Kalkulus Predikat

Kalkulus Predikat 73
invalid, kita cukup memberikan satu contoh jawaban; yang memberikan satu
interpretasi untuk A yang bernilai salah. Atau cukup menemukan satu model
tunggal untuk ¬A. Dalam hal ini, ketika A berbentuk B⇒C, ¬A bernilai benar jika
dan hanya jika B benar saat C salah. Maka dari itu, untuk membuktikan bahwa
suatu kondisional tidak valid, cukup menemukan sebuah model yang membuat
antecedent benar dan konsekuennya salah. Untuk menunjukkan bagaimana
mendapatkan sebuah model, perhatikan ekspresi berikut yang ternyata tidak valid.
∃xP(x) ⇒ ∀xP(x) (3.11)
Jika P(x) benar untuk sembarang x, jelas tidak dapat memberikan konklusi bahwa
P(x) benar untuk semua x. Misalkan, jika sebuah program berjalan untuk beberapa
input data, maka kita tidak dapat menyimpulkan bahwa program itu berjalan
untuk semua kemungkina input data yang dimasukkan.
Untuk membuktikan bahwa (3.11) tidak valid, kita harus mendapatkan sebuah
model yang membuat antecedent ∃xP(x) benar dan konsekuen ∀xP(x) salah.
Dengan kata lain, kita harus menemukan model yang seperti di bawah ini :
∃xP(x) ∧ ¬∀xP(x) (3.12)
Kemudian kita pilih suatu interpretasi dengan dua individu a dan b dan
menetapkan P(a)=T dan P(b) = F. Kemudian ada sebuah nilai x, dimana untuk x=a,
sehingga P(x) benar, yang berarti ∃xP(x) = T. Dan ∀xP(x)akan bernilai salah.
Jika ada suatu kalkulus predikat bernilai bernilai benar untuk semua x maka ini
juga benar untuk x=y. Kemudian kita dapat mengasumsikan ekspresi berikut valid.
x
∀xA ⇒ S y A
Bagaimanapun juga, jika A mengandung y sebagai suatu variabel terbatas, maka ini
tidak selalu bernilai benar karena berpotensi terjadi clash. Ekspresi berikut tidak
valid
∀x∃yP(x,y) ⇒ ∃yP(y,y) (3.13)
Dalam hal ini, variabel x dikonversi ke y, dimana y adalah variabel terbatas dari
ruang lingkup ∃y dan ini illegal. Dengan demikian (3.13) tidak valid. Untuk
menunjukkan ini, kita harus membuktikan bahwa ada sebuah model yang
membuat ∀x∃yP(x,y) benar dan ∃yP(y,y) salah. Dengan kata lain, kita harus
menemukan model untuk