Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

2. Holomorf függvény primitív függvényei 25
hiszen c csillagcentruma U-nak. A hipotézisből kapjuk, hogy
f + f + f = 0,
tehát a g definíciója alapján
[c,z]
[z,z ′ ]
g(z ′ ) − g(z) =
[z ′ ,c]
[z,z ′ ]
Ebből a szakasz menti integrál tulajdonságait alkalmazva adódik, hogy
g(z ′ ) − g(z) − (z ′
− z).f(z) = f − f(z) = (f − f(z)),
tehát
g(z ′ ) − g(z) − (z ′ − z).f(z) =
[z,z ′ ]
[z,z ′ ]
[z,z ′ ]
(f − f(z))
f.
[z,z ′ ]
≤ |z ′ − z| sup
z ′′ ∈[z,z ′ ]
f(z ′′ ) − f(z).
Ha ε ∈ R + tetszőleges, akkor az f függvény z pontbeli folytonossága miatt van
olyan δ ∈ R + , hogy δ < r és minden z ′′ ∈ Bδ(z; C) esetén f(z ′′ ) − f(z) < ε. Ezért
az előző egyenlőtlenség alapján z ′′ ∈ Bδ(z; C) \ {z} esetén
g(z ′ ) − g(z) − (z ′ − z).f(z)
|z ′ − z|
≤ ε.
Ez azt jelenti, hogy a g függvény C-differenciálható a z pontban és (Dg)(z) = f(z).
Tehát a g függvény U-n értelmezett primitív függvénye f-nek.
A következő tétel kapcsolatot teremt a Newton-Leibniz-tétel komplex formájában
szereplő integrális feltétel és a függvény C-differenciálhatósága között.
Tétel. (Goursat-lemma.) Legyen F komplex Banach-tér és f : C ↣ F olyan
folytonos függvény, amely a Dom(f) halmaz minden pontjában C-differenciálható,
legfeljebb egy pontot kivéve. Ekkor minden a, b, c ∈ C pontra, T(a, b, c) ⊆ Dom(f)
esetén
f + f + f = 0.
[a,b]
[b,c]
Bizonyítás. (I) A bizonyítás első részében azt mutatjuk meg, hogy ha a, b, c ∈ C
olyan pontok, hogy T(a, b, c) ⊆ Dom(f) és az f függvény a T(a, b, c) halmaz minden
pontjában C-differenciálható, akkor
f + f + f = 0.
[a,b]
[b,c]
[c,a]
[c,a]