Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

1. Cauchy-Riemann egyenlet 13
Ekkor a (Df)C(a) : E → F leképezés folytonos R-lineáris operátor is, ezért a
fenti határérték-egyenlőség miatt az f függvény R-differenciálható az a pontban, és
láthatóan (Df)R(a) = (Df)C(a).
Megfordítva, tegyük fel, hogy az f függvény R-differenciálható az a pontban, és a
(Df)R(a) operátor C-lineáris. Ekkor
f(x) − f(a) − ((Df)R(a))(x − a)
lim
x→a
x − a
tehát az f függvény C-differenciálható az a pontban.
= 0,
Tétel. Legyenek E és F komplex normált terek. Az f : E ↣ F függvény
pontosan akkor C-differenciálható az a ∈ E pontban, ha R-differenciálható a-ban,
és minden x ∈ E esetén
((Df)R(a))(i.x) = i.((Df)R(a))(x)
teljesül (Cauchy-Riemann egyenlet). Ha (ej)j∈J algebrai bázis az E komplex
vektortérben, akkor az f : E ↣ F függvény pontosan akkor C-differenciálható
az a ∈ E pontban, ha R-differenciálható a-ban, és minden j ∈ J esetén
((Df)R(a))(i.ej) = i.((Df)R(a))(ej)
teljesül.
Bizonyítás. A két előző állítás alapján nyilvánvaló.
Következmény. Legyen f : C ↣ C függvény, és f1 := Re ◦ f, valamint
f2 := Im◦f (tehát f = f1 +i.f2). Az f függvény pontosan akkor C-differenciálható
az a ∈ C pontban, ha R-differenciálható a-ban, és teljesülnek az
(∂1f1)(a) = (∂2f2)(a),
(∂1f2)(a) = −(∂2f1)(a)
egyenlőségek.
Bizonyítás. Ha f az a-ban R-differenciálható, akkor (Df)R(a) azonosítható a
(∂1f1)(a) (∂2f1)(a)
(∂1f2)(a) (∂2f2)(a)
Jacobi-mátrixszal (VII. fejezet, 2. pont). Az első állítás alapján ez a mátrix,
mint R2 → R2 R-lineáris operátor, pontosan akkor C-lineáris, ha felcserélhető az
R2 → R2 ; z ↦→ iz R-lineáris operátorral. Ez utóbbi mátrixa a
0 −1
1 0
mátrix. Ezért az 1. gyakorlat eredménye és a Cauchy-Riemann egyenlet alapján
az f függvény pontosan akkor C-differenciálható az a ∈ C pontban, ha Rdifferenciálható
a-ban, valamint teljesülnek a (∂1f1)(a) = (∂2f2)(a) és (∂1f2)(a) =
−(∂2f1)(a) egyenlőségek.
Az előző állitás alkalmazásával könnyen felírhatók olyan C → C függvények,
amelyek R-analitikusak (vagyis analitikusak a C alatt fekvő valós Banach-téren),
de sehol sem C-differenciálhatók (1. gyakorlat).
Elnevezés. A komplex normált terek között ható C-differenciálható függvényeket
holomorf függvényeknek nevezzük.