Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

3. Komplex vonalintegrál 49
]tk, tk+1[ intervallumra folytonos és korlátos, tehát Lebesgue-integrálható, továbbá
a σ| ]σ −1 (tk),σ −1 (tk+1)[ :]σ −1 (tk), σ −1 (tk+1)[→]tk, tk+1[ függvény C 1 -diffeomorfizmus,
így a helyettesítéses integrálás tétele alapján az (((f ◦ γ)(Dγ)) ◦ σ)(Dσ) függvény
Lebesgue-integrálható a ]tk, tk+1[ intervallumon és
(((f ◦ γ)(Dγ)) ◦ σ)(Dσ) dµR =
]σ −1 (tk),σ −1 (tk+1)[
amiből következik, hogy
(f ◦ γ)(Dγ) dµR =
]tk,tk+1[
]σ −1 (tk),σ −1 (tk+1)[
]tk,tk+1[
(f ◦ γ)(Dγ) dµR,
(f ◦ (γ ◦ σ))(D(γ ◦ σ)) dµR.
Ebből k szerinti összegzéssel kapjuk, hogy
n−1
f =
(f ◦ (γ ◦ σ))(D(γ ◦ σ)) dµR =
γ◦σ
k=0
=
]σ −1 (tk),σ −1 (tk+1)[
n−1
k=0
]tk,tk+1[
(f ◦ γ)(Dγ) dµR =
d) Ha az (fn)n∈N függvénysorozat lokálisan egyenletesen konvergens az U halmazon,
akkor ez a függvénysorozat az U minden kompakt részhalmazán egyenletesen
konvergens, továbbá az f := lim
n→∞ fn függvény folytonos az U halmazon. Tehát
ha γ tetszőleges szakaszonként C1-osztályú ív, akkor az (fn)n∈N függvénysorozat
egyenletesen konvergens az Im(γ) kompakt halmazon, tehát lim
n→∞ sup fn(z) −
z∈Im(γ)
f(z) = 0. Ezért n ∈ N esetén az a) alapján
fn − f
=
(fn − f)
≤ L(γ) sup fn(z) − f(z),
z∈Im(γ)
tehát
γ
γ
f = lim
n→∞
γ
γ
fn.
γ
Ha a
fk függvénysor lokálisan egyenletesen konvergens az U halmazon, és γ egy
k∈N
U-ban haladó szakaszonként C1-osztályú ív, akkor
lim
n→∞ sup
n−1
fk(z) − f(z) = 0,
ahol f :=
n−1
k=0 γ
z∈Im(γ)
k=0
∞
fk. Ekkor az a) alapján minden n ∈ N + esetén
k=0
fk −
γ
f
=
γ
n−1
fk − f
≤ L(γ) sup
k=0
γ
f.
z∈Im(γ)
n−1
fk(z) − f(z)
,
k=0