Kristóf János - ELTE - Matematikai Intézet

2. Holomorf függvény primitív függvényei (gyakorlatok) 33
Gyakorlatok
1. Legyenek a, b, c, d ∈ R és értelmezzük a következő leképezést
Ez a függvény R-analitikus és
f : C → C; z ↦→ (a + ic)Re(z) + (b + id)Im(z).
[−1,1]
f +
[1,i]
f +
[i,−1]
f = −(b + c) + i(a − d),
tehát a bal oldalon álló szám pontosan akkor 0, ha a = d és c = −b.
2. (Komplex logaritmusfüggvény.) Értelmezzük az Ω := {z ∈ C|−z /∈ R+} halmazt,
amely nyílt csillaghalmaz C-ben.
a) Létezik egyetlen olyan Log : Ω → C holomorf függvény, amely primitív függvénye
az 1/idC függvénynek és eleget tesz a Log(1) = 0 egyenlőségnek. (Ezt a Log
függvényt nevezzük komplex logaritmusfüggvénynek.) A Log függvényre fennáll a
egyenlőség.
Log(1 + z)
lim
z→0 z
b) Az Exp : C → C függvény injektív a H := {z ∈ C|Im(z) ∈] − π, π[} halmazon,
továbbá Im(Log) = H és
Log = (Exp|H) −1 .
c) Fennáll a Log| R + = log egyenlőség, vagyis a komplex logaritmusfüggvény a valós
logaritmusfüggvény holomorf kiterjesztése.
d) Ha z1, z2 ∈ C olyanok, hogy Re(z1) > 0 és Re(z2) > 0, akkor z1, z2, z1z2 ∈
Dom(Log) és
Log(z1z2) = Log(z1) + Log(z2).
Ha z1, z2 ∈ Dom(Log) és z1z2 ∈ Dom(Log), akkor létezik olyan k ∈ Z, hogy
e) A B1(1, C) gömbön fennáll a
függvényegyenlőség.
f) Vezessük be a
= 1
Log(z1z2) = Log(z1) + Log(z2) + 2πik.
Log =
∞
k=1
(−1) k+1
k
(idC − 1) k
Dom(Log) × C → C; (z, α) ↦→ z α := Exp(αLog(z))