Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

2. Holomorf függvény primitív függvényei (gyakorlatok) 43
Továbbá, ha teljesül ez az integrális feltétel, és c ∈ U csillagcentruma az U
halmaznak, akkor az
U → F ; z ↦→ ω
[c,z]
függvény U-n értelmezett primitív függvénye ω-nak.
8. (A Goursat-lemma általánosítása.) Legyen E normált tér, és minden a, b, c ∈ E
esetén
L(a, b, c) := b − a + c − b + a − c.
Létezik olyan C ∈ R + , hogy minden a, b, c ∈ E esetén
diam(T(a, b, c)) ≤ C · L(a, b, c).
Továbbá, ha ω : E ↣ L (E; F ) olyan folytonos függvény, amely a Dom(ω) halmaz
minden pontjában differenciálható, legfeljebb egy pontot kivéve, és dω = 0, akkor
minden a, b, c ∈ E pontra, T(a, b, c) ⊆ Dom(ω) esetén
ω + ω + ω = 0.
[a,b]
[b,c]
( Útmutatás. A bizonyításnak ugyanaz az elve, mint az egyváltozós függvényekre
vonatkozó Goursat-lemma esetében. Tehát a T(a, b, c) ⊆ Dom(ω) feltevés mellett a
kiválasztási axiómával kombinált rekurzió tételét alkalmazva igazoljuk olyan E3-ban haladó ((an, bn, cn))n∈N sorozat létezését, hogy
- (a0, b0, c0) = (a, b, c);
- minden n ∈ N esetén
T(an+1, bn+1, cn+1) ⊆ T(an, bn, cn), L(an+1, bn+1, cn+1) = 1
2 L(an, bn, cn);
- minden n ∈ N esetén
ahol bevezettük az
M
≤
4n
[an,bn]
M :=
[a,b]
ω +
ω +
[bn,cn]
[b,c]
[c,a]
ω +
ω +
[cn,an]
[c,a]
ω
ω
,
számot. Itt is kapjuk egyetlen olyan z ∈ E létezését, amelyre
{z} =
T(an, bn, cn).
De most az ottani f(z) + (Df)(z)(idC − z) : C → F függvény helyett az
n∈N
ω(z) + ((Dω)(z)) ◦ (idE − z) : E → L (E; F )