Kalkulus Predikat

Kalkulus Predikat 85
Contoh yang berikutnya akan membuktikan bahwa ¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x). Pertama‐
tama kita akan kita akan menunjukkan bahwa ¬∃xP(x) ⊢ ∀x¬P(x) dan selanjutnya
pada subbab berikutnya dibuktikan juga bahwa ∀x¬P(x) ⊢ ¬∃xP(x). Pembuktian
disini akan menggunakan aturan Modus Tollens (MT), Universal Generalization(UG),
Existential Generalization (EG) dan teorema deduksi (TD).
Buktikan : ¬∃xP(x) ⊢ ∀x¬P(x)
3.3.6. Existential Instantiation
Derivasi Formal Aturan Keterangan
1. ¬∃xP(x) Premis Tidak ada x yang memenuhi P(x)
3. P(x) Asumsi Asumsikan P(x)
3. ∃xP(x) 2, EG Maka ada x yang memenuhi P(x)
4. P(x) ⇒ ∃xP(x) TD Teorema deduksi
5. ¬P(x) 1,4, MT
6. ∀x¬P(x) 5, UG
Jika ∃xA benar maka harus ada suatu t yang memenuhi A; Yang berarti S A harus
bernilai benar untuk beberapa t. Sebagai contoh, jika P(x) menyatakan “x sedang
x
t
berlari” maka ∃xP(x) berarti bahwa S P(x) = P(t) yang seharusnya benar untuk
term t. Permasalahannya adalah kita tidak tahu untuk term yang mana. Jika kita
tahu seseorang sedang berlari, kita tetap tidak tahu apakah orang itu Paul, ataukah
Jim, atau bahkan orang lain yang berlari. Pada suatu pembuktian, pertanyaan ini
masih tetap terbuka untuk menentukan siapa yang sedang berlari. Untuk itu kita
perlu suatu variabel baru b, yang dipilih untuk menyatakan individu yang tidak
diketahui itu. Sehingga aturan penarikan kesimpulannya adalah sebagai berikut :
∃xA
‐‐‐‐‐‐
x
S b A
Aturan ini disebut Existential Instantiation dan dalam derivasi disingkat EI.
Variabel b yang digunakan dalam EI tidak harus sebuah variabel bebas. Contohnya,
misalkan untuk dua pernyataan berikut “Ada orang yang berumur lebih dari 100
tahun” dan “ada orang yang sedang berlari”, kita tidak harus menggunakan
variabel b yang sama untuk EI pada kedua kasus tersebut. Selain itu, kita dapat
menyimpulkan bahwa b berumur lebih dari 100 tahun dan sedang berlari. Kita juga
x
t