Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

2. Holomorf függvény primitív függvényei (gyakorlatok) 35
amiből következik, hogy fennáll a
∞ (−1)
Log(z) =
k
k + 1 (z − 1)k+1 ∞
=
egyenlőség.)
k=0
k=1
(−1) k−1
k
(z − 1) k
3. (Numerikus szorzatok.) Legyen (zk)k∈N komplex számok sorozata. Emlékeztetünk
arra, hogy a (zk)k∈N sorozathoz asszociált végtelen szorzatnak nevezzük és
a
zk szimbólummal jelöljük azt a C-ben haladó sorozatot, amely a 0-hoz az 1
k∈N
számot rendeli, és minden N + ∋ n-hez a
n−1
k=0
4. pont). Továbbá, azt mondjuk, hogy a
zk véges szorzatot rendeli (II. fejezet,
zk végtelen szorzat konvergens, ha
k∈N
ez a sorozat konvergens C-ben és a határértéke nem nulla. Ha a
zk sorozat
konvergens C-ben, de a határértéke 0, akkor azt mondjuk, hogy a
k∈N
k∈N
zk végtelen
szorzat nullához divergál. Nyilvánvaló, hogy ha van olyan m ∈ N, hogy zm = 0,
n−1
akkor minden n > m természetes számra zk = 0, tehát a
zk végtelen szorzat
k=0
nullához divergál. Ezért a végtelen szorzatok konvergencia-vizsgálata során csak
olyan számsorozatokhoz asszociált végtelen szorzatokat tekintünk, amelyek minden
tagja nem nulla komplex szám.
a) Ha a
k∈N
zk végtelen szorzat konvergens, akkor lim
k→∞ zk = 1. (Ez a numerikus
végtelen szorzatok konvergenciájának természetes szükséges feltétele.) Azonban
létezik olyan (zk)k∈N valós számsorozat, amelyre minden k ∈ N esetén zk > 0
és lim
k→∞ zk = 1 teljesül, de a
zk végtelen szorzat nem konvergens.
k∈N
b) A
zk végtelen szorzat pontosan akkor konvergens, ha minden ε ∈ R + esetén
k∈N
k∈N
létezik olyan N ∈ N, hogy minden m, n > N természetes számra
1 −
m−1
zk
k=0
n−1
zk
< ε.
k=0
(Ez a végtelen numerikus szorzatok konvergenciájának Cauchy-kritériuma).
c) A
zk végtelen szorzat pontosan akkor konvergens, ha létezik olyan m ∈ N,
k∈N
hogy minden k ≥ m természetes számra zk ∈ Dom(Log) és a
Log(zk)
k∈N; k≥m