Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

ezért lim
k→∞ zk = 1.
Nyilvánvaló, hogy a
2. Holomorf függvény primitív függvényei (gyakorlatok) 37
k=0
k∈N
1 + 1
k + 1
végtelen szorzat divergens, mert teljes indukcióval könnyen igazolható, hogy minden
N + ∋ n-re
n−1
1 + 1
= n + 1,
k + 1
ugyanakkor természetesen
lim 1 +
k→∞
1
= 1,
k + 1
így a végtelen szorzatok konvergenciájának természetes szükséges feltétele nem
elégséges feltétel.
b) Tegyük fel, hogy a
k∈N
zk végtelen szorzat konvergens, tehát létezik a p := lim
n→∞ pn
határérték és p = 0. Legyen N ′ ∈ N olyan, hogy minden n > N ′ természetes
számra |pn| > |p|/2. Legyen ε ∈ R + tetszőleges. A (pn)n∈N sorozat Cauchysorozat,
ezért létezik olyan N ′′ ∈ N, hogy minden m, n > N ′′ természetes számra
|pn − pm| < ε|p|/2. Ekkor m, n ∈ N és m, n > max(N ′ , N ′′ ) esetén
1 − pm
pn
= |pn − pm|
|pn|
< ε|p|/2
|p|/2
Megfordítva, tegyük fel, hogy minden R + ∋ ε-hoz létezik olyan N ∈ N, hogy minden
m, n > N természetes számra
pm
1 −
pn
< ε.
= ε.
Legyen N1 ∈ N olyan, hogy minden m, n > N1 természetes számra
pm
1 −
1
pn
<
2 .
Ha m ∈ N és m > N1, akkor ||pN1| − |pm|| ≤ |pN1 − pm| < |pN1|/2, tehát
|pN1|/2 < |pm| < 3|pN1|/2. Ha ε ∈ R + tetszőleges és N2 ∈ N olyan, hogy minden
m, n > N2 természetes számra
1 − pm
pn
|
< ε3|pN1 ,
2
akkor minden m, n > max(N1, N2) természetes számra
|pn − pm| =
1 − pm
pn
|pn|
ε
<
3|pN1 |/2
3|pN1 |
2
= ε.