Kalkulus Predikat

90 Kalkulus Predikat
3.4.2. Ekivalensi Penting Lainnya
¬∀x(∃xP(x,z) ∧ ¬∀xQ(x,z))
≡ ∃x ¬(∃xP(x,z) ∧ ¬∀xQ(x,z)) (aturan 7b)
≡ ∃x (¬∃xP(x,z) ∨ ∀xQ(x,z)) (De Morgan)
≡ ∃x (∀x¬P(x,z) ∨ ∀xQ(x,z)) (aturan 7a)
Pada subbab 3.3.4. telah dijelaskan keuntungan menghilangkan pengukur jumlah
universal. Bagaimanapun juga, pengukur jumlah universal tidak dapat dihilangkan
kecuali jika ada di awal ekspresi. Berikut ini ada ekivalensi lain yang bisa
mengatasi hal ini
∀xP(x) ∨ ∀yQ(y) ≡ ∀x∀y(P(x) ∨ Q(y))
Untuk membuktikan aturan ini, kita tulis ulang aturan 4a sebagai berikut :
(∀xB) ∨ A ≡ ∀x(B ∨ A) (3.19)
Sekarang kita mempunyai
∀xP(x) ∨ ∀yQ(y) ≡ ∀x (P(x) ∨ ∀yQ(y)) (3.19) dengan A:=∀yQ(y)
≡ ∀x∀y(P(x)∨Q(y)) aturan 4 dengan A:=P(x)
Catatan, pada kondisi ini A tidak boleh mengandung variabel terbatas dari
pengukur jumlah dalam pertanyaan yang diberikan. ∀yQ(y) tidak mengandung
variabel terbatas x. Kemudian jika A = P(x), maka variabel terbatas adalah y dan
P(x) tidak mengandung y.
Perhatikan pernyataan “Jika seseorang bicara, maka akan menjadi berita besok”.
Jika C(x) mewakili “x bicara” dan jika Q untuk “akan jadi berita besok”, kalimat
tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :
∃xC(x) ⇒ Q (3.20)
Atau dapat juga dinyatakan sebagai
∀x(C(x) ⇒ Q) (3.21)
Kedua ekspresi tersebut ekivalen secara logik. Untuk versi yang pertama lebih
umum dalam bahasa Indonesia. Sedangkan untuk derivasi logik, versi kedua lebih
baik. Tetapi secara verbal kalimat yang diperoleh lebih sulit dipahami. Misalkan