Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

Továbbá nyilvánvaló, hogy
amiből következik, hogy
[a,b]
R
2. Holomorf függvény primitív függvényei 21
◦ f ◦ γ [a,b] ≤ χ[0,1] . sup f(z),
z∈[a,b]
f
= |b − a|
R
◦
f ◦ γ[a,b] dµR
≤ |b − a|
R
⎛
⎞
◦ f ◦ γ [a,b] dµR ≤
≤ |b − a| ⎝ χ dµR⎠
sup f(z) = |b − a| sup f(z).
[0,1]
z∈[a,b]
z∈[a,b]
b) Legyen f : C ↣ F folytonos függvény és a, b ∈ C olyan pontok, amelyekre
[a, b] ⊆ Dom(f). Vezessük be a
σ :]0, 1[→]0, 1[; t ↦→ 1 − t
leképezést, amely olyan C 1 -diffeomorfizmus, amelyre γ [b,a] ◦ σ = γ [a,b] és Dσ = −1
a ]0, 1[ halmazon. Ezért a helyettesítéses integrálás tétele alapján
[b,a]
f = (a − b)
]0,1[
f ◦ γ[b,a] dµR = −(b − a)
= −(b − a)
]0,1[
]0,1[
f ◦ γ[a,b] dµR = −
Legyen c ∈ [a, b] rögzített pont. Ha c = a, akkor
[a,b]
Ha c = b, akkor
[a,b]
f =
f =
[a,a]
[a,b]
f +
f +
Tegyük fel, hogy c = a és c = b. Legyen
[a,b]
[b,b]
λ :=
f =
f =
c − a
b − a ;
ekkor λ ∈]0, 1[ és c = a + λ(b − a). Tekintsük a
[a,c]
[a,c]
f ◦ γ[b,a] ◦ σ |Dσ|dµR =
f +
f +
σ0 :]0, 1[→]0, λ[; t ↦→ λt,
[a,b]
[c,b]
[c,b]
σ1 :]0, 1[→]λ, 1[; t ↦→ λ + (1 − λ)t
f.
f.
f.