Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

Vezessük be a
2. Holomorf függvény primitív függvényei 29
g := f − f(z) − (Df)(z)(idC − z) : Dom(f) → F
függvényt. Az előzőek alapján minden n ∈ N esetén
g + g + g = f +
[an,bn]
[bn,cn]
[cn,an]
[an,bn]
[bn,cn]
f +
[cn,an]
Legyen ε ∈ R + tetszőleges. Az f függvény z pontbeli C-differenciálhatósága alapján
vehetünk olyan δ ∈ R + számot, hogy Bδ(z; C) ⊆ Dom(f) és minden z ′ ∈ Bδ(z; C)
esetén
f(z ′ ) − f(z) − (Df)(z)(z ′ − z) ≤ ε|z ′ − z|.
Tekintettel arra, hogy minden N ∋ n-re z ∈ T(an, bn, cn), valamint
lim
n→∞ diam (T(an, bn, cn)) = 0;
vehetünk olyan N ∋ N-t hogy minden n > N természetes számra T(an, bn, cn) ⊆
Bδ(z; C). Ha n ∈ N és n > N, akkor
M
≤
4n
[an,bn]
f +
[bn,cn]
f +
[cn,an]
f
=
[an,bn]
g +
[bn,cn]
g +
f.
[cn,an]
g
≤
≤ |bn −an| sup
z ′ g(z
∈[an,bn]
′ )+|cn −bn| sup
z ′ g(z
∈[bn,cn]
′ )+|an −cn| sup
z ′ g(z
∈[cn,an]
′ ) ≤
≤ (|bn − an| + |cn − bn| + |an − cn|) sup
z ′ ∈[an,bn]∪[bn,cn]∪[an,cn]
g(z ′ ) =
= L(an, bn, cn) sup
z ′ ∈[an,bn]∪[bn,cn]∪[an,cn]
f(z ′ ) − f(z) − (Df)(z)(z ′ − z) ≤
≤
≤
L(a, b, c)
2 n
Tehát fennáll az
L(a, b, c)
2 n
sup
z ′ f(z
∈T(an,bn,cn)
′ ) − f(z) − (Df)(z)(z ′ − z) ≤
sup
z ′ (ε|z
∈T(an,bn,cn)
′ − z|) ≤ ε
≤ ε
L(a, b, c)
2n diam (T(an, bn, cn)) ≤
L(a, b, c)
2n L(a, b, c)2
CL(an, bn, cn) = ε
4n C.
M ≤ εL(a, b, c) 2 C
egyenlőtlenség, és itt ε ∈ R + tetszőleges, ezért M = 0.
(II) Most legyenek a, b, c ∈ C olyan pontok, hogy T(a, b, c) ⊆ Dom(f) és f a
T(a, b, c) \ {a} halmaz minden pontjában C-differenciálható. Legyen (εn)n∈N olyan
zérussorozat R-ben, amelyre minden n ∈ N esetén εn ∈]0, 1[. Minden N ∋ n-re
legyen
bn := a + εn(c − a), cn := a + εn(b − a).