Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

tehát
2. Holomorf függvény primitív függvényei (gyakorlatok) 39
pm+n
Exp Log − sm,n + sm,N = 1.
pm+N
Ezért minden N ∋ n-hez van olyan k ∈ Z, hogy
pm+n
Log − sm,n + sm,N = 2πik.
pm+N
Tehát kiválaszthatunk olyan (kn)n∈N; n>N rendszert Z-ben, hogy minden n > N
természetes számra
pm+n
Log = sm,n − sm,N + 2πikn
pm+N
teljesüljön. A
zk végtelen szorzat konvergenciája folytán a (pm+n)n∈N sorozat
k∈N
konvergens. Ugyanakkor n ∈ N és n > N esetén
ezért teljesül az, hogy
1 − pm+n
pm+N
< 1
2 ,
lim
n→∞ Log
pm+n
∈ B1/2(1; C) ⊆ Dom(Log).
pm+N
Tehát a Log függvény folytonossága miatt létezik a
lim
n→∞ Log
pm+n
pm+N
határérték, vagyis létezik a lim
n→∞ (sm,n − sm,N + 2πikn) határérték is. Ebből
következik, hogy
0 = lim
n→∞ ((sm,n+1 − sm,N + 2πikn+1) − (sm,n − sm,N + 2πikn)) =
= lim
n→∞ (Log(zm+n) + 2πi(kn+1 − kn)) .
Az a) alapján lim
k→∞ zk = 1, ezért lim
n→∞ Log(zm+n) = 1. Ebből kapjuk, hogy
lim
k→∞ (kn+1 − kn) = 0, tehát van olyan N ′ > N természetes szám, hogy minden
n > N ′ természetes számra kn+1 = kn. Ezért az (sm,n)n∈N sorozat is konvergens
C-ben, ami éppen azt jelenti, hogy a
sor konvergens C-ben.)
k∈N; k≥m
Log(zk)