Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

1. Cauchy-Riemann egyenlet (gyakorlatok) 17
minden a ∈ E n esetén az uC ◦ inn−1,a : E → F leképezés C-lineáris. Legyen tehát
a := (ak)k∈n ∈ E n rögzített, és minden ε ∈ {0, 1} n esetén
a(ε) := (i εk ak)k∈n ∈ E n .
Továbbá, minden η ∈ {0, 1} n−1 esetén legyen η ◦ ∈ {0, 1} n az a η függvény nullával
vett kiterjesztése n-re. Ha x ∈ E, akkor
(uC ◦ inn−1,a)(x) := 1
2 n
= 1
2 n
= 1
2 n
= 1
2 n
+ 1
2 n
ε∈{0,1} n
ε∈{0,1} n
ε∈{0,1} n ; εn−1=0
ε∈{0,1} n ; εn−1=1
= 1
2 n
+ 1
2 n
η∈{0,1} n−1
η∈{0,1} n−1
η∈{0,1} n−1
(−i) |ε| u((i εk (inn−1,a(x))k)k∈n) =
(−i) |ε| (u ◦ in n−1,a(ε))(i εn−1 x) =
(−i) |ε| (u ◦ in n−1,a(ε))(x)+
(−i) |ε| (u ◦ in n−1,a(ε))(ix) =
(−i) |η| (u ◦ in n−1,a(η ◦ ))(x)+
(−i) |η|+1 (u ◦ in n−1,a(η ◦ ))(ix) =
(−i) |η| (u ◦ in n−1,a(η ◦ ))(x) − i(u ◦ in n−1,a(η ◦ ))(ix) .
Ebből azonnal látszik, hogy x ∈ E esetén (u ◦ inn−1,a)(ix) = i(u ◦ inn−1,a)(x), ezért
az u ◦ inn−1,a : E → F leképezés C-lineáris. Ezután elég azt igazolni, hogy minden
E ∋ x-re u(x [n] ) = uC(x [n] ), hiszen akkor a VI. fejezet 3. pontjának utolsó állítása
alapján u = uC, tehát az u leképezés C-multilineáris.
Ehhez megmutatjuk, hogy x ∈ E és k ∈ N, k ≤ n esetén
u((x [k] , (ix) [n−k] )) = i n−k u(x [n] ),
ahol (x [k] , (ix) [n−k] ) ∈ E n az a rendszer, amelynek j-edik komponense x, ha j < k,
és ix, ha k ≤ j < n. Valóban, az u-ra vonatkozó hipotézis alapján a
P : R → F ; t ↦→ u(((t + i).x) [n] )
leképezés legfeljebb n-ed fokú polinomiális vektorfüggvény, ugyanis t ∈ R esetén
P (t) = (t + i) n i(x [n] ) =
n
k=0
n
t
k
k i n−k u(x [n] ).
Ugyanakkor az u leképezés R-multilinearitása és szimmetrikussága miatt t ∈ R
esetén
P (t) = u((t.x + i.x) [n] n
n
) = t
k
k u((x [k] , (ix) [n−k] )).
k=0