libre de l'eau s'abaisse de<br />
s<br />
S �h .<br />
2.2. Préciser comment se fait le déplacement de la surface libre de l'aniline dans le<br />
récipient de droite, et donner son expression en fonction de � h , s et S.<br />
3. Etude de l'équilibre final du manomètre :<br />
Danièle FRISTOT<br />
3.1. Ecrire les expressions des nouvelles hauteurs d'eau H ' 0 et d'aniline H ' au-<br />
dessus de la nouvelle surface de séparation eau/aniline et en déduire la relation entre la<br />
surpression � p et le déplacement � h .
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°11<br />
3.2. Exprimer<br />
3.3. Calculer<br />
� p<br />
�h en fonction de � 0 , � , s , S et g .<br />
� p<br />
�h<br />
S=100.s , � 0 =998 kg.m −3<br />
et � p en tenant compte des données suivantes :<br />
, �=1024kg.m −3<br />
, g=9,8 m.s −2<br />
Conclure quant à l'ordre de grandeur d'une telle variation de pression.<br />
N.B. : On néglige tout phénomène lié à la tension superficielle.<br />
Exercice n°4 - Citerne à fioul<br />
, � h=5mm .<br />
Une citerne à fioul de capacité volumique C est constituée d'un tronçon central cylindrique<br />
encadré de deux extrémités hémisphériques (figure 1 ci dessus).<br />
Une pompe aspire le combustible jusqu'à la chaudière.<br />
Données :<br />
dimensions extérieures de la citerne L=2,05 m ; R=0,63m<br />
capacité C=2000litres<br />
masse de la citerne (vide) : M=150 kg<br />
masse volumique de l'eau : � e =1000kg.m −3<br />
masse volumique du fioul : � f =840 kg.m −3<br />
accélération de la pesanteur : g=10m.s −2<br />
Danièle FRISTOT<br />
Fuel<br />
Capacité C<br />
L<br />
Socle en béton<br />
Eau<br />
Ancrage<br />
2R
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°12<br />
Ancrage de la cuve<br />
La notice du constructeur porte la mention :<br />
Pose en cas de nappe phréatique :<br />
prévoir quatre points d'ancrage<br />
commander un jeu de deux sangles.<br />
1. Indiquer brièvement pourquoi l'on doit prendre ces précautions.<br />
2. On suppose que la cuve est entièrement immergée dans l'eau (figure 2).<br />
Exprimer puis calculer :<br />
2.1. le volume extérieur de la citerne V e ;<br />
2.2. l'intensité A de la poussée d'Archimède qu'exerce l'eau sur la cuve ;<br />
2.3. l'intensité F de l'effort supporté par chaque point d'ancrage lorsque la cuve est à<br />
moitié remplie de fioul.<br />
Exercice n°5 - (Extrait concours ingénieur ville de Paris)<br />
Un ludion est un petit personnage (P) solide,<br />
solidaire d’une petite sphère (S)<br />
imperméable de volume variable,<br />
renfermant de l’air ; il est placé dans une<br />
éprouvette cylindrique verticale (C), de<br />
hauteur très supérieure aux dimensions du<br />
ludion (les échelles ne sont pas respectées<br />
sur la figure), remplie d’eau sur une hauteur<br />
h et fermée dans sa partie supérieure par<br />
une membrane souple imperméable (S).<br />
Lorsqu’on n’appuie pas sur la membrane, le ludion est en équilibre en un point voisin de la<br />
surface de l’eau (figure 1). Lorsqu’on appuie sur la membrane (S), on constate que le ludion<br />
tombe au fond de l’éprouvette (figure 2). On se propose d’interpréter sommairement cette<br />
observation.<br />
L’eau est supposée incompressible et homogène, de masse volumique � = 10 3 kg.m -3 .<br />
L’air contenu entre l’eau et la membrane (S) forme un système fermé (A). Lorsqu’on n’appuie<br />
pas sur la membrane, l’air contenu dans (A) est en équilibre dans l’état E 1 ; il occupe un<br />
volume initial V a1=100 cm 3<br />
, sa température vaut T a1 =300 K et sa pression est égale à<br />
P a1 =1,0 bar . Lorsqu’on appuie sur la membrane, l’air contenu dans (A) atteint un nouvel<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°13<br />
état d’équilibre E 2 ; sa pression prend la valeur P a2 =2,0 bar , sa température devient T a2 et<br />
le volume occupé devient V a2 .<br />
L’air, contenu dans la sphère (S) ou dans le système (A) est assimilé à un gaz parfait de masse<br />
molaire M=29 g.mol -1 , dont le rapport des capacités calorifiques à pression et à volume<br />
constants vaut �= Cp =1,4 . On rappelle la valeur de la constante des gaz parfaits, R=8.31 J.K<br />
Cv -<br />
1 .mol -1 .<br />
1. Champ de pression dans l’eau : on considère le dispositif en l’absence de ludion, c’est-à-<br />
dire plus précisément lorsqu’on remplace le ludion immergé par un volume équivalent d’eau.<br />
Exprimer à l’équilibre, les pressions P 1 (z) et P 2 (z) dans l’eau en fonction de P a1 , P a2 , g,<br />
� et z.<br />
2. Mouvement du ludion : on admet que le champ de pression déterminé à la question<br />
précédente est effectivement le champ de pression en présence du ludion, que celui-ci soit au<br />
repos ou en mouvement. Lorsqu’on n’appuie pas sur la membrane, la sphère souple (S),<br />
solidaire du ludion, est immergée en équilibre, à la cote z = 0. Cette sphère, remplie d’air à la<br />
température T a1 =300 K et à la pression P a1 =1,0 bar occupe alors un volume V L = 1 cm 3 .<br />
On admet que lorsque le centre d’inertie G du ludion est à la cote z, on peut déterminer<br />
approximativement le volume de (S) en considérant que l’air qu’elle contient est à la pression<br />
uniforme P 1 (z) ou P 2 (z) suivant qu’on appuie ou non sur la membrane.<br />
a) En traduisant l’équilibre du ludion dans l’état initial et en négligeant le volume du<br />
personnage (P) devant celui de la sphère (S), calculer sa masse m.<br />
b) En adoptant un modèle d’évolution adiabatique et réversible pour l’air contenu dans la<br />
sphère (S), exprimer son volume V(z) lorsqu’on appuie sur (Σ) et que le centre d’inertie G du<br />
ludion est à la cote z, en fonction de P a1 , P a2 , g, � , z, � et V L .<br />
c) Etablir l'équation différentielle du deuxième ordre dont est solution la fonction z(t) en<br />
négligeant les frottements.<br />
d) En déduire la vitesse (dz / dt) en fonction de z et des données.<br />
e) Donner une valeur approximative de la vitesse avec laquelle le ludion atteint le fond du<br />
récipient (z = h = 1m).<br />
f) Discuter brièvement en quoi le comportement du ludion serait qualitativement changé ou<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°14<br />
inchangé si sa masse diminuait de 5 %. Même question si elle augmentait de 5%.<br />
Exercice n°6 : Tube en U<br />
Soit un tube en U contenant trois liquides non miscibles<br />
� 1 , � 2 et � 3 . Déterminer l'altitude de chaque niveau<br />
de séparation par rapport à une altitude 0 de référence<br />
au sol.<br />
Données : z 0 −z 1 =0,2 m ; � 1 =1000 kg.m −3 �eau�<br />
z 3 −z 2 =0,1 m ; � 2 =13,6.10 3 kg.m −3 �Hg�<br />
z 1 �z 2 =1 m ; � 3 =700 kg.m −3 �essence�<br />
Exercice n°7 : Barrage prismatique (extrait PLP externe 2002)<br />
Dans tout l’exercice, les solides et les liquides sont plongés dans le champ de pesanteur<br />
uniforme d'intensité g.<br />
Le référentiel du laboratoire est supposé galiléen, et associé à un repère R (O, x, y, z), tel que<br />
l'axe Oz soit dirigé suivant la verticale ascendante.<br />
On se réfère au schéma de la figure ci-dessous. Le barrage est formé d'un solide indéformable,<br />
en forme de pentaèdre de base rectangulaire. Sa section est un triangle isocèle, de hauteur h,<br />
de demi angle au sommet égal à � . Sa masse volumique est égale à � .<br />
Il est posé sur le sol horizontal et permet de retenir l'eau d'un lac dont la masse volumique est<br />
égale à � .<br />
On note u le vecteur normal à la face immergée<br />
( dirigé vers le barrage) et u’ le vecteur normal à<br />
la face à l’air libre et aussi dirigé vers le barrage.<br />
On suppose que les seules forces qui<br />
interviennent sont liées à la pression des <strong>fluide</strong>s<br />
(eau et air), au poids du barrage et aux forces de<br />
contact exercées sur le sol.<br />
Danièle FRISTOT<br />
2�<br />
�<br />
z o<br />
z 3<br />
z 2<br />
z 1<br />
0<br />
� 1<br />
z<br />
Eau �<br />
0<br />
� 2<br />
h<br />
� 3<br />
�g<br />
x
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°15<br />
La longueur L du barrage est suffisamment grande pour que l'on puisse négliger les forces de<br />
liaison intervenant à ses extrémités.<br />
On appellera p o la pression uniforme de l'air au voisinage du barrage.<br />
1. Exprimer la pression P exercée par l'eau sur le barrage en fonction de l’altitude z, p o , � ,g et<br />
h.<br />
2. Calculer la résultante des forces pressantes par unité de longueur sur la face immergée du<br />
barrage. En déduire la résultante de forces pressantes par unité de longueur sur la face<br />
émergée.<br />
3. On admet que ni l'air, ni l'eau ne peuvent pénétrer sous le barrage. On considère que ce<br />
dernier ne tient alors en équilibre sur le sol que par action de forces de frottement solide. Dans<br />
ce cas la réaction du sol par unité de longueur, sur le barrage est représentée par :<br />
➢ une composante normale N verticale ascendante,<br />
➢ une composante tangentielle T horizontale qui s'oppose au glissement du barrage.<br />
Déterminer les composantes N et T, composantes de la réaction du sol sur l'unité de longueur<br />
de barrage.<br />
4. L'équilibre statique n'est garanti que si |T| < f |N|, expression dans laquelle f est un<br />
coefficient constant positif, appelé coefficient de frottement statique du barrage sur le sol. En<br />
déduire la valeur minimale du coefficient de frottement, pour que le barrage reste en équilibre<br />
sur le sol, sans glisser.<br />
5. Application numérique.<br />
Déterminer la valeur limite de f pour que le barrage ne glisse pas.<br />
Données :<br />
h = 10 m ; g = 10m.s -2 ; � = 2.10 3 kg.m -3 ; � = 103 kg.m -3 ; � = 45° ; Po = 105 Pa<br />
Exercice n°8 - (Extrait Concours navale – session 1994)<br />
I. Statique des <strong>fluide</strong>s<br />
On considère de l'eau liquide de masse volumique � pas nécessairement constante, en<br />
équilibre dans le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme. L'axe z'z est orienté de bas<br />
en haut et h représente la hauteur d'eau. Ecrire la relation locale liant en un point quelconque<br />
du <strong>fluide</strong> la masse volumique à la pression qui existe en ce point.<br />
1. En déduire que les surfaces isobares sont des plans horizontaux.<br />
2. On suppose dans cette question que le <strong>fluide</strong> est de l'eau et qu'elle est incompressible,<br />
Danièle FRISTOT<br />
déterminer alors la relation qui relie la pression P(z) à la côte z en fonction de la
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°16<br />
pression à la surface libre du liquide Po, de la hauteur h d'eau et de l'altitude z. Par la<br />
suite on définit P(z) comme la pression différentielle due à l'eau c'est-à-dire p(z) = P(z) –<br />
Po.<br />
3. On tient compte maintenant de la variation de � avec la pression. On prendra comme<br />
relation pour le volume :<br />
V =V o �1−c 2 −P−P o � au voisinage de Vo<br />
4. On donne To = 273 K, et Po = 101325 Pa. On mesure m/V o=� o=10 3 kg/m 3 .<br />
a. Déterminer P(0) et p(0) pour h=100 m en considérant l'eau soit comme un <strong>fluide</strong><br />
incompressible, soit comme un <strong>fluide</strong> compressible. Conclusion.<br />
b. Quelle erreur relative commet-on, quand on assimile l'eau a un <strong>fluide</strong> incompressible,<br />
on exprimera cette erreur relative en fonction de � , � o , g et (h-z).<br />
c. Application numérique : calculer (h-z) pour obtenir une erreur relative de 1%.<br />
II. Etude d'un barrage – poids<br />
DANS TOUTE LA SUITE DU PROBLEME ON PRENDRA �=� o .<br />
Il existe deux grandes catégories de barrages, les barrages – poids et les barrages – voûtes.<br />
Les barrages – poids ont presque tous la même coupe transversale triangulaire, le sommet du<br />
triangle placé au niveau le plus haut que pourra atteindre la surface libre de l'eau. Les<br />
parements d'un barrage sont les deux faces visibles de l'ouvrage en général en béton. On<br />
distingue le parement amont (face côté eau) et le parement en aval (face côté air). Le<br />
parement amont est vertical et le parement aval est incliné et sa pente est donnée par l'angle<br />
� (voir fig. 1). L'ouvrage subit trois forces réparties, les forces de pression exercées par<br />
l'eau, le poids du barrage et la réaction que le sol exerce sur l'ouvrage. On admettra que les<br />
éléments de réduction de ces actions sont une force �F appliquée en C, le poids �P appliqué<br />
en G et une réaction �R appliquée en M. On note h la hauteur du barrage, par L sa largeur de<br />
base et par he la hauteur moyenne de l'eau retenue en amont. (On a évidemment he < h.)<br />
L'eau est considérée comme un <strong>fluide</strong> incompressible de masse volumique � o . Le béton a une<br />
masse volumique égale � b . On donne � b =2,5 � o .<br />
On considèrera une base �u x et �u z et que les vecteurs seront toujours déterminés dans cette<br />
base.<br />
De plus les calculs seront effectués, numériquement ou non, en considérant toujours 1 mètre<br />
de largeur de barrage.<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°17<br />
1. Les forces de pression que l'eau exerce sur une face amont en un point Mi sont notées<br />
�dF , la résultante de cette force répartie sera notée �F et on définit son centre de<br />
poussée C par la relation<br />
�OC∧�F=∫∫<br />
�OM<br />
s i∧�dF<br />
2. Déterminer le poids de l'ouvrage et donner la position de son centre de gravité G. (On<br />
précisera les composantes et les coordonnées.)<br />
3. En écrivant les conditions d'équilibre, trouver alors la résultante des actions que le sol<br />
exerce sur le barrage et déterminer la position M où s'exerce cette résultante.<br />
4. Pour des raisons de sécurité on souhaite que la position du point M se situe avant les<br />
2/3 de la base, soit x M�2L /3. Ceci est pour éviter le basculement du barrage sous la<br />
pression de l'eau par rapport au point B. Quelle valeur doit-on donner à � pour que<br />
cette condition soit réalisée.<br />
Faire l'application numérique. On prendra he = 0,8 h. On notera � 1 la valeur limite de<br />
� .<br />
5. On impose une deuxième condition, on veut que le rapport des composantes<br />
horizontale et verticale de la réaction que le sol exerce sur le barrage soit dans le<br />
rapport ¾.<br />
a. Quelle est la raison physique de cette condition ?<br />
b. Quelle valeur doit-on donner à � pour que cette condition soit réalisée. Faire<br />
l'application numérique. On notera � 2 la valeur limite de � .<br />
6. En fait des infiltrations d'eau se produisent au niveau des fondations. Ces infiltrations<br />
d'eau créent sous celui-ci des sous pressions effectives qui décroissent linéairement de<br />
A à B. Elles sont évidemment proportionnelles à la hauteur d'eau he, la sous-pression est<br />
nulle en B et égale à � e g�h e en A.<br />
a. Déterminer la poussée verticale �F 1 due à ces sous-pressions et son centre de<br />
poussée C1.<br />
b. Quelles sont alors les nouvelles valeurs de � 1 et � 2 . Application numérique. On<br />
prendra �=0,5.<br />
7. On choisit finalement �=60 ° pour construire le barrage ; par suite de pluies<br />
Danièle FRISTOT<br />
eau<br />
h e<br />
�u z<br />
A<br />
barrage<br />
�<br />
�u x<br />
B(L)
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°18<br />
exceptionnelles le barrage est complètement rempli, les conditions données au 1.4 et<br />
au 1.5 sont-elles vérifiées ?<br />
III. Etude d'un barrage – voûte<br />
Un barrage – voûte s'arc-boute sur les flancs d'une vallée pour leur transmettre les efforts<br />
provenant de la poussée de l'eau. On considère que le barrage voûte a un parement amont de<br />
profil courbe d'équation z=ax n<br />
calcul des forces de poussée sur l'unité de largeur.<br />
, n étant positif mais pas nécessairement entier. On fera le<br />
1. On considère la quantité d'eau comprise entre HIA, toujours sur une largeur de 1 mètre.<br />
Calculer le poids de cette quantité d'eau, on note par he la hauteur d'eau AH = IB, par xe<br />
la distance HI = AB. (HIBA est un rectangle.)<br />
2. Déterminer les coordonnées du centre de gravité de cette quantité d'eau<br />
�AG=x G �u x �z G �u z<br />
3. Calculer la force due à la pression que cette quantité d'eau subit sur la face AH et<br />
déterminer le centre de poussée.<br />
4. Déduire des calculs précédents la poussée �F que le barrage reçoit de l'eau, on<br />
déterminera les composantes Fx et Fz de cette poussée.<br />
5. Trouver une équation de degré n vérifiée par l'abscisse xC du centre de poussée.<br />
6. Application numérique : déterminer Fx, Fz, xC et zC avec he = 50 m, n=2 et xe = 10 m.<br />
Exercice n°9 - (Extrait Concours externe CAPESA 2000)<br />
1. Statique des <strong>fluide</strong>s :<br />
1.1 Etablir l’équation locale d’un <strong>fluide</strong> de masse volumique � en équilibre dans un champ de<br />
pesanteur terrestre uniforme �g : dp=−�. g.dz (l’axe Oz est vertical ascendant).<br />
Danièle FRISTOT<br />
eau<br />
�u z<br />
H(h e ) I<br />
A<br />
�u x<br />
B (xe)<br />
barrage
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°19<br />
1.2. Applications :<br />
1.2.1 On peut considérer que dans une zone de l’atmosphère terrestre d’environ 10 km<br />
d’épaisseur �0≤z≤10 km� , la température décroît avec l’altitude z selon une loi<br />
affine : T = T o .(1 – k.z) où T o et k sont des constantes positives. Le champ de pesanteur<br />
reste pratiquement constant et l’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M.<br />
L’indice 0 (P o , � 0 , T o ) est relatif aux grandeurs au sol (z = 0).<br />
On posera �= Mg<br />
�1 : où R est la constante universelle des gaz parfaits.<br />
k.R.T o<br />
a – Exprimer la pression P à l’altitude z en fonction de Po, k, � et z.<br />
b – Calculer numériquement la pression P dans une station d’hiver à l’altitude<br />
z = 2300 km, sachant que M = 29.10 -3 kg.mol -1 ; T o = 293 K ; R = 8,32 J. mol -1 .K -1 ;<br />
g = 9.81 m.s -2 ; Po = 10 5 Pa et k = 2,2.10 -5 m -1 .<br />
c – En déduire qualitativement comment varie la température d’ébullition de l’eau avec<br />
l’altitude et préciser l’intérêt d’un auto-cuiseur dans ces conditions.<br />
1.2.2. Une porte d’écluse, verticale, plane, rectangulaire, de largeur L et de hauteur H subit<br />
l’action de l’eau d’un canal sur l’une de ses faces sur une hauteur Ho.<br />
Calculer la force pressante qu’exerce l’eau sur cette porte d’écluse.<br />
A. N. : masse volumique de l’eau � = 10 3 kg.m -3 ; L = 6m ; H = 10 m ; H o = 5m et g<br />
= 9.81 m.s -2 .<br />
2. Dynamique des <strong>fluide</strong>s parfaits<br />
2.1Définir la notion de <strong>fluide</strong> parfait<br />
2.2Le théorème d'Euler résulte de l'application de la relation fondamentale de la dynamique<br />
d'un système matériel au cas d'un système <strong>fluide</strong> fermé contenu dans un tube<br />
d'écoulement (système A1B1A2B2 de la figure ci-dessous).<br />
Dm étant le débit massique, il s'exprime par ∑ �F ext=D m� �v 2 − �v 1�.<br />
Danièle FRISTOT<br />
A 1<br />
�v 1<br />
B 1<br />
A 2<br />
B 2<br />
�v 2
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°20<br />
2.2.1 Donner la définition du débit massique noté Dm.<br />
Vérifier l'homogénéité du théorème d'Euler<br />
2.2.2 Applications :<br />
a – Dans un réacteur, la propulsion est obtenue en éjectant à l'arrière les gaz résultant<br />
de la combustion de kérosène dans de l'air préalablement comprimé, prélevé en<br />
amont.<br />
La vitesse absolue de l'avion est notée �v et la vitesse relative des gaz éjectés en aval<br />
�u. Voir figure ci-dessous.<br />
- Etablir l'expression de la poussée du réacteur.<br />
b – On considère une fusée dans sa phase d'accélération.<br />
- Préciser la différence de principe de propulsion entre une fusée et un réacteur, pour<br />
ce qui concerne les <strong>fluide</strong>s.<br />
- En déduire l'expression de la poussée d'une fusée.<br />
2.3. Le théorème de Bernoulli est une conséquence de l'application du théorème de<br />
Danièle FRISTOT<br />
l'énergie cinétique à un système <strong>fluide</strong> contenu dans un tube de courant élémentaire<br />
(système A1B1A2B2 de la figure ci-dessous).<br />
z<br />
z 2<br />
z 1<br />
0<br />
A 1<br />
�v<br />
�v 1<br />
B 1<br />
A 2<br />
�u<br />
B 2<br />
�v 2
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°21<br />
Danièle FRISTOT<br />
2.3.1 Enoncer le théorème de Bernoulli en précisant les conditions de sa validité.<br />
2.3.2 Première application. Voir schéma ci-dessous<br />
Dans le jet d'une soufflerie orienté verticalement de haut en bas, on place une balle de<br />
ping-pong que l'on abandonne. La balle reste au dessous du jet dans l'entonnoir.<br />
Indiquer comment le théorème de Bernoulli permet d'expliquer cette observation.<br />
Préciser le rôle de l'entonnoir. On indiquera l'(les) approximation(s) nécessaire(s) pour<br />
que cette interprétation soit acceptable.<br />
2.3.3 Seconde application.<br />
Vers 2000 ans av J.C., les anciens Egyptiens mesuraient le temps avec une clepsydre<br />
(horloge à eau). Celle-ci est constituée d'un réservoir de section circulaire muni d'un<br />
orifice C à la partie inférieure.<br />
Sa forme est choisie de telle manière que la hauteur z comptée à partir de l'orifice de<br />
sortie C de section s ; on suppose que l'on a toujours S(z) >> s.<br />
a – Déterminer à partir de la relation de Bernoulli la vitesse de sortie du liquide v(z) en<br />
fonction de la hauteur z du liquide restant à un instant donné.<br />
b – Donner deux expressions du débit volumique en fonction de s et v(z) ainsi que de<br />
S(z) et dz<br />
dt .<br />
c – La surface libre du liquide est de la forme S� z�=k �z avec k = constante. A<br />
l'instant t = 0, la hauteur de liquide est H.<br />
En déduire que la variation de la hauteur de liquide z en fonction du temps est bien une<br />
fonction affine du temps.<br />
d – Calculer le temps d'écoulement du liquide correspondant à une hauteur de liquide<br />
z= h<br />
2 , sachant que k = 0,2 S.I. ; H = 0,5 m ; s = 1 mm2 et g = 9,81 m.s -2 .
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°22<br />
Exercice n°1 – Loi de Laplace<br />
3. TENSION TENSION<br />
SUPERFICIELLE<br />
Considérons 2 plaques planes parallèles situées à la distance 2a l’une de l’autre et plongées<br />
dans l’eau qui les mouille parfaitement. (On pourra assimiler, dans le plan, la trace de la<br />
surface libre a un demi cercle).<br />
Calculez de deux façons différentes la valeur de la dénivellation h (forces de tension<br />
superficielle et formule de Laplace).<br />
A. N : eau A = 73.10 -3 S.I.<br />
a = 1 mm<br />
Exercice n°2 – Ascension capillaire<br />
Un corps solide S en matière plastique de forme parallélépipédique rectangle (base carrée de<br />
côté a et de longueur l très grande par rapport à a) flotte sur un liquide L sur lequel il est<br />
allongé, sa longueur l parallèle à la surface. En raison du phénomène de capillarité, le<br />
raccordement de la surface du liquide autour du solide se fait sous un angle � . Soient � la<br />
masse volumique du liquide et A sa constante capillaire.<br />
On donne � = 1g.cm -3 ; A = 70 ergs.cm -2 ; a = 2 cm ; l= 20 cm.<br />
1. Etablir la relation entre l’ascension z et la courbure au<br />
point correspondant de la surface de raccordement.<br />
Application : � = 0°.<br />
2. Le liquide situé au-dessus de X’X exerce des forces de<br />
pression sur une paroi latérale. Calculer la grandeur<br />
et le point d’application de leur résultante.<br />
Exercice n°3 - L'impossible montée<br />
Données numériques :<br />
➢ Accélération de la pesanteur g=9,81 m.s −2<br />
➢ Constante des gaz parfaits R=8,3145 J.K −1 . mol −1<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°23<br />
➢ Pression atmosphérique normale 1,01325 bar=0,101325MPa≈760mmHg<br />
➢ Masse volumique de l'eau à 20°C �=0,99821 g.cm −3<br />
➢ Tension superficielle de l'eau à 20°C �=72,75 x10 −3 N.m −1<br />
➢ Viscosité dynamique de l'eau à 20°C �=1,002 x10 −3 kg.m −1 . s −1<br />
➢ Rayon des canaux de xylène (bois) R≈25 � m �conifères � à 200� m �chêne�<br />
➢ Température de fusion de la glace sous<br />
pression normale<br />
A. La poussée atmosphérique<br />
T F =273,15 K<br />
1. En supposant que l'eau est incompressible, quelle est la pression P(h) au sommet d'une<br />
colonne d'eau de hauteur h et dont la base est à la pression atmosphérique Po ?<br />
2. Application numérique : Quelle hauteur maximale hA peut atteindre l'eau soumise à une<br />
aspiration sous vide ?<br />
B. La capillarité<br />
A l'interface entre une phase liquide et une phase gazeuse, un accroissement réversible dA de<br />
la surface de contact, à température constante, nécessite un apport énergétique par travail<br />
donné par � dA où � ( � > 0) est la constante de tension superficielle entre les deux<br />
phases. Les forces de tension superficielle tendent donc à réduire la surface de contact et elles<br />
créent du côté concave une surpression par rapport au côté convexe, donnée, pour une<br />
interface sphérique de rayon r, par<br />
2 �<br />
.<br />
r<br />
1. On considère une goutte de liquide, sphérique, de rayon r, à l'équilibre avec l'air<br />
environnant de pression uniforme Po ; soit Pi la pression au sein de la goutte.<br />
a. Donner l'expression de Pi en fonction de Po, � et r.<br />
b. Application numérique : A partir de quel rayon la pression au sein d'une goutte d'eau<br />
est-elle supérieure de 1 o / oo à la pression atmosphérique ?<br />
2. Lorsque l'on plonge un tube de verre très propre, cylindrique et de faible rayon R, dans<br />
un liquide, on constate que le liquide s'élève dans le tube d'une hauteur h. Le ménisque<br />
a la forme d'une calotte sphérique qui se raccorde aux parois avec un angle � (voir<br />
figure 1).<br />
Danièle FRISTOT<br />
a. En calculant la pression du liquide sous le ménisque de deux façons différentes, relier<br />
h à R, cos � et à la grandeur � C = � �<br />
� g<br />
interprétera.<br />
b. Que se passe-t-il si �� �<br />
2 ?<br />
, dont on donnera la dimension et que l'on
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°24<br />
c. Application numérique : Calculer � C pour l'eau. De quelle hauteur hC la sève<br />
brute peut-elle s'élever par capillarité dans les canaux de xylène qui la transportent ?<br />
Exercice n°4 - Capesa externe 1994<br />
Formation des gouttes à l'extrémité d'une pipette – Etude de la chute d'une goutte<br />
d'eau dans l'air<br />
1. Des gouttes d'éthanol sont émises, à 20°C, à l'aide d'une pipette dont la section droite<br />
de l'extrémité est plane.<br />
1.1 Réaliser le bilan des forces qui s'exercent sur une goutte se formant à l'extrémité de<br />
la pipette.<br />
1.2 Décrire le phénomène observable à l'instant précis où la goutte se détache. Faire un<br />
schéma à cet instant.<br />
1.3 Etablir l'expression de la masse de la goutte.<br />
1.4 Déterminer le rayon de striction au moment où la goutte se détache.<br />
On donne :<br />
➢ 1 mL d'éthanol contient 70 gouttes<br />
➢ diamètre extérieur de la pointe de la pipette : D = 2.10 -3 m<br />
➢ constante de tension superficielle de l'éthanol à 20°C : � 1 =23.10 −3 N.m −1<br />
➢ densité de l'éthanol à 20°C : d = 0,791<br />
➢ constante de l'attraction terrestre au lieu de l'expérience : ∣∣�g∣∣=9,81 m.s −2<br />
2. Des gouttes d'eau pure sont émises à l'aide de la même pipette, dans les mêmes<br />
Danièle FRISTOT<br />
h<br />
�<br />
2R
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°25<br />
conditions expérimentales.<br />
Calculer la masse d'une goutte d'eau, au moment où celle-ci se détache de la pipette.<br />
On donne la constante de tension superficielle de l'eau à 20°C : � 2 =73.10 −3 N.m −1<br />
3. Chaque goutte d'eau qui tombe dans l'air est soumise à son poids �P et à l'action de<br />
l'air. Chaque goutte s'échappe de la pipette sans vitesse initiale.<br />
L'air exerce sur la goutte une force de résistance proportionnelle à sa vitesse de la<br />
forme �f =−K .�v .<br />
La goutte reste sphérique au cours de la chute.<br />
On néglige la poussée d'Archimède et on considère que le système est ramené à son<br />
barycentre.<br />
On fait l'hypothèse que l'évaporation au cours de la chute est négligeable.<br />
3.1 Etablir l'équation différentielle du mouvement de la goutte.<br />
3.2 Montrer que la goutte atteint une vitesse limite v L .<br />
3.3 Calculer la durée de la chute pour que la vitesse de la goutte soit à 10-3 près celle<br />
de la vitesse limite.<br />
On donne la vitesse limite de la goutte déterminée expérimentalement : v L=0,25 m.s −1 .<br />
Exercice n°5 – Méthode d'arrachement<br />
On veut mesurer la tension superficielle d'un liquide par la méthode d'arrachement. Une lame<br />
de platine de 20mm de long et d'épaisseur négligeable est suspendue à un fil passant sur<br />
une potence ; on peut tirer sur ce fil sans secousse. La lame est mouillée dans un liquide versé<br />
dans un récipient placé sur le plateau d'une balance électronique. Cette balance indique alors<br />
m 1 =250,35 g . La lame est ensuite arrachée de la surface. Juste avant l'arrachement, la<br />
balance indique une masse m 2 =250,06 g .<br />
1. Justifier le signe de la différence de pesée.<br />
2. Déterminer la tension superficielle du liquide dans les conditions de température et de<br />
pression de la mesure.<br />
Donnée : g=10m.s −2<br />
Exercice n°6 – Densimètre<br />
.<br />
Soit le densimètre de la figure ci dessous. Sa masse totale est notée m . Il est composé d'une<br />
carène de volume V et à sa partie supérieure d'un tube fin de diamètre d . Le tube est<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°26<br />
gradué. La hauteur h dont est immergé le tube est reliée à la densité du liquide dans lequel<br />
il est plongé.<br />
On se propose d'étudier l'influence des phénomènes de capillarité sur la mesure de densité<br />
effectuée à l'aide de ce densimètre.<br />
En négligeant la force de tension superficielle, on avait trouvé dans l'eau une hauteur<br />
immergée h=0,208m .<br />
1. Exprimer la force de tension superficielle qui<br />
s'exerce sur le tube.<br />
2. En déduire la hauteur h' de tige immergée en<br />
tenant compte de cette force.<br />
Application numérique :<br />
� m=50,00 g ;<br />
� V =48,00cm 3<br />
� d=3,50 mm ;<br />
� le liquide est de l'eau :<br />
- �=1,00 .10 −3 kg.m −3<br />
- �=73.10 −3 N.m −1<br />
;<br />
� - g=10m.s −1<br />
;<br />
Conclusion ?<br />
Danièle FRISTOT<br />
;<br />
;
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°27<br />
Exercice n°1 : Ecoulement vertical<br />
4. DYNAMIQUE<br />
YNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS<br />
On utilise le venturimètre représenté sur la figure ci-contre<br />
pour mesurer un débit d’eau.<br />
La dénivellation du mercure dans le manomètre différentiel<br />
est h = 35,8 cm, la densité du mercure est 13,6.<br />
1. Expliciter le débit d’eau en fonction de la différence des<br />
pressions entre les points A et B et de leur distance h’ =<br />
75,0 cm. On fera l’hypothèse d’un <strong>fluide</strong> parfait,<br />
incompressible.<br />
2. Calculer le débit sachant que les diamètres du col et du<br />
tube sont respectivement 15 et 30 cm.<br />
3. Calculer les vitesses moyennes de l’eau dans le col, ainsi<br />
que dans le tube.<br />
Exercice n°2 : Alliage d'aluminium<br />
On désire couler par gravité un alliage d'aluminium dans une coquille. Voir le schéma ci-dessus<br />
d'une demi-coquille.<br />
L'alliage liquide est considéré comme un <strong>fluide</strong> parfait.<br />
On donne<br />
Danièle FRISTOT<br />
- la masse de la pièce M=0,162 kg ;<br />
- masse volumique de l'alliage : � b =2,7 kg.dm −3<br />
- la section du trou d'attaque de remplissage S=80 mm 2<br />
.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°28<br />
Chaque pièce est coulée en un temps �t de deux secondes.<br />
1. Calculer le débit massique Q m au niveau du point d'attaque de la coulée point A.<br />
2. Calculer la vitesse du <strong>fluide</strong> en un point A pendant la coulée, cette vitesse étant<br />
considérée comme constante pendant toute l'opération.<br />
Exercice n°3 : Nettoyage au jet d'eau<br />
Une lance nettoyeuse est raccordée à un tuyau d'alimentation de section S 1 et de même<br />
axe horizontal que la lance. A l'intérieur de ce tuyau, l'eau est soumise à la pression p 1 et<br />
possède la vitesse v 1 =8m.s −1<br />
.<br />
Afin d'obtenir un nettoyage efficace, on souhaite obtenir, à la sortie de la lance, une vitesse de<br />
jet v 2 =80m.s −1<br />
et un débit de 6000 L.min −1<br />
1. Calculer la section S 1 du tuyau d'alimentation.<br />
2. Calculer la pression p 1 de l'eau à l'intérieur du tuyau.<br />
Exercice n°4 : Chauffage central<br />
Dans une installation de chauffage central, l'eau sort de la chaudière avec un débit volumique<br />
q v =18L.min −1 à une pression p=5.10 5 Pa dans un tuyau de diamètre intérieur D=20mm .<br />
Les radiateurs sont branchés en dérivation.<br />
Le diamètre intérieur du tuyau qui les parcourt est d=5 mm.<br />
On considère l'eau comme un <strong>fluide</strong> parfait de masse volumique �=1,00 .10 −3 kg.m −3 .<br />
1. Calculer la vitesse de l'eau à la sortie de la chaudière.<br />
2. Calculer la vitesse et la pression de l'eau en un point d'un radiateur situé à 3,0 m<br />
Danièle FRISTOT<br />
d'altitude au dessus de la chaudière dans les deux cas suivants :<br />
2.1. un seul radiateur est ouvert<br />
2.2. deux radiateurs sont ouverts<br />
.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°29<br />
Exercice n°5 : Vidange de réservoir<br />
Données :<br />
�=900 kg.m −3<br />
s=3,0cm 2<br />
g=9,8 N.kg −1<br />
Le réservoir représenté ci-dessus, ouvert à l'air libre, a pour dimensions :<br />
L=1,60 m ; l = 0,75 m ; H = 1,00 m.<br />
Il est muni, à sa base, d'un orifice de vidange de section s. Le réservoir est plein de fioul,<br />
liquide parfaitement <strong>fluide</strong>, de masse volumique � .<br />
1. L'orifice est ouvert. On procède à la vidange du réservoir.<br />
1.1. La section horizontale du réservoir (L x l = S) étant très grande par rapport à la<br />
section s de l'orifice de vidage, quelle approximation peut-on faire ?<br />
1.2. Etablir l'expression littérale de la valeur c de la vitesse du jet au niveau de l'orifice<br />
de vidange lorsque la hauteur du liquide est H (la pression extérieure au niveau de<br />
l'orifice est celle de l'air environnant).<br />
1.3. Calculer la valeur numérique de c.<br />
1.4. Exprimer le débit volumique q v en fonction de : H, s, g.<br />
1.5. Calculer la valeur numérique de q v .<br />
1.6. Quelle serait la durée du vidage si ce débit restait constant ?<br />
2. Calcul de la durée théorique du vidage.<br />
Danièle FRISTOT<br />
Pendant une durée très petite dt la hauteur du liquide dans le réservoir varie de dz.<br />
2.1. Exprimer la variation de volume dv correspondante :<br />
2.1.1. en fonction de dz<br />
2.1.2. en fonction de q v .<br />
2.2. En déduire que dt= −S<br />
s<br />
1<br />
s �2gz dz
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°30<br />
2.3. Sachant qu'une primitive de<br />
1<br />
� z est 2� z ; montrer, en utilisant l'équation<br />
précédente, que la durée théorique du vidage est voisine de 30 minutes.<br />
2.4. Comparer cette valeur à celle trouvée à la question 1.6.<br />
2.5. Expliquer la différence.<br />
3. La durée réelle du vidage est en fait supérieure à la durée théorique calculée.<br />
Pourquoi ?<br />
Exercice n°6 : Contrôle BTS (50 min)<br />
Un récipient de section S contient un liquide idéal<br />
de masse volumique � . La hauteur H de liquide<br />
dans le récipient est maintenue constante.<br />
Le liquide s'écoule par une canalisation<br />
horizontale cylindrique de section s, placée à la<br />
base du récipient. La pression atmosphérique est<br />
notée p o.<br />
On donne : �=10 3 kg.m −3 ; H=3m ; p o=10 5 Pa ; g=10m.s −2<br />
1.<br />
diamètre de la canalisation d=0,05m.<br />
1.1. Etablir les expressions littéraes de la vitesse v B et du débit volumique q v du<br />
liquide en B.<br />
1.2. Calculer v B et q v .<br />
2. On fixe à la sortie de la canalisation un<br />
tube de diamètre d'=d/2.<br />
Exprimer littéralement puis calculer :<br />
2.1. la vitesse d'écoulement en C, v C<br />
2.2. la vitesse d'écoulement en B, v ' B<br />
2.3. le nouveau débit volumique de sortie q' v ( au point C).<br />
3. On coude le tube à angle droit. La partie verticale C'C, dirigée vers le bas, a une<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°31<br />
longueur L égale à 0,40 m.<br />
Exprimer littéralement puis calculer :<br />
3.1. la vitesse d'écoulement v ' C en C<br />
3.2. la pression statique p C ' (point de coudage).<br />
Exercice n°7 : Citerne<br />
Données :<br />
Masse volumique de l'eau �=10 3 kg.m −3<br />
Pression de vapeur saturante de l'eau à 20°C p vs =2500 Pa.<br />
Intensité du champ de pesanteur g=10m.s −2<br />
pression atmosphérique p=10 5 Pa.<br />
A. Une citerne destinée au transport d'eau permet d'alimenter un réservoir R 1 .<br />
Elle est stationnée, pleine, sur la plate-forme et on la siphonne pour effectuer son vidage.<br />
Un tuyau cylindrique, considéré comme une canalisation régulière, plonge pratiquement<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°32<br />
jusqu'au fond (point A) de la citerne, remonte en un point B où il est suspendu à une potence,<br />
puis débouche à l'air libre au point C, au-dessus de la cuve R 1 . Tous ces points figurent sur le<br />
document.<br />
1. Au tout début de l'écoulement, sachant que la citerne est ouverte à l'air libre, établir<br />
l'expression littérale puis calculer la vitesse v o d'éjection du <strong>fluide</strong> en C. En déduire le<br />
débit-volume, noté Q vo .<br />
2. On rappelle qu'il y a risque de cavitation dans une canalisation si la pression en un point<br />
de l'écoulement devient trop faible et atteint la pression de vapeur saturante p vs du<br />
<strong>fluide</strong> qui circule.<br />
Exprimer, puis calculer la hauteur théorique maximale à laquelle on peut porter le point<br />
B de la conduite en évitant ce type de risque.<br />
3. En fait, au cours de la vidange, le niveau supérieur du liquide baisse. On note alors z la<br />
nouvelle cote à un instant t.<br />
Que devient alors l'expression du débit-volume q v �t� en fonction de d, g, z et z C ?<br />
4. On se propose d'étudier les variations de z en fonction du temps. Pour cela on<br />
examinera :<br />
la variation dV du volume contenu dans la citerne en fonction d'une variation dz de cote<br />
du niveau supérieur ;<br />
la variation dz de la cote en fonction du temps dt.<br />
En introduisant la vitesse d'écoulement v(t) on établira l'équation différentielle solution<br />
du problème.<br />
5. Par intégration de cette équation différentielle on calculera le temps nécessaire au<br />
remplissage du récipient R 1 .<br />
On remarquera qu'à l'instant initial (t=0), z=z L0 et que lorsque R 1 est plein, le<br />
niveau de liquide dans la citerne est z x calculable.<br />
B. On s'intéresse maintenant à l'étude d'une estimation de la perte de charge.<br />
Afin de simplifier, l'étude, et du fait que le débit-volume varie peu, on posera pour sa suite<br />
q v =Cte .<br />
Du fait des pertes de charge, sa valeur moyenne est q v =3,14.10 −2 m 3 . s −1<br />
1. Calcul de la perte de charge régulière<br />
Danièle FRISTOT<br />
1.1. On rappelle : J r= v2 . L. �<br />
2.g.d .<br />
A l'aide d'une étude sommaire des équations aux dimensions, préciser la dimension de<br />
.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°33<br />
J r .<br />
1.2. Déduire du nombre de Reynolds la nature de l'écoulement dans cette canalisation.<br />
1.3. La hauteur moyenne des aspérités est : �=0,01 mm<br />
Déterminer le coefficient de perte de charge � dans la canalisation. Le candidat<br />
exploitera les abaques de Colebrook et fera apparaître, sans ambiguïté, sur sa copie la<br />
méthode de recherche de � .<br />
Calculer la perte de charge régulière totale J r en mètres.<br />
2. Calcul de la perte de charge singulière<br />
2<br />
v<br />
On rappelle ∑ K<br />
J s =<br />
2 g<br />
Danièle FRISTOT<br />
2.1. Quelle est la dimension de J s sachant que K est un coefficient sans dimension<br />
caractérisant chaque singularité.<br />
2.2. Pour réaliser cette installation et protéger le réservoir, on a été amené à introduire<br />
des singularités. Les coefficients K sont donnés ci-dessous :<br />
- en A : une crépine de coefficient K = 4 et une section contractée de coefficient K = 0,4<br />
- en B' et B" : deux coudes légers de coefficient K = 0,2.<br />
Calculer la perte de charge singulière totale J_s .<br />
2.3. Evaluer la perte de charge totale de l'installation et la puissance perdue de ce fait.<br />
2.4. Le point B étant situé à la cote z B =4,75m , et le débit-volume ayant toujours<br />
pour valeur q v=3,14.10 −2 m 3. s −1<br />
compte de la perte de charge dans cette canalisation ?<br />
que devient la pression au point B si l'on tient<br />
Conclure quant à l'influence de cette perte de charge sur le risque de cavitation.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°34<br />
Exercice n°8 : Tube de Venturi<br />
Un tube de Venturi est constitué d'un convergent et d'un divergent que l'on intercale dans une<br />
conduite où circule un <strong>fluide</strong> de masse volumique � dont on veut mesurer le débit volumique<br />
q v .<br />
Sur ce tube sont prévus deux prises de pression. Chacun des tubes, servant à mesurer la<br />
pression, est relié à une branche d'un manomètre différentiel sur lequel on lit une dénivellation<br />
H.<br />
L'objectif de ce problème est d'établir la relation entre H et le débit volumique du <strong>fluide</strong> q v .<br />
Nous supposons le <strong>fluide</strong> parfait et incompressible et l'écoulement permanent.<br />
1. S 1 et S 2 sont les sections droites de la conduite à l'endroit des prises de pression<br />
S 2<br />
S 1<br />
=0,5 ; v 1 et v 2 sont les vitesses du <strong>fluide</strong> respectivement en A 1 et A 2 ; p 1<br />
et p 2 sont les pressions du <strong>fluide</strong> respectivement en A 1 et A 2 .<br />
Comparer, en justifiant, v 1 et v 2. En déduire le rapport v 2<br />
v 1<br />
des vitesses.<br />
Comparer p 1 et p 2 sans effectuer de calcul, mais en justifiant la réponse.<br />
2. Le tube de Venturi étant disposé horizontalement, écrire le théorème de Bernoulli entre<br />
A 1 et A 2 , puis établir l'expression de � p 1 – p 2 � en fonction de � , v 1 et v 2 .<br />
3. Le <strong>fluide</strong> s'écoulant de façon permanente et son débit volumique étant noté q_v,<br />
déterminer l'expression de � p 1 – p 2 � en fonction de � , q v , S 1 et S 2 .<br />
4. Le manomètre contient de l'eau. Exprimer � p 1 – p 2 � en fonction de H, g, � et � eau<br />
Danièle FRISTOT<br />
A 1<br />
Manomètre<br />
différentiel<br />
Sens de l'écoulement A 2<br />
Section S 1<br />
Convergent<br />
Section S 2<br />
Divergent<br />
Axe de la<br />
conduite<br />
la masse volumique de l'eau. Indiquer l'unité dans laquelle s'exprime chacune de ces
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°35<br />
grandeurs.<br />
2<br />
5. En identifiant les expressions obtenues question 3 et 4, montrer que H =k.qv et<br />
déterminer l'expression de k en fonction de � ,� eau , g, S 1 et S 2 . Indiquer l'unité de k.<br />
6. Application numérique :<br />
- masse volumique de l'eau : � e =1000kg.m −3<br />
- masse volumique du <strong>fluide</strong> : �=900kg.m −3<br />
- rapport des sections : S 2 / S 1 =0,5<br />
- diamètre de la section S 1 : D 1 =60 mm<br />
- accélération de la pesanteur : g=9,81m.s −2<br />
On mesure H = 10 mm. Calculer k. En déduire le débit volumique q v du <strong>fluide</strong>.<br />
Exercice n°9 : Expression générale du théorème de Bernoulli<br />
Donner l'expression générale du théorème de Bernoulli.<br />
Quelle est la signification physique de cette expression, des différents termes ? Unités.<br />
Un réservoir alimente une canalisation cylindrique de section constante comprenant une vanne<br />
K, 4 coudes à angle droit et un ajutage de sortie F tel que sa section (de sortie) soit la moitié de<br />
celle de la canalisation.<br />
Calculer la vitesse de sortie de l'eau (en B) si h=3m (2 cas) :<br />
a. sans tenir compte des pertes de charges singulières<br />
b. en en tenant compte. On admettra comme coefficient de perte da charge � :<br />
➢ pour la vanne : � v =0,4<br />
➢ pour l'ajutage de sortie assez allongé : �=0<br />
➢ pour un coude droit à angle droit : � c =1<br />
➢ pour une entrée de conduite en T : � v =0,5<br />
Danièle FRISTOT<br />
A<br />
h<br />
x B
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°36<br />
Exercice n° 10 : MÉCANIQUE DES FLUIDES (extrait 3ème concours CAPLP 2004)<br />
D’après un sujet du bac pro Pilotage des Systèmes de Production Automatisée,<br />
session 2001<br />
Formulaire :<br />
Débit : Q = S v<br />
Relation de Bernoulli : p1 ��. g.z1 � 1<br />
2 �v 2<br />
1 =p2 ��. g.z2 � 1<br />
2 �v 2<br />
2<br />
Masse volumique de l’eau : � = 1 000 kg.m -3<br />
La ville de Genève possède un jet d’eau qui projette une demi tonne d’eau par seconde. La vitesse de sortie de<br />
l’eau de la tuyère cylindrique est 56 m.s -1 . On suppose l’écoulement permanent.<br />
I. 1. Calculer le rayon intérieur R de la section de la tuyère. Exprimer le résultat en cm.<br />
Dans le circuit hydraulique amenant l’eau à la tuyère de sortie, on suppose que l’écoulement<br />
est horizontal. La vitesse de l’eau alimentant la tuyère est de 3 m.s -1 et la pression à la sortie<br />
du circuit est égale à la pression atmosphérique patm, soit 1 bar.<br />
I. 2. Calculer la pression à laquelle est portée l’eau qui alimente la tuyère. Exprimer le résultat<br />
en bar.<br />
Exercice n ° 11 – Chauffage central<br />
Le dessin ci-dessus est une représentation simplifiée d'une installation de chauffage central<br />
dans laquelle l'eau circule en circuit fermé.<br />
Les diamètres intérieurs des canalisations des<br />
parties A, B sont notés respectivement d A ,<br />
d B .<br />
La partie B est située à une hauteur h B au-<br />
dessus de la partie A ; la partie C est située à<br />
une hauteur h C au-dessous de cette partie A.<br />
Un manomètre placé en A indique une pression<br />
p A .<br />
Danièle FRISTOT<br />
Chaudière<br />
Partie C<br />
Partie A<br />
Partie B<br />
h B<br />
h c
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°37<br />
On donne :<br />
- d A =20mm ;<br />
- d B =15mm ;<br />
- h C =3m ;<br />
- h B =5m ;<br />
- p A=5.10 5 Pa ;<br />
1. On suppose, le chauffage étant arrêté, que l'eau ne circule pas.<br />
1.1. Quelle est l'expression de la pression p B dans la partie B ? Calculer p B .<br />
1.2. Quelle est l'expression de la pression p C dans la partie C ? Calculer p C .<br />
2. On suppose que le chauffage fonctionne, le débit de l'eau q v =21L.min −1<br />
2.1. Calculer les vitesses v A et v B de l'eau dans les parties A et B.<br />
2.2. La pression p A ayant la même valeur que précédemment, exprimer puis calculer<br />
p' B , nouvelle valeur de la pression dans la partie B.<br />
Comparer p B et p' B .<br />
Exercice n ° 12 - Vidange d'un réservoir (Extrait banque d'épreuves G2E 2003)<br />
Un grand récipient, posé sur un plan horizontal (figure 3), contient de l'eau, de masse<br />
volumique �=1000 kg/m 3 . On donne AB = H = 1 m et g = 10 m/s 2 .<br />
Un trou O est percé dans la paroi supposée mince à 20 cm de la surface libre B.<br />
1. a. Si le niveau B est supposé constant, quelle est la vitesse d'écoulement vo par le trou O ?<br />
b. Quelle serait la valeur si on remplaçait l'eau par du mercure ?<br />
c. On considère qu'une goutte d'eau, supposée ponctuelle, après son passage en O n'est<br />
plus soumise qu'à son poids. Calculer sa vitesse lorsqu'elle est sortie depuis 0,4 s.<br />
2. Quelle est la nouvelle valeur v'o de la vitesse d'écoulement en O, si une surpression de 1kPa<br />
s'exerce à la surface de l'eau de niveau constant ?<br />
Danièle FRISTOT<br />
z<br />
h<br />
O 0<br />
h o<br />
.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°38<br />
3. Le récipient a une section droite S = 20 cm 2 et le trou O une section s = 2 mm 2 .<br />
Le niveau B de la surface libre n'est plus constant mais se déplace avec une vitesse de<br />
norme vB. Que devient la vitesse d'écoulement Vo en O ?<br />
On appliquera le théorème de Bernoulli entre un point de la surface libre et le point O.<br />
4. La hauteur hB de liquide diminue avec le temps à partir de la valeur initiale H à t=0.<br />
On admettra que : vB
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°39<br />
1.1 Comparer qualitativement les vitesses V et v.<br />
1.2 Etablir l'expression de v en fonction de z.<br />
1.3 En déduire l'équation différentielle satisfaite par z.<br />
1.4 Etablir l'expression de la durée de vidange t1 du réservoir en fonction de H, S, s et g.<br />
1.5 Calculer t1 sachant que H = 1,2 m ; g = 9,8 m.s-2 ; S<br />
s =104 .<br />
Deuxième partie<br />
On adapte, sur l'orifice de la cuve remplie d'eau, un tuyau horizontal de longueur L et de<br />
section s telle que s = 10 -4 S. L'extrémité E du tuyau est fermé par une vanne (V) supposée<br />
ponctuelle. On note H, la hauteur d'eau dans la cuve au dessus du point O et � , la masse<br />
volumique de l'eau.<br />
2.1Donner l'expression de la pression p(O) de l'eau au point O à l'équilibre.<br />
Calculer p(O) si H = 1,2 m ; g=9,8 m.s -2 , Po = 10 5 Pa et � = 10 3 kg.m -3 .<br />
2.2 On ouvre brusquement la vanne à l'instant t = 0.<br />
Le régime d'écoulement de l'eau dans la cuve est assimilé à un régime quasi permanent.<br />
On s'intéresse au régime transitoire d'écoulement de l'eau dans le tuyau horizontal. On<br />
suppose que la hauteur d'eau dans la cuve reste pratiquement constante et égale à H<br />
pendant la durée du régime transitoire.<br />
On appelle v la vitesse d'écoulement de l'eau dans le tuyau horizontal et on pose<br />
v 1 =�2gH.<br />
En un point M, d'abscisse x, du tuyau, l'expression de la pression p(x,t) de l'eau est donnée<br />
par : p �x ,t� =P o ��� L−x� dv<br />
dt<br />
Etablir l'équation différentielle satisfaite par v en appliquant le théorème de Bernoulli entre<br />
l'entrée du tuyau et un point de la surface libre de l'eau dans le réservoir.<br />
2.3 En déduire l'expression de v en fonction de v1, L et t.<br />
Indiquer ce que représente v1.<br />
Danièle FRISTOT<br />
P o<br />
�V<br />
0<br />
z<br />
H<br />
�v<br />
z(t)
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°40<br />
On donne :<br />
Arg th X=1/2 ln� 1�X<br />
1−X � =<br />
On posera : 2L<br />
=� et<br />
v 1<br />
v<br />
v 1<br />
=X<br />
x<br />
∫ dX<br />
0<br />
1−X 2<br />
2.4 Calculer v1 pour H=1,2 m, g = 9,8 m.s -2 .<br />
; th X= eX −e −X<br />
e X �e −X<br />
2.5 Déterminer à quel instant t1 la vitesse v s'approche de v1 au 1/1000 près si L = 10 m.<br />
On rappelle que thu= eu −e −u<br />
e u �e −u≈1 −2 e−2u pour u suffisamment élevé.<br />
2.6 Pour t>t1, la vitesse v d'écoulement de l'eau dans le tuyau horizontal est supposée<br />
constante et l'écoulement est stable.<br />
Déterminer la valeur de la pression p de l'eau dans le tuyau et qualifier le régime<br />
d'écoulement.<br />
2.7 Dans d'autres situations, il est fréquent d'observer des pertes de charge le long des<br />
conduites horizontales.<br />
Expliquer ce phénomène d'un point de vue énergétique. Préciser sa conséquence<br />
essentielle. Citer les paramètres qui influent sur ce phénomène.<br />
Exercice n°15 : Vidange d’un réservoir<br />
Un récipient a une symétrie de révolution autour de l’axe vertical 0z. Le fond du récipient est<br />
percé d’un orifice de faible section s=1 cm 2 . A l’instant t = 0 où commence la vidange, la<br />
hauteur d’eau dans le récipient est égale à H et à un<br />
instant t elle devient z. On suppose que l’eau est un<br />
<strong>fluide</strong> incompressible, non visqueux.<br />
1) En supposant l’écoulement quasi-permanent<br />
(permanence établie pour des intervalles de temps<br />
successifs très courts) calculer la vitesse v(z=0)<br />
d’éjection de l’eau à un instant t .<br />
2.a) Comparer à l’instant t , pour une surface de l’eau de cote z toujours très supérieure à la<br />
section s de l’orifice, vitesse v(z) du niveau d’eau à la cote z et vitesse v(z=0) d’éjection.<br />
2.b) En déduire que v �z=0�≈�2gz et que l’équation différentielle donnant la hauteur<br />
d’eau est dz � 2gz<br />
=−s<br />
dt �r 2 .<br />
3) Le récipient a la forme d’un cylindre de révolution de rayon r=R. Calculer le temps de<br />
Danièle FRISTOT<br />
H<br />
z<br />
0<br />
r(z)
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°41<br />
vidange si la hauteur d’eau initiale dans le récipient est H.<br />
4) Clepsydre : le rayon r du récipient à la cote z est donné par r=az n .<br />
4.a) Déterminer les coefficients n et a pour que le niveau d’eau du récipient baisse réguli-<br />
èrement de 6 cm par minute.<br />
4.b) Quelle est la hauteur minimale z = h d’eau dans le récipient pour que<br />
v �z �<br />
≤1 %.<br />
v � z=0�<br />
4.c) Quel volume d’eau doit-on mettre dans le récipient pour que le temps d’écoulement de<br />
l’eau entre la hauteur H et la hauteur h soit de 15 minutes ? Quelle a pu être l’utilité de cet<br />
appareil ?<br />
5) Le récipient a la forme d’une sphère de rayon r=R. Calculer le temps de vidange si la<br />
hauteur d’eau initiale dans le récipient est H.<br />
Exercice n°16 - Extrait Capesa externe<br />
Danièle FRISTOT<br />
1. On rappelle qu'un <strong>fluide</strong> incompressible en écoulement parmanent satisfait à la<br />
relation de Bernoulli :<br />
le long d'une ligne de courant.<br />
p� 1<br />
2 . �. v2 ��. g. z=cte<br />
Préciser la signification des différents termes de la relation.<br />
2. Une conduite amène l'eau d'un barrage vers la turbine d'une centrale hydro-<br />
électrique. La conduite cylindrique, de diamètre D = 30 cm, a son départ situé à h =<br />
20 cm en dessous de la surface libre de l'eau ; elle se termine à H = 150 m en<br />
dessous de cette surface par un injecteur (tubulure de section décroissante) de<br />
diamètre de sortie d = 15 cm.<br />
On donne la pression atmosphérique P o=1,00.10 5 ; g=9,8 m.s −2 ;<br />
�=1,00.10 3 kg.m −3 .<br />
On suppose le niveau du barrage constant, l'écoulement dans la conduite<br />
permanent, et la pression dans le jet à la sortie de l'injecteur égale à Po.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°42<br />
2.1 En utilisant la relation de Bernoulli sur une ligne de courant entre un point de la<br />
surface libre et un point dans le jet de sortie de l'injecteur, démontrer l'expression<br />
de la vitesse de l'eau dans le jet :<br />
Calculer numériquement la vitesse v s .<br />
v s =�2.g.H<br />
2.2 Donner l'expression littérale de la vitesse de l'eau dans la conduite en amont de<br />
l'injecteur, et calculer numériquement cette vitesse.<br />
2.3 On appelle phénomène de cavitation l'apparition de bulles de vapeur dans l'eau<br />
en écoulement ; ce phénomène se produit pour P≤P s où P s est la pression de<br />
vapeur saturante de l'eau à la température considérée ; on suppose la température<br />
de l'eau uniforme et on donne P s=1,5.10 3 Pa.<br />
Montrer qu'il n'y a pas de phénomène de cavitation dans la conduite.<br />
2.4 Si on supprime l'injecteur, quelle est la portion de conduite affectée par la<br />
cavitation ?<br />
2.5 L'eau qui sort de l'injecteur transporte de l'énergie cinétique. Exprimer E la<br />
quantité d'énergie cinétique disponible en sortie d'injecteur par unité de temps, et<br />
calculer numériquement E.<br />
2.6 Quelle puissance mécanique peut-on raisonnablement espérer récupérer sur<br />
l'arbre de la turbine hydraulique ?<br />
Exercice n°17 - (suite du concours spécial P')<br />
Partie II – Vol vertical de l'hélicoptère<br />
Dans toute la suite du problème, on supposera que localement, au voisinage de l'hélicoptère,<br />
l'air se comporte comme un <strong>fluide</strong> non visqueux et incompressible.<br />
Danièle FRISTOT<br />
P o<br />
barrage<br />
conduite<br />
M<br />
h<br />
H<br />
D d<br />
P o<br />
injecteur<br />
0<br />
z
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°43<br />
A. Mouvement d'un <strong>fluide</strong> (l'air) à travers une hélice.<br />
Dans le référentiel (RH), supposé galiléen, lié au plan de rotation de l'hélice, on considère une<br />
veine de <strong>fluide</strong>, s'appuyant sur la circonférence engendrée par l'extrémité de l'hélice ; On<br />
suppose que ce tube de courant a une symétrie de révolution autour de l'axe de rotation de<br />
l'hélice, que l'écoulement est permanent dans (RH) et qu'à l'extérieur de ce tube de courant le<br />
<strong>fluide</strong> est immobile à la pression Po. On néglige l'influence de la pesanteur sur le <strong>fluide</strong> (l'air ici)<br />
et on appelle � la masse volumique de ce <strong>fluide</strong> supposé incompressible. On distingue trois<br />
parties dans cet écoulement (cf. figure)<br />
Parties 1 et 2 : écoulement laminaire, irrotationnel, unidimensionnel (la pression et la vitesse<br />
du <strong>fluide</strong> ont même valeur sur une section droite donnée du tube), les sections d'aire S01 et S02<br />
sont prises suffisamment éloignées de l'hélice pour que la pression puisse y être égale à P0.<br />
Partie 3 (d'épaisseur très faible) : zone perturbée par la rotation de l'hélice, de section<br />
d'aire S = S1 = S2.<br />
En désignant par �n le vecteur unitaire de l'axe de révolution du système, dirigé de l'amont<br />
vers l'aval (cf. figure), on adopte les notations suivantes :<br />
● P0 et �V 01 =V 01 �n respectivement pression et vitesse du <strong>fluide</strong> en amont, dans la section<br />
d'aire S01.<br />
● P0 et �V 02 =V 02 �n respectivement pression et vitesse du <strong>fluide</strong> en aval, dans la section<br />
d'aire S02.<br />
● P1 et �V 1 =V 1 �n (on pose V1 = V) respectivement pression et vitesse du <strong>fluide</strong> en amont,<br />
dans la section d'aire S1, juste avant l'hélice (S1 = S).<br />
● P2 et �V 2 =V 2 �n respectivement pression et vitesse du <strong>fluide</strong> en amont, dans la section<br />
d'aire S2, juste avant l'hélice (S2 = S).<br />
On appelle �F=F �n la force exercée par l'hélice sur le <strong>fluide</strong> et par P la puissance fournie par<br />
Danièle FRISTOT<br />
S 01<br />
P 0<br />
�V 01<br />
�<br />
�n<br />
S 1 ,P 1<br />
�<br />
�V 1<br />
P 0<br />
P 0<br />
S 2 ,P 2<br />
�V 2<br />
V=0<br />
�<br />
S 02<br />
P 0<br />
�V 02
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°44<br />
l'hélice au <strong>fluide</strong>. Dans cette partie II, l'hélice peut provoquer le mouvement de l'air (hélice<br />
propulsive), ou bien, l'air en mouvement peut être à l'origine de la rotation de l'hélice (hélice<br />
éolienne).<br />
1. On se propose de calculer F par deux méthodes différentes. On n'oubliera pas de<br />
préciser les conditions d'application des théorèmes utilisés.<br />
a. Ecrire les relations de conservation du débit massique.<br />
b. Appliquer le théorème de Bernoulli dans les zones 1 et 2 de l'écoulement.<br />
c. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à la portion de <strong>fluide</strong> située<br />
dans la zone 3, déterminer une expression de F en fonction de � , S, V , V 01 et V 02 .<br />
d. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à une autre portion de <strong>fluide</strong><br />
que l'on précisera, déterminer une autre expression de F en fonction de<br />
� , S, V , V 01 et V 02 .<br />
e. En déduire des relations simples entre les vitesses V 1 , V 2 , V 01 et V 02 .<br />
2. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique au <strong>fluide</strong> contenu dans la zone<br />
(1+2+3), calculer la puissance P en fonction de � , S, V , V 01 et V 02 .<br />
3. En déduire la relation générale qui lie P , F et V.<br />
On désire maintenant s'intéresser à divers mouvements verticaux à vitesse constante<br />
(éventuellement nulle) de l'hélicoptère. On supposera que dans le référentiel (RH)<br />
supposé galiléen, lié à l'hélicoptère, le <strong>fluide</strong> obéit aux lois précédentes, c'est-à-dire que<br />
l'encombrement de l'hélicoptère ne modifie pas la répartition des vitesses du <strong>fluide</strong>. On<br />
admettra donc que les expressions de la force F et de la puissanceP calculées dans la<br />
partie II.A. Sont encores valables dans le référentiel lié à l'hélicoptère. On désigne par<br />
�k le vecteur unitaire de l'axe Oz vertical ascendant.<br />
B. Vol stationnaire de l'hélicoptère.<br />
On s'intéresse à un hélicoptère en vol stationnaire (altitude constante) ; le référentiel (RH), lié à<br />
l'hélicoptère coïncide donc avec celui lié au sol, supposé galiléen.<br />
1. Dessiner dans le repère lié à l'hélicoptère l'allure de la veine de <strong>fluide</strong> qui traverse<br />
l'hélice. On placera sur le dessin la section d'aire S01 au-dessus de celle d'aire S02 (les<br />
vecteurs �n , défini dans la partie II.A., et �k sont ainsi opposés) et on y représentera<br />
les différentes vitesses et forces en présence. Dans un modèle de schématisation<br />
simple, quelle valeur peut-on donner à la vitesse V01 définie à la question II.A. ? En tenir<br />
compte pour faire le dessin.<br />
2. On désigne par M la masse totale de l'hélicoptère. Déterminer la puissance P qui doit<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°45<br />
être disponible sur le rotor en fonction de M, g, S (aire de la section de la veine de <strong>fluide</strong><br />
au niveau de l'hélice, cf. partie II.A.) et de la masse volumique � de l'air au niveau de<br />
l'hélicoptère, pour que le vol stationnaire soit possible.<br />
3. la puissance P M disponible sur le rotor varie en fonction de l'altitude z suivant la loi P M<br />
= P 0 e − z<br />
z 0 où P 0 et z0 sont des constantes.<br />
On considère dans cette partie le modèle de l'atmosphère standard. (cf. partie I.).<br />
a. Quelle est la masse maximale Mo que puisse avoir l'hélicoptère pour qu'il puisse<br />
décoller ? On exprimera Mo en fonction de P 0 , g, � 0 (masse volumique de l'air au<br />
niveau du sol) et S.<br />
Application numérique : en plus des valeurs numériques données à la partie I., on<br />
donne : P 0 = 5,66.10 5 W, S = 130 m 2 . Calculer Mo.<br />
b. La masse réelle de l'hélicoptère est égale à M (M < Mo) ; déterminer une relation liant<br />
M et l'altitude maximale zp à laquelle peut voler cet hélicoptère en vol stationnaire, en<br />
fonction des constantes Mo, z0 et H (H défini dans la partie I.). En linéarisant l'équation<br />
obtenue, montrer que l'on peut écrire :<br />
M<br />
=1−a z p<br />
et déterminer l'expression de a en fonction de H et zo.<br />
Application numérique : on rappelle H = 20 km et on donne zo = 14,5 km.<br />
● Déterminer l'altitude maximale zp pour une masse M=4,3.10 3 kg.<br />
M 0<br />
● Déterminer la nouvelle altitude maximale z' si l'hélicoptère emporte avec lui une<br />
« petite surcharge » m = 5% de Mo, sa masse devenant M' =M + m. Conclusion.<br />
C. Vol vertical ascendant de l'hélicoptère à vitesse constante.<br />
On considère un vol vertical ascendant à la vitesse rectiligne et uniforme �u o=u o �k �u o�0�.<br />
1. En prenant les mêmes conventions que dans la partie II.2., dessiner dans le repère (RH)<br />
lié à l'hélicoptère l'allure de la veine de <strong>fluide</strong> qui traverse l'hélice, en y représentant les<br />
différentes vitesses et forces en présence. Dans un modèle de schématisation simple,<br />
quelle valeur peut-on donner à la vitesse V01 (définie dans la partie II.A.) ?<br />
2. Calculer la puissance P qui doit être disponible sur le rotor pour assurer une vitesse u o<br />
Danièle FRISTOT<br />
constante ; exprimer P en fonction de u o , g, S, de la masse M de l'hélicoptère et de la<br />
masse volumique � de l'air au niveau de l'hélicoptère. Peut-on retrouver le cas de la<br />
partie II.B. ?<br />
Application numérique : on se place au niveau du sol ; à l'aide des données<br />
numériques précédentes, calculer la valeur maximale de u o pour : M = 4,3.10 3 kg, M' =<br />
M + 5.10 -2 Mo. Conclusion.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°46<br />
Exercice n°18 - Phénomène de cavitation<br />
Une conduite, de diamètre D=30 cm, de longueur l=200 m, amène l’eau ( masse volumique<br />
� =10 3 kg.m −3 ) d’un barrage vers la turbine d’une centrale hydroélectrique située à H=160m<br />
au dessous de la surface libre de l’eau dans le barrage.<br />
Le barrage a une grande capacité si bien que l’on peut considérer que le niveau de la surface<br />
libre est constant.<br />
Le départ de la conduite est située à H0=20m au dessous de la surface libre.<br />
La pression atmosphérique est égale à p0=10 5 Pa, l’intensité du champ de pesanteur est<br />
g=10m.s -2 .<br />
1. Montrer que si l’extrémité aval A de la conduite est à l’air libre, on aura un phénomène de<br />
cavitation (la pression p devient inférieure à la pression de vapeur saturante de l’eau pV = 2300<br />
Pa à 20 °C) dans une région de la conduite que l’on déterminera.<br />
2. On visse à l’extrémité une tubulure de section décroissante (injecteur), de diamètre d .<br />
Montrer que la cavitation disparaît si d < d0 ; calculer d0.<br />
3. L’injecteur a un diamètre de sortie d=15 cm. Calculer la vitesse vs de l’eau à la sortie de<br />
l’injecteur, le débit massique m� et la puissance cinétique Pc du jet.<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°47<br />
Exercice n° 19 - Coup de Bélier<br />
Un réservoir cylindrique, d’axe vertical et de<br />
grande section, alimente une canalisation<br />
cylindrique horizontale, de faible section et de<br />
grande longueur l. Cette canalisation est munie à<br />
son extrémité x=l d’une vanne V.<br />
A l’instant t=0 où on ouvre la vanne, la hauteur<br />
d’eau dans le réservoir au dessus de la<br />
canalisation est h. On admet que, pendant la<br />
courte durée de régime transitoire dans la canalisation, h ne varie pratiquement pas.<br />
L’écoulement de l’eau dans la canalisation est mono dimensionnel soit �v=v �x , t� �e x .<br />
L’eau est assimilée à un <strong>fluide</strong> parfait incompressible de masse volumique μ .<br />
1) Montrer que, compte tenu des hypothèses faites, la vitesse de l’écoulement dans la<br />
canalisation est uniforme c’est à dire que �v=v �t � �e x .<br />
2) Si A et B sont deux points d’une même ligne de courant (C), montrer, en intégrant<br />
l’équation d’Euler, que :<br />
p�B , t��� v2 �B , t�<br />
2<br />
��g z B=p� A ,t��� v 2 � A , t�<br />
2<br />
�� gz B<br />
A−�∫<br />
A<br />
∂�v<br />
∂t d�l suivant (C)<br />
a ) Que devient la relation précédente si A est un point de la surface libre du réservoir et si B<br />
se confond avec V extrémité de la canalisation.<br />
Intégrer l’équation différentielle obtenue dans les premiers instants après l’ouverture de la<br />
vanne en supposant que h ne varie pratiquement pas et montrer que<br />
v=�2gh tanh�t �gh/2l 2 �<br />
A.N. : h=10m ; l=100 m. Calculer v �t →∞� et le temps nécessaire pour que v diffère de<br />
moins de 1% de cette valeur.<br />
b) Soit M un point d’abscisse x de la canalisation. Calculer la pression p(x,t) en appliquant la<br />
relation de la question 2) entre M et V.<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°48<br />
4) La hauteur d’eau dans le réservoir est h’ et la vitesse d’écoulement de l’eau est v '=�2gh'<br />
t '<br />
Au temps t’=0, on ferme la vanne, la vitesse d’écoulement varie selon v �t '�=�2gh' �1 −<br />
T �<br />
si T est la durée (supposée courte) de fermeture de la vanne.<br />
En appliquant la relation de la question 2) entre les points A et M, calculer la pression p(x,t’).<br />
Montrer que cette pression est maximale en x=l, au temps t’=T.<br />
Commenter l’application numérique pour po = 10 5 Pa, h’=5m et T=0.1s.<br />
Exercice n°20 - Fonctionnement d’une hélice<br />
Dans un <strong>fluide</strong> parfait, homogène et<br />
incompressible (air ou eau) de masse<br />
volumique � , est immergée une hélice.<br />
On se place dans un référentiel (R), supposé<br />
galiléen où l’hélice est animée d’un<br />
mouvement de rotation à vitesse angulaire<br />
constante autour de son axe x’x fixe.<br />
On fait les hypothèses suivantes :<br />
• le mouvement du <strong>fluide</strong> autour de l’hélice est supposé stationnaire dans (R) et à<br />
symétrie de révolution autour de x’x,<br />
• la figure représente un tube de courant dans (R), dans l’hypothèse où SA > SB ; loin de<br />
l’hélice, la vitesse du <strong>fluide</strong> est �<br />
v A en amont de l’hélice et �v B en aval,<br />
• la pression à grande distance de l’hélice, dans toutes les directions, est uniforme et<br />
vaut p0 (c’est vrai en particulier sur SA et SB ),<br />
• les sections S1 et S2 du tube, très voisines de l’hélice, ont leurs aires pratiquement<br />
confondues de valeur S ; les pressions sur ces sections y sont uniformes et<br />
respectivement égales à p1 et p2,<br />
• la vitesse du <strong>fluide</strong> au voisinage de l’hélice dans (R) est supposée uniforme de valeur<br />
�v ,<br />
• on suppose qu’il n’y a aucune dissipation d’énergie mécanique par frottement dans le<br />
contact <strong>fluide</strong>-pales de l’hélice et on néglige les effets de la pesanteur.<br />
1) Ecrire les deux relations entre SA, vA, SB, vB, S et v.<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°49<br />
2) Evaluer les pressions p1 et p2 en fonction de p o ,� , v A ,v B et v.<br />
En déduire la résultante �F des efforts exercés par l’hélice sur le <strong>fluide</strong> en fonction de<br />
� , S ,v A ,v B ; discuter le sens de �F .<br />
3) Evaluer �F par ailleurs, en appliquant le théorème d’Euler dans (R) à un volume de<br />
contrôle de grandes dimensions entourant l’hélice. En déduire la relation entre v, vA et<br />
vB.<br />
4) Evaluer la puissance Pf fournie au <strong>fluide</strong> par l’hélice, mesurée dans (R) :<br />
a) à partir de �F .<br />
b) en appliquant le principe de conservation de l’énergie à un système convenable.<br />
On exprimera Pf en fonction de v A ,v B et du débit massique Dm circulant dans le tube<br />
de courant représenté.<br />
5) Application à la propulsion d’un vaisseau (avion, navire) :<br />
Le vaisseau a, par rapport à la terre où le <strong>fluide</strong> est immobile à grande distance de<br />
l’hélice, une vitesse constante �u=u �e x (u > 0). Le <strong>fluide</strong> est éjecté vers l’arrière de<br />
l’hélice à une vitesse �v e=v e �e x , à grande distance de celle-ci, �v e étant mesurée par<br />
rapport à la terre.<br />
a) Evaluer le rapport énergétique �= P u<br />
P m<br />
de la propulsion ; Pu est la puissance<br />
fournie à la coque du vaisseau, mesurée dans le référentiel terrestre et Pm la puissance<br />
fournie par le moteur actionnant l’hélice.<br />
On exprimera � en fonction de u et ve. Dans quelles conditions � est-il maximal ?<br />
Que faut-il en penser ?<br />
b) A.N. : Calculer le rapport v e /u pour �=0,85 (avion) et �=0,60 (navire)<br />
6) Application au fonctionnement d’une éolienne<br />
Danièle FRISTOT<br />
Dans ce cas, (R) est le référentiel terrestre et vB < vA.<br />
a) Quelle est la forme du tube de courant ?<br />
b) Soit P la puissance obtenue sur l’arbre de l’éolienne . On pose x= v B<br />
v A<br />
étant données, pour quelle valeur de x, la puissance P est-elle maximale ?<br />
; S et vA<br />
c) Le rendement énergétique r est défini comme le rapport de P au débit d’énergie<br />
cinétique de l’air à travers la section SA du tube de courant. Exprimer r en fonction de x.<br />
Que vaut r lorsque la puissance P est maximale ?<br />
d) A.N. : �=1,3 kg.m −3<br />
; vA=8 m.s -1 ; le diamètre de l’hélice est 10 m ; calculer Pmax.
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°50<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°51<br />
Exercice n° 1 - Ecoulement de Poiseuille<br />
5. ETUDE ETUDE<br />
DE LA VISCOSITÉ<br />
Au fond d'un réservoir d'eau de très grande dimension, on adapte un tube vertical de 1 mm de<br />
diamètre et de longueur l (l=20 cm), A 0°C, pendant une minute, la quantité d'eau écoulée est<br />
80,2 cm 3 . A cette température T 0 , la viscosité de l'eau est 1,8.10 −3 Pl .<br />
Quelle est, en cm, la hauteur d'eau qui était dans le réservoir ?<br />
Exercice n° 2 - Formule de Stokes<br />
Une bille de verre de 1 mm de rayon tombe dans de l'huile de ricin. Sa vitesse limite de chute<br />
est 3 mm par seconde. Quel est le coefficient de viscosité de cette huile ?<br />
Masse volumique du verre : 2.6 g.cm −3<br />
Masse volumique du l'huile : 0.96g.cm −3<br />
(On rappelle que lorsqu'un corps sphérique de rayon R se déplace dans un <strong>fluide</strong> dont le<br />
coefficient de viscosité est � , la force de frottement visqueux f est donnée par la relation :<br />
f =6� R � v (formule de Stokes) où v est la vitesse limite de chute du corps.<br />
Exercice n° 3 - Réfrigérant à huile<br />
Un réfrigérant à huile est composé d'un groupe de 100 tubes cylindriques en parallèle, de<br />
diamètre D=1cm et de longueur l=4m. A la vitesse moyenne v=2 m.s −1 on y fait circuler de<br />
l'huile dont la densité moyenne est de 0,9 et dont le coefficient de viscosité dynamique � varie<br />
linéairement de 0,03 Pl à l'entrée jusqu'à 0,1 Pl à la sortie.<br />
Calculer la puissance P qu'il faut fournir à l'huile pour lui faire traverser le système réfrigerant.<br />
On négligera les pertes de charges singulières à l'entrée et à la sortie des tubes).<br />
Donner une formule pratique pour calculer cette puissance dans laquelle n'intervient pas D.<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°52<br />
Exercice n° 4 - Perte de charge dans un pipeline.<br />
Du pipeline de 30 cm de diamètre intérieur est destiné à transporter du pétrole brut de<br />
viscosité dynamique �=0,27 Pl et de densité 0,9 avec un débit massique de 324 t/h .<br />
1. Quel est le régime d'écoulement.<br />
2. Quelle doit-être la distance entre deux stations de pompage, pour que la pression des<br />
pompes soit inférieure à 4,5.10 6 Pa (environ 45 atm).<br />
3. Prévoir la puissance des moteurs destinés à équiper ces pompes sachant que le<br />
rendement est de 75.<br />
Exercice n°5 - Puissance dissipée dans un oléoduc<br />
Quelle est en chevaux la puissance nécessaire pour transporter dans une conduite horizontale<br />
de 10 cm de diamètre et 10 km de long, 50 m 3 par heure d'une huile de masse volumique et<br />
�=0,95 g.cm −3 de viscosité dynamique �=2 poises ?<br />
Si une seule pompe de circulation est utilisée, quelle pression doit-elle enfendrer ?<br />
Exercice n°6 - Ecoulement laminaire sur un plan incliné<br />
Une couche mince de <strong>fluide</strong> incompressible<br />
(viscosité , � masse volumique � ) d'épaisseur e<br />
coule le long d'un plan incliné, dont la ligne de<br />
plus grande pente fait un angle � avec<br />
l'horizontale.<br />
Montrer que le champ des vitesses permanent est<br />
de la forme �v=v �y � �e x .<br />
On néglige les forces de viscosité sur l'interface air/eau.<br />
Déterminer la forme de v(y) ainsi que, pour une largeur L, la relation entre l'épaisseur e et le<br />
débit D.<br />
Calculer les vitesses maximales pour e=1 mm et �=45 ° ,<br />
• dans le cas de l'eau ( �=10 −3 Pa.s et �=10 3 kg .m −3 )<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°53<br />
• dans le cas de l'huile ( �=1 Pa.s et �=10 3 kg .m −3 ).<br />
Exercice n°7 - Etude de l'eau sucrée au viscosimètre à chute de bille<br />
1. Etude du principe simplifié du viscosimètre à chute de bille.<br />
Une bille sphérique de masse volumique � S de rayon R, est lâché sans vitesse initiale<br />
dans un <strong>fluide</strong> de masse volumique � , de viscosité dynamique � .<br />
1.1. Recenser les forces qui s'exercent sur la bille lors de sa chute et donner leurs<br />
caractéristiques. Les représenter sur un schéma (on rappelle la loi de Stokes : la valeur<br />
de la force de frottement F, opposée à la vitesse de chute, est égale à 6�.�. r.v où v<br />
est la vitesse de chute).<br />
1.2. Montrer qualitativement que la vitesse v de la bille tends vers une valeur limite v 0 .<br />
1.3. Une fois la vitesse limite v 0 établie, on mesure le temps t nécessaire pour que la<br />
bille parcoure une distance d donnée.<br />
Etablir la relation entre t, g, d, R, � , � et � S .<br />
1.4. Montrer que � peut se mettre sous la forme : �=K.�� S −��.t où K est une<br />
constante.<br />
2. Etude pratique de l'eau sucrée.<br />
Le certificat d'étalonnage de l'appareil précise<br />
K =8,94.10 −8 Pa.kg −1 .m 3<br />
� S=7,88.10 3 kg.m 3<br />
La mesure de la masse volumique de l'eau sucrée a donné :<br />
Le temps t de mesure est t=17,2 s.<br />
�=1,01 .10 3 kg.m −3 .<br />
2.1. L'eau sucrée se comporte comme un <strong>fluide</strong> newtonien : définir ce terme.<br />
2.2. Calculer la valeur de la viscosité dynamique � de l'eau sucrée.<br />
Exercice n°8 - Viscosimètre capillaire<br />
La question 3 peut être traitée à partir du résultat<br />
de la question 2.<br />
On rappelle la loi de Poiseuille pour une <strong>fluide</strong> newtonien en écoulement laminaire et en régime<br />
Danièle FRISTOT
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°54<br />
permanent dans une conduite cylindrique.<br />
avec :<br />
Q v : débit volumique ( m 3 .s −1<br />
� p = perte de charge régulière (Pa)<br />
R = rayon de la conduite (m)<br />
)<br />
Q v= � R 4 � p<br />
8� L<br />
� = viscosité dynamique du <strong>fluide</strong> (Pa.s)<br />
L = longueur de la conduite (m).<br />
On étudie un viscosimètre capillaire dont le principe est expliqué ci-après :<br />
L'appareil est constitué d'un large récipient fixé sur un support et contenant le liquide à<br />
étudier. Ce récipient présente, à sa base, un orifice permettant l'écoulement du liquide à<br />
travers un tube très fin appelé "capillaire" de sorte que le régime soit laminaire. Une<br />
éprouvette jaugée permettant de recueillir 50 mL de liquide est placée sous le capillaire.<br />
Le récipient supérieur contenant plusieurs litres de liquide, nous pourrons considérer que la<br />
hauteur h du liquide dans le récipient reste quasiment constante par rapport aux 50 mL qui<br />
s'écoulent.<br />
1. Pourquoi peut-on dire que le régime est permanent ?<br />
2. Soit 2 <strong>fluide</strong>s newtoniens (1) et (2) de masse volumique � 1 et � 2 et de viscosités<br />
� 1 et � 2 . On choisit pour le <strong>fluide</strong> (1) une hauteur h 1 et pour le <strong>fluide</strong> (2) une<br />
hauteur h_2 telles que � 1 h 1 =� 2 h 2 . Soit t 1 et t 2 les durées de remplissage de<br />
l'éprouvette jaugée pour chaque <strong>fluide</strong>, montrer que :<br />
t 1<br />
� 1<br />
= t 2<br />
� 2<br />
3. Application<br />
Danièle FRISTOT<br />
.<br />
On a mesuré pour de l'eau t 1 =120 s et pour de l'acétone t 2 =37s . On connait à<br />
20°C les viscosités de ces deux liquides : pour l'eau � 1 =1,0mPa.s et pour l'acétone<br />
� 2 =0,31mPa.s .<br />
3.1. Pour un liquide de viscosité inconnue, on mesure t 3 =700 s . En déduire � 3 .<br />
3.2. Dans le cas de l'eau, calculer Q v<br />
3.3. En déduire la vitesse moyenne u dans le capillaire.<br />
Niveau<br />
pratiquement<br />
invariable<br />
h<br />
liquide<br />
Trait de jauge<br />
(50 ml)
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°55<br />
Données :<br />
- Diamètre du capillaire : D = 0,5 mm.<br />
Exercice n°9 - Etude de la viscosité du lait<br />
On veut mesurer la viscosité du lait. On utilise pour cela un viscosimètre à<br />
chute de bille qui comporte un long tube de verre vertical, rempli de lait,<br />
et dans lequel on laisse tomber une bille sphérique. On mesure le temps<br />
nécessaire relatif au déplacement de la bille entre deux repères fixes A et<br />
B.<br />
1. Faire le bilan des forces appliquées à la sphère (poids, poussée<br />
d'Archimède, force de frottement) et les représenter sur un<br />
schéma. Donner l'expression littérale des normes (valeurs) de<br />
chacune de ces forces en fonction :<br />
- de l'accélération de la pesanteur g,<br />
- du coefficient de viscosité � et de la masse volumique �<br />
du lait<br />
- du rayon r de la sphère, de sa masse volumique � B et de sa vitesse v.<br />
Rappels<br />
La poussée d'Archimède est égale au poids du volume déplacé<br />
La force de frottement s'exerçant sur une sphère de rayon r en mouvement à la vitesse<br />
v dans un <strong>fluide</strong> de coefficient de viscosité � a pour valeur F =6�.�.r.v.<br />
2. Sachant que le mouvement vertical descendant de la sphère devient rapidement<br />
Danièle FRISTOT<br />
uniforme avant l'arrivée au repère A, établir la relation entre la durée t du parcours AB<br />
de longueur L et les grandeurs précédentes.<br />
Le temps de chute de la bille entre A et B distants de L=30 cm est t=10s. Calculer le<br />
coefficient de viscosité dynamique � du lait.<br />
Données :<br />
- masse volumique de l'eau : �=1000kg.m −3<br />
- masse volumique de la bille : � B=1050 kg.m −3<br />
- rapport de la bille r = 1,0 mm<br />
- accélération de la pesanteur : g=9,81m.s −2<br />
A<br />
B
Polycopié de physique des <strong>fluide</strong>s – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°56<br />
Exercice n°10 - Turbine<br />
On étudie une turbine dont le conduit d'amenée<br />
(A) a un diamètre d 1 =50 cm , et le conduit de<br />
sortie (B), un diamètre d 2 =80 cm .<br />
La distance verticale entre les points A et B<br />
est h = 1 m.<br />
L'eau pénètre dans la turbine avec un débit q v=0,20m 3. s −1 et les pressions relatives en A et<br />
B sont respectivement de 2,0.10 6 Pa et de −3,0 .10 4<br />
Pa .<br />
Déterminer, puis calculer la puissance fournie par l'eau à la turbine.<br />
Danièle FRISTOT