Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

1. Cauchy-Riemann egyenlet 11
1. Cauchy-Riemann egyenlet
Legyen E komplex vektortér. Az E halmaz az E feletti összeadás-függvénnyel,
és a C × E → E leképezés R × E-re vett leszűkítésével ellátva valós vektortér; ezt
nevezzük az E alatt fekvő valós vektortérnek és ER-rel jelöljük (VI. fejezet, 2. pont).
Tehát az E és ER vektorterek alaphalmazai egyenlők, továbbá az E bármely két
elemének az összege ugyanaz mindkét vektortérben, és az E bármely elemének a
szorzata bármelyik valós számmal megegyezik mindkét vektortérben.
Legyenek E és F komplex vektorterek. Ekkor az alulfekvő valós vektorterek
definíciója alapján világos, hogy L(E; F ) ⊆ L(ER; FR) teljesül. Az L(E; F ) elemeit
gyakran C-lineáris, míg az L(ER; FR) elemeit R-lineáris operátoroknak nevezzük;
tehát az mondható, hogy komplex vektorterek között ható C-lineáris operátor
szükségképpen R-lineáris. Ez a következtetés nem fordítható meg. Például az
C → C konjugálás-függvény nyilvánvalóan R-lineáris, de nem C-lineáris. Az 1.
gyakorlatban leírjuk az összes nem C-lineáris, de R-lineáris C → C függvényt. A
következő állításban szükséges és elégséges feltételt adunk ahhoz, hogy egy R-lineáris
operátor C-lineáris legyen.
Állítás. Legyenek E és F komplex vektorterek. Egy u : E → F függvény
pontosan akkor C-lineáris, ha R-lineáris, és minden x ∈ E esetén
u(i.x) = i.u(x)
teljesül. Ha (ej)j∈J algebrai bázis az E komplex vektortérben, akkor az u : E → F
függvény pontosan akkor C-lineáris, ha R-lineáris, és minden j ∈ J esetén
teljesül.
u(i.ej) = i.u(ej)
Bizonyítás. Mindkét feltétel nyilvánvalóan szükséges. Az első feltétel elégségességének
bizonyításához legyenek α, β ∈ R és x ∈ E tetszőlegesek; ekkor az u
additivitása, R-homogenitása, és a feltétel alapján
u((α + iβ).x) = u(α.x + (iβ).x) = u(α.x) + u((iβ).x) = α.u(x) + u(β.(i.x)) =
= α.u(x) + β.u(i.x) = α.u(x) + β.(i.u(x)) = α.u(x) + (iβ).u(x) = (α + iβ).u(x),
tehát minden λ ∈ C és x ∈ E esetén u(λ.x) = λ.u(x), így az u leképezés C-lineáris.
Tegyük fel, hogy (ej)j∈J algebrai bázis az E komplex vektortérben, és minden j ∈ J
esetén u(i.ej) = i.u(ej), továbbá legyen u R-lineáris. Az előzőek egyenlőség-láncot
alkalmazva j ∈ J esetén x helyére ej-t helyettesítve azt kapjuk, hogy minden λ ∈ C
és j ∈ J esetén u(λ.ej) = λ.u(ej). Tehát ha x ∈ E tetszőleges, és (λj)j∈J ∈ C (J) az