Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

More documents

Recommendations

Info

XI. HOLOMORF FÜGGVÉNYEK 7 XI. HOLOMORF FÜGGVÉNYEK Ebben a fejezetben a komplex változós, komplex Banach-terekbe ható differenciálható (másnéven holomorf) függvények speciális tulajdonságaival foglalkozunk. Ennek a témakörnek és a többdimenziós általánosításainak fontos alkalmazásai vannak a matematikában (például a komplex Banach-terek között ható folytonos lineáris operátorok területén, vagy a parciális differenciálegyenletek elméletében), és az elméleti fizikában (például a hidrodinamikában, vagy a fizikai térelméletekben). A többváltozós komplex függvénytan természetes folytatása az egyváltozós holomorf függvények elméletének, ezért a többdimenziós általánosítás feltételezi az egydimenziós speciális eset ismeretét. A VII. fejezetben láttuk, hogy a valós normált terek, illetve a komplex normált terek között ható függvények differenciálhatóságának fogalma formálisan egyszerre megadható, és sok nemtriviális differenciális tulajdonság ugyanúgy érvényes, a skalárterek választásától függetlenül. Ezért egyáltalán nem magától értetődő az, hogy komplex Banach-terek között ható függvényekre a differenciálhatóság feltétele sokkal erősebb, mint valós Banach-terek esetében. Látni fogjuk, hogy a X. fejezetben tárgyalt geometriai integrálelmélet egyfajta továbbfejlesztése (a komplex vonalintegrálás) szoltáltatja azt az eszközt, amely lehetővé teszi a valós és a komplex differenciálható függvények tulajdonságai között fennálló lényeges különbségek feltárását. Komplex normált terek között ható függvény egyben az alulfekvő valós normált terek között ható függvénynek is tekinthető, ezért ilyen függvényre kétféle differenciálás-fogalom is értelmes. A C-differenciálhatóság és az R-differenciálhatóság közötti kapcsolatot vizsgáljuk meg az első pontban. Az R-differenciálható függvények C-differenciálhatóságának szükséges és elégséges feltéletét fejezi ki a Cauchy-Riemann egyenlet. Látni fogjuk, hogy a holomorf függvények primitív függvényeinek létezése döntő szerepet játszik a holomorf függvények speciális tulajdonságait illetően. A második pontban bevezetjük a szakasz menti integrál fogalmát, és ennek segítségével bebizonyítjuk a Newton-Leibniz-tétel komplex formáját. A X. fejezet 2. pontjában igazoltuk, hogy az R egy nyílt intervallumán értelmezett, valós Banachtérbe ható folytonos függvénynek szükségképpen létezik primitív függvénye; ez a Newton-Leibniz-tétel valós formája. Ezzel szemben a C egy nyílt csillaghalmazán értelmezett, komplex Banach-térbe ható folytonos függvénynek csak egy rendkívül speciális integrális mellékfeltétel teljesülése esetén létezik primitív függvénye. Itt még nem látható világosan, hogy ez az integrális feltétel mennyire erős követelmény; csak az nyilvánvaló, hogy ez nem teljesül automatikusan minden folytonos függvényre. Később kiderül (a Morera-tételből), hogy a Newton-Leibniztétel komplex formájában szereplő integrális mellékfeltétel ekvivalens a függvény holomorfitásával a nyílt csillaghalmazon. A Goursat-lemma szerint a holomorfitás elégséges a szóbanforgó integrális feltétel teljesüléséhez. Ennek fontos következménye, hogy minden holomorf függvénynek lokálisan léteznek primitív függvényei. A szakasz menti integrál alkalmazásával - közvetlenül - csak egészen speciális, lokális természetű állítások bizonyíthatók. A holomorf függvényekkel kapcsolatos erösebb, globális eredmények származtatásához szükség van a szakasz menti integrál
Page 1 and 2: Kristóf János
Page 3 and 4: 2. Baire-féle kategóriatétel (20
Page 5: 3. Kompakt és lokálisan kompakt t
Page 9 and 10: XI. HOLOMORF FÜGGVÉNYEK 9 tásán
Page 11 and 12: 1. Cauchy-Riemann egyenlet 11 1. Ca
Page 13 and 14: 1. Cauchy-Riemann egyenlet 13 Ekkor
Page 15 and 16: 1. Cauchy-Riemann egyenlet (gyakorl
Page 17 and 18: 1. Cauchy-Riemann egyenlet (gyakorl
Page 19 and 20: 2. Holomorf függvény primitív f
Page 21 and 22: Továbbá nyilvánvaló, hogy amib
Page 23 and 24: teljesül. 2. Holomorf függvény
Page 29 and 30: Vezessük be a 2. Holomorf függvé
Page 31 and 32: a p pontban.) Ekkor [a,b] ⎛ ⎜
Page 37 and 38: ezért lim k→∞ zk = 1. Nyilván
Page 39 and 40: tehát 2. Holomorf függvény primi
Page 45 and 46: 3. Komplex vonalintegrál 45 3. Kom
Page 47 and 48: ahol a, b ∈ R azok a pontok, amel
Page 49 and 50: 3. Komplex vonalintegrál 49 ]tk, t
Page 51 and 52: 3. Komplex vonalintegrál 51 A γa,
Page 53 and 54: 3. Komplex vonalintegrál 53 ∞ k
Page 55 and 56: 3. Komplex vonalintegrál 55 Ez azt
Page 57 and 58:
3. Komplex vonalintegrál (gyakorla
Page 59 and 60:
3. Komplex vonalintegrál (gyakorla
Page 61 and 62:
4. Cauchy integráltétele 61 4. Ca
Page 63 and 64:
4. Cauchy integráltétele 63 vagyi
Page 65 and 66:
4. Cauchy integráltétele 65 A Bj,
Page 67 and 68:
4. Cauchy integráltétele 67 Bizon
Page 69 and 70:
4. Cauchy integráltétele (gyakorl
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
→+∞ 0← →+∞ 0 e ±ix √
Page 77 and 78:
Ha t ∈ [0, π/2], akkor sin(t)
Page 79 and 80:
amiből következik az egyenlősé
Page 81 and 82:
5. A Cauchy integráltétel elemi k
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Tehát minden z ′ ∈ Br(z; C) es
Page 87 and 88:
teljesül. (Cauchy-egyenlőtlenség
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
j=0 4. A Cauchy integráltétel ele
Page 99 and 100:
teljesül. 4. A Cauchy integrálté
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
ami azt jelenti, hogy 4. A Cauchy i
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
6. Laurent-sorfejtés és meromorf
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
következésképpen k > 0 esetén c
Page 147 and 148:
Ebből következik, hogy γ f =
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
XII. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ELEMEI
Page 165 and 166:
XII. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ELEMEI
Page 167 and 168:
1. Folytonos lineáris operátor sp
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
2. Baire-féle kategóriatétel 201
Page 203 and 204:
2. Baire-féle kategóriatétel 203
Page 205 and 206:
2. Baire-féle kategóriatétel (gy
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Továbbá, a C := max 2. Baire-fél
Page 213 and 214:
3. Banach-Steinhaus-tétel 213 3. B
Page 215 and 216:
3. Banach-Steinhaus-tétel 215 un(a
Page 217 and 218:
3. Banach-Steinhaus-tétel (gyakorl
Page 219 and 220:
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
4. Banach nyíltleképezés tétele
Page 227 and 228:
Ha n ∈ N + , akkor d(x0, xn) ≤
Page 229 and 230:
4. Banach nyíltleképezés tétele
Page 231 and 232:
5. Hilbert-terek 231 5. Hilbert-ter
Page 233 and 234:
5. Hilbert-terek 233 leképezés ol
Page 235 and 236:
A paralelogramma-egyenlőség alapj
Page 237 and 238:
tehát (u(x)|u(y)) = (x|y). 5. Hil
Page 239 and 240:
5. Hilbert-terek 239 egyenlőtlens
Page 241 and 242:
5. Hilbert-terek 241 függvényt az
Page 243 and 244:
5. Hilbert-terek (gyakorlatok) 243
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
⎛ ≤ ⎝ T ⎞ 1T dν⎠ 1/2
Page 249 and 250:
amiből könnyen kapjuk, hogy T 5.
Page 251 and 252:
Page 253 and 254:
6. Ortogonális rendszerek és orto
Page 255 and 256:
ezért a PH(x) = 6. Ortogonális re
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
Page 261 and 262:
Page 263 and 264:
Page 265 and 266:
teljesül. 6. Ortogonális rendszer
Page 267 and 268:
Page 269 and 270:
Page 271 and 272:
= 2 T T/2 −T/2 f(t ′ ) = 6. Ort
Page 273 and 274:
szám, és a n 6. Ortogonális ren
Page 275 and 276:
Page 277 and 278:
Page 279 and 280:
Page 281 and 282:
Page 283 and 284:
Page 285 and 286:
Page 287 and 288:
Page 289 and 290:
Page 291 and 292:
Page 293 and 294:
7. Folytonos lineáris operátorok
Page 295 and 296:
Page 297 and 298:
Page 299 and 300:
Page 301 and 302:
Page 303 and 304:
Page 305 and 306:
Page 307 and 308:
Page 309 and 310:
Page 311 and 312:
Page 313 and 314:
Page 315 and 316:
Page 317 and 318:
Page 319 and 320:
Page 321 and 322:
Page 323 and 324:
Page 325 and 326:
Page 327 and 328:
8. Lineáris operátorok Hilbert-te
Page 329 and 330:
Page 331 and 332:
Page 333 and 334:
Page 335 and 336:
Page 337 and 338:
Page 339 and 340:
Page 341 and 342:
és ∗ 8. Lineáris operátorok H
Page 343 and 344:
Page 345 and 346:
XIII. AZ ANALITIKUS GEOMETRIA ELEME
Page 347 and 348:
XIII. AZ ANALITIKUS GEOMETRIA ELEME
Page 349 and 350:
1. Véges dimenziós valós vektort
Page 351 and 352:
3) Tekintsük a következő leképe
Page 353 and 354:
Page 355 and 356:
Page 357 and 358:
Page 359 and 360:
Page 361 and 362:
mert v(x) = v(Φ(p)) miatt 1. Vége
Page 363 and 364:
Page 365 and 366:
Page 367 and 368:
Page 369 and 370:
Page 371 and 372:
Page 373 and 374:
Page 375 and 376:
2. Riemann-sokaságok és felületi
Page 377 and 378:
Page 379 and 380:
Page 381 and 382:
Page 383 and 384:
Page 385 and 386:
Page 387 and 388:
Im(Φ) 2. Riemann-sokaságok és fe
Page 389 and 390:
Ebből látható, hogy ha teljesül
Page 391 and 392:
Page 393 and 394:
Page 395 and 396:
vagyis fennáll az 2. Riemann-soka
Page 397 and 398:
Page 399 and 400:
Page 401 and 402:
tehát ∞ k=0 Im(Φk) 2. Riemann-
Page 403 and 404:
hogy minden I ∋ i-re Hi ∈ Rg,Φ
Page 405 and 406:
Page 407 and 408:
Page 409 and 410:
Page 411 and 412:
Page 413 and 414:
Page 415 and 416:
Page 417 and 418:
R \ N ∪ n∈N Nn halmaz µ1-nu
Page 419 and 420:
2. Riemann sokaságok és felületi
Page 421 and 422:
amit bizonyítani kellett.) 2. Riem
Page 423 and 424:
Page 425 and 426:
Page 427 and 428:
3. Nyílt halmaz reguláris határa
Page 429 and 430:
3. Nyílt halmaz reguláris határa
Page 431 and 432:
4. A Gauss-Osztrogradszkij tétel 4
Page 433 and 434:
) Ua nyílt környezete a 0-nak R n
Page 435 and 436:
Page 437 and 438:
⎛ = ⎝ R hiszen (III) ⎞ ⎛
Page 439 and 440:
C (r,s) 0 4. A Gauss-Osztrogradszki
Page 441 and 442:
Page 443 and 444:
egyenlőségek. Tehát elegendő az
Page 445 and 446:
FÜGGELÉK: TOPOLOGIKUS TEREK 445 T
Page 447 and 448:
FÜGGELÉK: TOPOLOGIKUS TEREK 447 a
Page 449 and 450:
1. Topologikus terek és folytonos
Page 451 and 452:
Page 453 and 454:
Page 455 and 456:
Page 457 and 458:
Page 459 and 460:
halmazt. Ekkor a 1. Topologikus ter
Page 461 and 462:
Page 463 and 464:
Page 465 and 466:
Page 467 and 468:
Page 469 and 470:
2. Szétválasztási tulajdonságok
Page 471 and 472:
Page 473 and 474:
Page 475 and 476:
az 2. Szétválasztási tulajdonsá
Page 477 and 478:
Page 479 and 480:
t − 0 ≤ ck 2 k=0 k 2. Szétvá
Page 481 and 482:
Page 483 and 484:
Page 485 and 486:
Page 487 and 488:
Page 489 and 490:
Page 491 and 492:
Page 493 and 494:
Page 495 and 496:
3. Kompakt és lokálisan kompakt t
Page 497 and 498:
Page 499 and 500:
Page 501 and 502:
Page 503 and 504:
Page 505 and 506:
Page 507 and 508:
Page 509 and 510:
Page 511 and 512:
Page 513 and 514:
Page 515 and 516:
Page 517 and 518:
Page 519 and 520:
Page 521 and 522:
Page 523 and 524:
Page 525 and 526:
4. Folytonos függvények lokálisa
Page 527 and 528:
Page 529 and 530:
Page 531 and 532:
Page 533 and 534:
Page 535 and 536:
Page 537 and 538:
Page 539 and 540:
show all

Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?