Kalkulus Predikat

Kalkulus Predikat 67
membayar dan Smith tidak, maka nilai kebenaran untuk P(x) diberikan sebagai
berikut :
P(x = J) = T
P(x = M) = T
P(x = S) = F
Dari informasi ini, maka dapat disimpulkan bahwa pernyataan ∀xP(x) adalah
pernyataan yang salah. Dalam interpretasi kita, ∀xP(x) akan bernilai benar jika P(J),
P(M) dan P(S) semua bernilai benar, tetapi tidak dalam kasus ini. Smith tidak harus
membayar, jadi P(S) bernilai salah.
Kita perlu memformulasikan secara umum suatu ekspresi ∀xP(x) dapat bernilai
benar. Misalkan kita pilih domain yang terdiri dari n individu yaitu {a1, a2, a3,…,an},
maka ∀xP(x) bernilai benar jika P(a1), P(a2), …, P(an) semuanya bernilai benar.
Sehingga dapat kita nyatakan dalam proposisi sebagai berikut :
∀xP(x) ≡ P(a1) ∧ P(a2) ∧ … ∧ P(an) (3.2)
Sedangkan untuk menginterpretasikan ekspresi ∃xP(x), dimana akan bernilai benar
jika ada sedikitnya satu x bernilai benar. Pada kasus diatas, jelas untuk ∃xP(x) akan
bernilai benar, karena ada yang bernilai benar yaitu P(J) dan P(M). Dengan domain
{a1, a2, a3,…,an}, maka ∃xP(x) bernilai benar jika P(a1) benar atau P(a2) benar , …,atau
P(an) benar. Dan dapat dinyatakan dalam proposisi berikut :
∃xP(x) ≡ P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an) (3.3)
Dari ekivalensi (3.2) dan (3.3) kita dapat membuktikan bahwa ekiavalensi (3.1)
valid untuk semua domain himpunan hingga yang diberikan. Kita dapat
menggunakan hukum DeMorgan untuk menentukan negasi dari ekivalensi (3.2),
seperti di bawah ini.
¬∀xP(x) ≡ ¬(P(a1) ∧ P(a2) ∧ … ∧ P(an))
≡ ¬ P(a1) ∨ ¬P(a2) ∨ … ∨ ¬P(an)
≡ ∃x ¬P(x)
Pemberian nilai dari suatu predikat dengan dua argumen dapat dinyatakan
menggunakan sebuah tabel yang baris‐barisnya mewakili argumen pertama dan
kolom‐kolomnya untuk argumen kedua. Misalkan untuk menentukan interpretasi
dari pernyataan “Ada seseorang yang mengagumi semua orang” dengan
himpunan domain = {John, Mary, Jane}. Predikat dari pernyataan ini adalah Q(x,y)
yang menyatakan “x mengagumi y”. Nilai kebenaran dari predikat tersebut dapat