Kalkulus Predikat

Kalkulus Predikat 107
4. b ◦ e = b instantiasi baris 2 dengan x:=b
5. a ◦ (b ◦ e) = a ◦ b ganti ruas kanan baris 3 dengan baris 4
Kita juga dapat menambahkan konstanta di kedua ruas dari suatu persamaan dan
dapat mengalikan kedua ruas persamaan dengan suatu konstanta. Secara umum,
dari a = b, kita dapat mendapatkan a ◦ c = b ◦ c untuk operator ◦. Kita dapat
buktikan sebagai berikut :
1. ∀x(x = x) axioma refleksif
2. a = b premis
3. a ◦ c = a ◦ c instantiasi baris 1 dengan a ◦ c
4. a ◦ c = b ◦ c substitusikan dari baris 2 ke baris 3
Langkah dari a = b ke a ◦ c = b ◦ c disebut postmultiplication. Sesuai dengan
namanya, postmultiplication tidak selalu harus dikalikan; ini meliputi beberapa
operator termasuk penjumlahan, operator boolean, dan lainnya. Ada juga yang
disebut persamaan premultiply. Sebagai contoh jika a = b maka premultiplication
dengan c menghasilkan c ◦ a = c ◦ b. Catatan bahwa a, b, c adalah variabel sejati,
yang berarti dapat digeneralisasi sebagai berikut :
3.5.8. Aljabar Boolean
∀x∀y∀z((x = y) ⇒ (z ◦ x = z ◦ y)) (3.32)
∀x∀y∀z((x = y) ⇒ (x ◦ z = y ◦ z)) (3.33)
Aljabar boolean adalah sebuah aljabar dengan dua operator, yang dinotasikan
dengan + dan .. Kedua operator mendefinisikan bahwa x + y dan x . y untuk semua
argumen x dan y. Lebih jelas lagi, aljabar boolean mempunyai sifat‐sifat sebagai
berikut :
1. Ada sebuah elemen identitas untuk + yaitu 0
2. Ada sebuah elemen identitas untuk . yaitu 1.
3. Operator + bersifat komutatif
4. Operator . bersifat komutatif
5. Operator + bersifat distributif terhadap .
6. Operator . bersifat distributif terhadap +
7. Untuk setiap individu x, ada sebuah elemen x’ yang disebut komplemen x,
dengan sifat x + x’ = 1 dan x.x’ = 0.
8. Domain beranggotakan sedikitnya dua elemen.
Operator . terkadang diabaikan atau tidak dituliskan. Dalam kasus sederhana,
domain dari suatu aljabar Boolean terdiri dari dua nilai yaitu 0 dan 1. Aljabar