CAPITOLO 6 6.1 – L'iperbole sferica ed ellissoidica Siano A e B due ...

La navigazione iperbolica
CAPITOLO 6
PROPRIETÀ DELLE CONICHE SFERICHE
6.1 – L’iperbole sferica ed ellissoidica
Siano A e B due stazioni radiotrasmittenti sulla terra supposta sferica il
cui segnale è ricevuto da una stazione ricevente posta in R e distante da e
db da dalle due stazioni (v. figura 6.1); la differenza Δd costante
definisce sulla sfera due iperboli sferiche di fuoco A e B; queste curve, al
contrario della loro rappresentazione sul piano, sulla sfera non si
estendono all’infinito ma sono rappresentate da due ellissi sferiche l e l’;
ellisse l ha per fuochi le stazioni B ed A’ (antipodo della stazione A); l’
ellisse l’ ha per fuochi le stazioni A e B’ (antipodo della stazione B).
Figura 6.1 – Rappresentazione delle iperboli ed ellissi sferiche
Dalla figura 6.1 si ricava che:
da b
= π − RA'
, d = π − RB'
, Δ d = RB'−RA'
(6.1)
Inoltre si può facilmente osservare che le due ellissi sono dei rami di
iperboli: sommando le distanze dei punti sulle ellissi dai due fuochi (per
esempio B e A’):
RB b π
+ RA'=
π + d - da
= − Δ d = costante (6.2)
Dalla geometria di figura 6.1 si può notare che le iperboli sferiche sono
simmetriche alle tre circonferenze massime rappresentate in figura
236

237
Mario Vultaggio
(c.m.1,c.m.2 e c.m.3); quella contenete le stazioni A e B è nota come linea
di base e la loro distanza fornisce la distanza focale di tutte le iperboli
sferiche rappresentate dalle differenze di distanza Δ di = cost
. Al
variare della differenza di distanza si ottengono tutta una serie di
iperboli detti omofocali ed ogni coppia di iperboli è individuata da una
differenza di distanza. Rimane da eliminare l’ambiguità di appartenenza
della stazione ricevente ad uno dei due rami. Questa ambiguità,
comunque, è risolta per mezzo di espedienti tecnici che comunque
saranno esaminati in seguito quando saranno trattati i vari sistemi di
navigazione iperbolica.
L’iperbole sferica, per associazione, gode della stessa proprietà della
bisettrice di altezza usata in astronomia nautica, dato che essa è definita
da una differenza di distanza, ovvero è bisettrice dell’angolo che le due
circonferenze massime che definiscono le distanze a b d e d della stazione
ricevente R dalle stazioni trasmittenti A e B.
Figura 6.2 – Rappresentazione di rami di iperboli sferiche
In figura 6.2 siano l1 e l2 due rami di iperboli rappresentati
rispettivamente dalle differenze di distanze
figura 6.2, anche
Δ d1 e Δd
2 ; essendo dalla
d a − db
= AV1
+ V1V
−VB
e db
− d a = BV + V1V
− AV1
e 2 d b − d a
= 2VV
'
'
Δ d = V V e Δd
= V V
(6.3)
1
1
1
Si può ricavare la distanza tra i due rami sulla linea di base:
2
2
2
1

La navigazione iperbolica
l
= V V
'
= V V
b 1 2 1
'
2
238
( d )
'
'
V2V2
− V1V1
Δd
2 − Δd1
δ Δ
=
= =
2
2 2
(6.4)
6.2.1 – Incertezza dell’iperbole sferica
La relazione (6.4) può essere messa in relazione con la generica distanza
tra due rami di iperbole di punti che non si trovano sulla linea di base.
Supposto che la differenza δ ( Δ d)
sia molto piccola in modo da poter
considerare i due rami l1 e l2 molto vicini;in questa ipotesi, i rami di
iperbole si possono rappresentare su un piano tangente alla sfera in P; in
questo modo anche i rami di circonferenza massima passanti per P e le
due stazioni A e B possono essere considerati paralleli. La figura 6.3
rappresenta la geometria dei rami di c.m. e i rami di iperbole che distano
della differenza δ ( Δ d)
Figura 6.3 – Geometria dei rami di iperbole definite da due differenze
di distanza molto prossime tra di loro.
In figura 6.3,il ramo di iperbole l2 è rappresentato dalla seguente
relazione: Δ d 2 = Δd1
+ δ ( Δd
) con δ ( Δ d)
molto piccolo e con P
rappresentato dalla differenza di distanza Δ d1 = db
− d a . Si consideri un
punto Q sul ramo l1 le cui distanze dalle due stazioni A e B sono
rispettivamente:
d
'
a
' ( Δd
) e d = d + ( Δd
)
= δ
d a + δ
b b
(6.5)

239
Mario Vultaggio
Il punto R sul ramo l2 è caratterizzato di avere le seguenti distanze dalle
due stazioni trasmittenti:
'
'
[ d a ] = d a + ( Δd
) e [ d b ] = d b
R
δ (6.6)
essendo, per costruzione geometrica, il segmento QH= ( Δd
)
δ e la
distanza RB=db; inoltre, avendo considerato i due rami di iperbole
paralleli, la distanza RS rappresenta la minimi distanza tra i due rami e
fornisce l’errore dell’iperbole l prodotta dall’errore di misura δ ( Δd
) .
Indicando con α l’angolo che i due rami di c.m. formano in P, dai
triangoli PRS e QRS si ricava che:
1
PS = QS = PQ
2
α
PQ = δ ( Δd
) sec
2
Considerando, infine il triangolo rettangolo QRS si ha:
R
(6.7)
α 1
α
l = QS cot = δ ( Δd
) cosec
(6.8)
2 2
2
Relazione che fornisce l’incertezza dell’iperbole sferica in termini
dell’errore di misure δ ( Δd
) e dell’angolo α. La (6.8) permette di dare
giustificazione della (6.4) dato che essendo sulla linea di base α = π
l’incertezza minima dell’iperbole sferica si ha su tutti i punti all’interno
della linea di base e compresi tra le due stazioni mentre l’incertezza
cresce con l’allontanarsi delle stazioni P dalla stessa linea di base;
osservazione molto importante è che l’incertezza è massima in tutti i
punti esterni alle due stazioni ed appartenenti alla linea di base per i
quali l’angolo α = 0 . Essendo l’angolo α legato alla geometria
dell’iperbole sferica si può dare il concetto di amplificazione
dell’incertezza prodotta dalla geometria dell’iperbole.
6.2.2 – Fattore di precisione ed incertezza dell’iperbole sferica
Essendo le misure affette da errori, il luogo che esse definiscono è
differente dalla sua esatta posizione; nasce il concetto di incertezza ε
definita come distanza tra la posizione esatta del mobile ed il luogo
relativo all’errata informazione; per quanto trovato con la (6.8), l’
incertezza del luogo di posizione può essere generalizzata con la
seguente relazione:

La navigazione iperbolica
1 α
ε = ± Kx cosec
(6.9)
2 2
Con K una costante di trasformazione che permette di trasformare l’
errore di misura in distanza Kx = δ ( Δd
) . Per un dato errore x
l’incertezza ε dipende dalla posizione del ricevitore (rel. 6.9).
Figura 6.4 – Incertezza dell’iperbole sferica.
Sia R la posizione esatta del ricevitore ed l il ramo di iperbole associato.
Siano l1 e l2 i due rami corrispondenti alla misura ( Δ d ) errata di ±x;
l’incertezza ε diminuisce con il crescere dell’angolo α e assume il
valore minimo per un ricevitore sulla linea di base:
1
ε min = ± Kx
(6.10)
2
Mentre l’incertezza massima si ha per ricevitori posti sempre sulla linea
di base ma esterni alle due stazione.
ε
Il rapporto Σ = definisce il fattore di precisione geometrica e
Kx
corrisponde al DOP introdotto in navigazione satellitare. Questo fattore
240

241
Mario Vultaggio
può essere usato per tracciare delle curve di uguale angolo α (v. figura
6.5) come si può ricavare direttamente dalla relazione (6.9).
Figura 6.5 – Curve di uguale fattore . Σ
Infatti le curve di uguale fattore Σ sono curve sulle quali il ricevitore R
osserva le due stazioni sotto lo stesso angolo α (curve studiate in
navigazione); queste curve, tracciate sia sulla sfera che sull’ellissoide,
per distanze non molto grandi, possono essere approssimate ad archi di
circonferenze
6.2.3 – Incertezza della posizione deterministica
La determinazione della posizione da misure associate a differenze di
distanza [ Δ d A,
B ,Δd
C,
D ] è definita dai due rami di iperbole associate a due
coppie di stazioni emittenti che operano nell’area regionale in cui si
trova il ricevitore. La figura 6.6 rappresenta la posizione ottenuta per
intersezione di due rami iperbolici associate alle coppie di stazione
[ A , B]
e [ C,
D]
. Dato che, occorre considerare le misure affette da errori
± x , ± x , i due rami sono affette dagli errori:
1
2
y = ± Kε
x e y = ± Kε
x
(6.11)
1
1
1
La posizione va ricercata all’interno dell’area delimitata dal
parallelogramma rappresentato in figura 6.6:
2
2
2

La navigazione iperbolica
Figura 6.6 – Area di certezza o incertezza della posizione
L’area racchiusa dal parallelogramma fornisce una valutazione
qualitativa dell’incertezza della posizione; il valore numerico però può
essere calcolato considerando l’area sul piano tangente al punto R e
supponendo linearizzati i rami di iperbole che racchiudono l’area di
certezza. La figura 6.7 fornisce la geometria dell’area di certezza
rappresentata sul piano tangente.
242

243
Mario Vultaggio
Figura 6.7 – Area di certezza della posizione sul piano nautico
L’area di certezza, definita dal parallelogrammo, è:
Nella quale:
P D
senα
Area = P1
P2
• P3C
(6.12)
2y
senα
1
2
P1P2 = =
P3C
= y1
Per cui l’area che fornisce l’incertezza della posizione è:
e
2
(6.13)
4y1
y2
Area = (6.14)
senα
L’incertezza massima è fornita dalla diagonale RP3 che può essere
facilmente calcolata applicando il teorema di Carnot:
( π − α )
2 2 2
d = RE + P E − RE • P E cos
(6.15)
3
2 3
che può essere ulteriormente semplificata nella seguente relazione:
2
2
2 y1
y2
2y1
y2
d = + + cosα
2
2
2
sen α sen α sen α
ottenuta avendo sostituito nella (6.15) le seguenti espressioni:
2
2 y1
RE = 2
sen α
E quindi la relazione finale
e
2
2 y2
P3
E = 2
sen α
1
d =
senα
2 2
y1
+ y2
+ 2y1
y2
cosα
(6.16)

La navigazione iperbolica
che rappresenta il valore massimo d’incertezza del punto da associare al
ricevitore R. Si può osservare che il valore della diagonale assume un
valore minimo quando l’angolo α, definito dai rami iperbolici, assume il
valore di 90°.(condizione ben nota in navigazione costiera). Si può fare
osservare, infine, che quando gli errori y1 e y2 hanno lo stesso valore (y1
= y2) il parallelogramma di certezza assume la forma di un quadrato.
6.2.4 – Incertezza statistica della posizione
L’incertezza della posizione calcolata considerando i valori massimi
degli errori di misura è poco realistica dato che la loro probabilità di
verificarsi simultaneamente con il loro corrispondente valore massimo è
molto bassa; per questi motivi è utile calcolare l’incertezza della
posizione dal punto di vista probabilistico introducendo errori
appartenente alla classe degli errori gaussiani (errori aleatori) a medi
nulla ed indipendenti tra loro.
Ricordando che la deviazione standard (nota come scarto quadratico
medio è data dalla seguente espressione:
N
∑
=
2
xi
σ = ± i 1
(6.17)
N −1
Allora le deviazioni standard associati agli errori (6.11), indipendenti tra
loro, possono essere scritte nel seguente modo:
σ = K ε σ e σ = Kε
σ
(6.18)
1
1
'
1
e la loro applicazione geometrica è rappresentata nella seguente figura
6.8.
Figura 6.8 – Area di certezza statistica della posizione sul piano
nautico
È importante fare osservare che i punti che si trovano sul perimetro del
parallelogrammo non hanno la stessa probabilità; la teoria degli errori
244
2
2
'
2

245
Mario Vultaggio
dimostra che i punti con la stessa probabilità di errore si trovano su una
ellisse i cui assi (rappresentati dai rami iperbolici ) sono i diametri
coniugati; i parametri delle ellissi omofocali sono funzioni dei due scarti
quadratici medi ( σ e σ ) e dell’angolo α (v. figura 6.9)
1
2
Figura 6.9 – Ellisse di probabilità sul piano nautico
La teoria fornisce gli assi dell’ellisse in funzione degli scarti quadratici
medi considerando sempre errori casuali indipendenti:
2 2 2 2 2 2
( σ + σ ) − σ σ
⎤
1 2 4 1 2 sen
⎥⎦ 2 1 ⎡ 2 2
σ =
⎢⎣
σ 1 + σ 2 +
α
2
2sen
α
x (6.19)
2 2 2 2 2 2
( σ + σ ) − σ σ
⎤
1 2 4 1 2 sen
⎥⎦ 2 1 ⎡ 2 2
σ =
⎢⎣
σ 1 + σ 2 −
α
2
2sen
α
x (6.20)
6.3 – Le coniche sferiche
Nei paragrafi precedenti si è affermato che i luoghi associate a
differenze di distanza possono essere delle iperboli, delle ellissi oppure
delle circonferenze massime. Per tutti i casi trovati esiste una relazione
matematica che permette di poter esplicitare la loro natura essendo esse
appartenenti, in generale, alle cosiddette coniche sferiche.

La navigazione iperbolica
Si definisce conica sferica il luogo dei punti della sfera per i quali la
somma o la differenza delle distanze sferiche da due punti fissi è
costante.
Per dimostrare queste proprietà si consideri un sistema sferico di
coordinate polari (ρ,θ) con polo del sistema il punto medio dell’arco di
circonferenza massima AB, posto uguale a 2c e come semiasse polare
fondamentale MB (v. figura 6.10).
Figura 6.10 – Sistema sferico polare
Considerando i due triangoli sferici ARM e BRM si calcolano le distanze
da e db di R dalle stazioni di riferimento A e B.
cos = cosc
cos ρ + sencsenρ
cosθ
(6.21)
d b
cos = cosc
cos ρ − sencsenρ
cosθ
(6.22)
d a
Sommando e sottraendo la (6.22) e la (6.21) si ottengono le due seguenti
relazioni:
cos + cos d = 2cosc
cos ρ e cos − cos d = 2sencsenρ
cosθ
d b
a
246
db a
che possono essere ulteriormente sviluppate applicando le relazioni di
prostaferesi:
db + da
db
− da
2cos cos = 2cosc
cos ρ
2 2
(6.23)
db
+ d a d b − d a
− 2sen sen = 2sencsenρ
cosθ
(6.24)
2 2

247
Mario Vultaggio
Le relazioni (6.23) e (6.24) sono usate per considerare il caso di iperbole
sferica e quello di ellisse sferica.
Per trovare l’equazione dell’iperbole sferica poniamo (db-da=2ai);
quadrando e sommando si ha:
cos
sen
2
2
d
d
b
b
+ d
2
+ d
2
a
a
2 2
cos ccos
ρ
= 2
cos a
2 2 2
sen csen ρ cos θ
=
2
sen a
i
i
i
2 2
2 2 2
cos ccos
ρ sen csen ρ cos θ
1 = +
(6.25)
2
2
cos a sen a
2
2 2
2
sostituendo nella (6.25) sen c = 1− cos c e cos ρ = 1−
sen ρ , dopo avere
liberato il denominatore ,la (6.25) può essere ulteriormente scritta nella
seguente forma:
⎡
⎤
⎢ 2
2 2
2 cos θ cos ccos
ρ ⎥
sen ρ ⎢ +
= 1
2
2 ⎥
(6.26)
⎢sen
ai
cos ai
1−
⎥
2
⎢⎣
cos c ⎥⎦
relazione che può essere considerata l’equazione della conica sferica
scritta in termini di iperbole.
Per l’ellisse sferica, ponendo (db+da=2ae) si ottiene ancora una relazione
simile alla (6.26) solo che occorre sostituire ai con ae:
⎡
⎤
⎢ 2
2 2
2 cos θ cos ccos
ρ ⎥
sen ρ ⎢ +
= 1
2
2 ⎥
(6.27)
⎢sen
ae
cos ae
1−
⎥
2
⎢⎣
cos c ⎥⎦
Le relazioni (6.26) e (6.27) possono essere generalizzati con la seguente
relazione, specificando il valore di a rispetto anche rispetto alla distanza
c.:
⎡
⎤
⎢ 2
2 2
2 cos θ cos ccos
ρ ⎥
sen ρ ⎢ +
= 1
2
2 ⎥
(6.28)
⎢ sen a cos a
1−
⎥
2
⎢⎣
cos c ⎥⎦
La (6.28) si presta ad analizzare i casi di iperbole sferica e di ellisse
sferica.
i

La navigazione iperbolica
6.3.1 – L’iperbole sferica
La 6.28 rappresenta l’iperbole sferica quando si considerano i casi di
2
cos a
a

249
Mario Vultaggio
6.3.2 – L’ellisse sferica
La 6.28 rappresenta l’ellisse sferica quando si considerano i casi di a>c;
2
cos a
in questo caso essendo p 1 si può introdurre la seguente nuova
2
cos c
funzione:
2
cos a
= cosb
(6.31)
2
cos c
Con la quale la relazione generale (6.28) si riduce alla seguente:
2
2 2
2 ⎡cos
θ cos ccos
ρ ⎤
sen ρ ⎢ +
= 1
2
2 ⎥
(6.32)
⎣ sen a sen b ⎦
l’equazione di un’ellisse sferica dato che il semiasse maggiore a è più
grande della semidistanza focale c (v. figura 6.12)
Figura 6.12 – Ellisse sferica a>c
6.3.3 – La circonferenza massima
La condizione a = c conduce alla seguente relazione:
ottenuta , avendo considerato nella (6.25)
ρ=a=b
2
2 2
cos ρ + sen ρ cos θ = 1
(6.33)

La navigazione iperbolica
Dovendo la (6.33) essere soddisfatta per qualunque valore di ρ l’
angolo θ=0=π per cui la conica degenera nella circonferenza massima
passante per le due stazioni trasmittenti A e B e b=0.
Se si considera la condizione a=b per la (6.32) si ottiene la
circonferenza minore di centro M e raggio ρ=a=b (ovvero π-ρ= π-a);
inoltre si ottiene la circonferenza massima di polo M per ρ=a=90°;
considerando poi nella (6.25) a=0 si ottiene cos 0
2 2 2
sen csen ρ θ = , essendo
c ≠ 0 e ρ ≠ 0 dovrà necessariamente, per ogni valore di ρ, θ=90° oppure θ=-
90°, per cui il caso a=0 individua la circonferenza massima passante per M e
perpendicolare alla linea di base A-B; in effetti l’iperbole individuata da da=db
coincide con la c.m. trovata per il caso a=0.
Le relazioni (6.30) e (6.32) trovate per le coniche sferiche
permettono di individuare alcune proprietà delle stesse. Essendo l’
argomento θ presente nei quadrati delle funzioni seno e coseno le
coniche possiedono simmetria sia rispetto alla c.m. definita dalla linea di
base (A-B) che dalla c.m. perpendicolare e passante per il punto medio M.
Inoltre, essendo anche ρ espresso in termini del quadrato della funzione
seno le coniche possiedono un ’ altra simmetria rispetto alla c.m.
normale alle prime dure, cioè a quella c.m. che come polo il punto medio
M.
6.4 – La posizione o fix iperbolico
In molte applicazioni, il calcolo della posizione ottenuta per mezzo di
intersezione di rami iperbolici è ottenuto per mezzo di supporto
cartografico che riporta le tracce delle iperboli associate alla catena
iperbolica.
Nelle applicazioni analitiche occorre, invece, risolvere il problema
solvendo un sistema di equazioni lineari che rappresentano una piccola
parte delle curve ottenute utilizzando il principio della linearizzazione
dei luoghi di posizione. Trovate le rette iperboliche, le stesse possono
essere tracciate sul piano nautico tangente alla sfera o ellissoide oppure
sul piano di Marcatore.
6.4.1 – La retta iperbolica
Nella figura 6.13 è rappresentata sinteticamente la geometria relativa a
due stazioni di coordinate A( φ a,
λa
) e B(
φb,
λb
) e di un punto R( φ,λ
) su una
iperbole sferica di equazione Δ d = db
− da
.
Dai triangoli sferici si ha:
250

cosd
cosd
a
b
= senφsenφ
+ cosφ
cosφ
cos
a
= senφsenφ
+ cosφ
cosφ
cos
per cui l’equazione dell’iperbole sferica si scrive:
b
251
a
b
( λa
− λ)
( λ − λ)
−1
Δd
= cos [ senφsenφb
+ cosφ
cosφb
cos(
λb
− λ)
]
−1
− cos [ senφsenφa
+ cosφ
cosφa
cos(
λa
− λ)
]
essendo Δ d = f [ φ , λ,
φ , λ , φ , λ ] .
b
b
a
a
b
Mario Vultaggio
+
(6.34)
(6.35)
Figura 6.13 – Triangoli sferici associati alla linearizzazione
dell’iperbole sferica
La procedura di linearizzazione consiste nel sostituire la (6.35) con un
arco di c.m. tangente al ramo di iperbole nell’intorno del punto stimato
Zs ( φ s,
λs)
per mezzo di uno sviluppo in serie considerando la (6.35)
espressa nel seguente modo:
⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞
Δ d = f [ φ,
λ,
φb,
λb,
φa,
λa
] = f [ φs,
λsφb,
λb,
φa,
λa
] + ⎜ ⎟ δφ + ⎜ ⎟ δλ (6.36)
⎝ ∂φ
⎠ ⎝ ∂λ
⎠Z
⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞
Δ d = Δds
+ ⎜ ⎟ δφ + ⎜ ⎟ δλ (6.37)
⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂λ
⎠Z
ZS
φ Z S
S
Lo sviluppo delle derivate presenti nella (6.36) ovvero nella (6.37) da:
S

La navigazione iperbolica
Z S
⎛ ∂f
⎞ cosφs
cosφb
− senφssenφb
cos
⎜ ⎟ = −
⎝ ∂φ
⎠
send
Z
b−
s
S
cosφs
cosφa
− senφssenφa
cos(
λa
− λs
)
+
send
b−
s
a−
s
252
( λ − λ )
( λ − λ ) cosφ
cosφ
sen(
λ − )
⎛ ∂f ⎞ cosφs
cosφbsen
b s
s a a λs
⎜ ⎟ = −
+
⎝ ∂λ
⎠
send
send
b
a−
s
s
+
(6.38)
(6.39)
Le relazioni (6.38) e (6.39) possono essere ulteriormente semplificate
applicando il teorema delle proiezioni e dei seni ai due triangoli sferici
AZsR e BZsR:
cosφ
senφ
= send
s
cosφ
senφ
= send
s
b
a
b−
s
a−
s
cos Z
cos Z
b−
s
a−
s
+ senφ
cosφ
cos
s
+ senφ
cosφ
cos
( λ − λ )
sen b
send
sen a
send
b−
s
( λ − λ )
a−
s
s
s
s
b
ab
senZ
=
cosφ
b−
s
b
senZ
=
cosφ
a−
s
a
( λb
− λs
)
( λ − λ )
ab
s
(6.40)
(6.41)
Sostituendo le (6.40) e (6.41) nelle (6.38) e (6.39) si ottengono le
espressioni finali delle derivate parziali:
∂f
= cos Z
∂φ
a−
s −
cos Z
b−
s
(6.42)
∂f
= cos φs
( senZa
−s − senZb
−s
)
(6.43)
∂λ
Pertanto la (6.37) si può scrivere nella sua versione finale:
( Z − cosZ
) + φ ( senZ − senZ )δλ
Δ cos cos
(6.44)
d − Δds
= a−
s
b−
s δφ s a−
s
b−
s
La (6.44) rappresenta l’equazione dell’iperbole sferica linearizzata
nell’intorno del punto stimato Zs che si può anche scrivere informa
compatta nel seguente modo:
δ s
( Δ d) = aδφ
+ bcosφ
δλ
(6.45)
Come nelle applicazione geometriche ed analitiche usate per altri luoghi
di posizione linearizzati la (6.45) può essere rappresentata sia sul piano
nautico che sul piano di Mercatore.

253
Mario Vultaggio
L’uso di due equazioni lineari, applicando la soluzione analitica e/o
grafica fornisce la posizione del ricevitore nel sistema di navigazione
iperbolica.
6.5 – la determinazione della posizione
La determinazione analitica della posizione nei sistemi a copertura
regionale o globale (Loran e Omega) si basa essenzialmente sul calcolo
delle distanze su grandi geodetiche. Per ottenere ciò, occorre prima di
tutto definire l’ellissoide di riferimento; nel caso in esame è usato il
WGS – 72 (World Geodetic System 1972), i cui parametri principali sono:
1
a = 6378135 m , f =
(6.46)
298.
26
Figura 6.14 – Ellissoide internazionale
ed usare delle relazioni che permettono di calcolare, con accuratezza
geodetica, i parametri della geodetica.
Nei due paragrafi successivi sono riportate le formule del Sodano che
risolvono il primo e secondo problema delle geodetiche.
6.5.1 – Determinazione degli elementi della geodetica: metodo
inverso
Dati le coordinate di un punto di partenza [ 1 , 1 λ1]
φ
arrivo [ ] φ B determinare la distanza S e gli azimut [ ]
2 2 ,λ
geodetica passante per A e B.
A e quelle del punto di
α della
1 2 ,α

La navigazione iperbolica
Siano a0 e f il semiasse maggiore e lo schiacciamento dell’ellissoide di
riferimento; ricordando che il semiasse minore e l’eccentricità sono date
dalle due seguenti relazioni:
b
o
2 2
2
2 a0
− b0
= ao(
1−
f ) , e = 2 f − f =
(6.47)
2
a
Figura 6.15 – Triangolo ellissoidico per il primo problema
Si calcola la differenza di longitudine Δ λ = λ2
− λ1
con λ λ2
λ1
pf π − = Δ
a secondo che si vuole considerare l’arco minore o maggiore della
geodetica. Assegnando alle latitudini sud e alle longitudini ovest il segno
(-) si calcolano le due seguenti relazioni:
π
tan β = ( 1−
f ) tanφ
per φ ≤
4
cotφ
π
cot β = per φ ≥
( 1−
f ) 4
Con la variabile β calcolata per le due latitudini 1 2 ,φ
254
o
(6.48)
φ . Si procede, quindi, al
calcolo delle seguenti variabili:
a = senβ
senβ
b = cos β cos β , cos Ψ = a + bcos
Δλ
(6.49)
1
2,
1 2
( ) ( ) 2
2
senΔλsenβ
+ senβ
cos β − β cos β cosΔλ
sen Ψ =
sen
(6.50)
2
2
bsenΔλ
c = e m = 1−
c
senΨ
Il segno di Ψ
sen è (+) per l’arco più breve e (-) per l’arco più lungo: il
valore di Ψ va calcolato opportunamente nel proprio quadrante.
1
2
1
2
(6.51)

255
Mario Vultaggio
Con i parametri calcolati si passa al calcolo della lunghezza dell’arco di
geodetica dato dal seguente sviluppo in serie:
S
bo
=
⎡
+ m⎢−
⎣
2 ⎡ f
+ a ⎢−
⎣ 2
2 ⎡ 2
[ ( 1+
f + f ) Ψ]
+ a ( f + f )
2
2
( f + f ) Ψ ( f + f )
2
2
−
⎤
senΨ
cos Ψ⎥
+
⎦
2 2
f Ψ ⎤
senΨ
− ⎥ +
2senΨ
⎦
2 2
f Ψ ⎤
senΨ
cos Ψ + ⎥ +
2 tan Ψ ⎦
2 2
2 2
2 ⎡ f Ψ f
f Ψ f
+ m ⎢ + senΨ
cos Ψ − −
⎣ 16 16
2 tan Ψ 8
2 2 2
⎡ f Ψ f
2 ⎤
am⎢
+ senΨ
cos Ψ⎥
⎣2senΨ
2
⎦
⎢
⎣
2
2
senΨ
cos
3
⎤
Ψ⎥
+
⎦
Gli azimut della geodetica si ricavano per mezzo delle due seguenti
relazioni:
tanα
tanα
1−2
2−1
senΓcos
β2
=
senβ
cos β − cosΓsenβ
cos β
2
2
1
senΓcos
β1
=
senβ
cos β cosΓ
− senβ
cos β
Nelle quali Γ si ricava dalla seguente relazione:
Γ − Δλ
=
c
2 [ ( f + f ) Ψ]
1
⎡ f
+ a⎢−
⎣ s
1
1
2
f ⎤
senΨ
− ⎥ +
senΨ
⎦
2 2
⎡ 5 f Ψ f
⎤
+ m⎢−
+ senΨ
cosΨ
+ tan Ψ⎥
⎣ 4 4
⎦
2
2
2
(6.52)
(6.53)
(6.54)
6.5.2 – Determinazione degli elementi della geodetica: metodo
diretto
Dati le coordinate geografiche di un punto di partenza [ 1 , 1 λ1]
φ
distanza S e l’azimut [ 1−2
]
punto di arrivo [ ] φ B e l’azimut [ α ] .
2 2 ,λ
A , la
α , determinare le coordinate geografiche del
Per la risoluzione di questo problema, oltre alle variabili considerate nel
problema inverso, occorre introdurre la seconda eccentricità data per
definizione dalla seguente relazione:
2−1

La navigazione iperbolica
256
[ ]
2
1
2
0
2
0
2
2
'
,
0 α
α
b
b
a
e
−
= (6.55)
Figura 6.16 – Triangolo ellissoidico per il secondo problema
4
per
)
1
(
cot
cot
4
per
tan
)
1
(
tan
π
φ
φ
β
π
φ
φ
β
≥
−
=
≤
−
=
f
f
(6.56)
ed i seguenti parametri:
( )
( )
s
s
s
sen
gsen
sen
sen
e
a
b
S
sen
e
m
g
sen
φ
β
φ
β
β
β
β
α
β
α
β
β
1
1
2
1
2
2
'
1
0
0
2
1
2
2
'
1
2
1
1
2
1
1
0
cos
2
1
,
cos
1
2
1
cos
cos
,
cos
cos
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
=
Ψ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
=
= −
−
(6.57)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
sen
e
e
sen
e
m
a
sen
e
e
sen
e
e
m
sen
e
a
sen
e
e
m
sen
e
a
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
2
4
'
4
'
4
'
1
1
3
4
'
2
4
'
4
'
4
'
2
4
'
2
2
'
2
'
1
2
'
1
0
cos
8
5
cos
4
8
3
cos
32
5
cos
8
cos
64
13
64
11
cos
8
5
cos
4
4
2
1
1
(6.58)

Calcolo dell’azimut α 2−1
:
tanα
Calcolo della longitudine:
Δλ
− Γ ⎡3
f
= − fφs
+ a1
cos β
⎢
0
⎣ 2
λ = λ + Δλ
2
1
Calcolo della latitudine:
2
cos β =
2
senβ2
tan β2
=
cos β
2−1
cos β0
=
g cosφ
− senβ
senφ
1
0
senα1−2senφ0
tan Γ =
cos β cosφ
− senβ
senφ
cosα
2
1
cos
2
⎤ ⎡3
f
senφs
⎥ + m1
⎢
⎦ ⎣ 4
senβ
= senβ
cosφ
+ gsenφ
2
0
e
0
β +
tan β2
tanφ
=
2
cotφ
=
2
2
257
0
1
1
3 f
φs
−
4
( g cosφ
− senβ
senφ
)
0
cos β2
cotβ2
=
senβ
( 1−
f )
( 1−
f )
0
per
cot β
2
2
1
per
2
0
0
Mario Vultaggio
1−2
⎤
senφs
cosφs
⎥
⎦
0
π
β2
≤
4
2
π
β2
≥
4
6.6 - Il sistema iperbolico di navigazione LORAN-C
(6.59)
(6.60)
(6.61)
(6.62)
6.6.1 - Introduzione
Il sistema iperbolico Loran-C (LOng RAnge Navigation) è stato
sviluppato sulle esperienze acquisite nell’esercizio del precedente
sistema (Loran-A) usato negli anni 50,basato sulla trasmissione di
segnali ad impulsi e realizzato dal DoD (Department of Defence ) degli
Stati Uniti durante la seconda guerra mondiale. La prima catena di Loran
C, localizzata lungo la costa orientale degli USA, è stata dichiarata
operativa nel 1958.
Attualmente ci sono numerose catene di Loran-C che coprono il
Mediterraneo, l'Atlantico di Nord-Ovest, le acque intorno all'Hawai e al
Giappone, nella Cina sud orientale e lungo la costa occidentale
dell'America del Nord (Alaska compreso), nelle regioni dei Grandi
Laghi (Great Lakes) fino al Golfo del Messico. Esistono, inoltre, due
catene in Arabia Saudita ed altre cosiddette mini catene in altre parti del

La navigazione iperbolica
mondo come per esempio quella operante nel canale di Suez; altre
catene Loran-C si stanno espandendo per coprire il resto degli Stati Uniti
continentali, principalmente per servire il traffico aereo; questa
espansione è stata completata alla fine del 1990 (Heyes, 1988). Alla fine
degli anni 80 sono state dichiarate operative quattro catene sovietiche
(Westling, 1984), una nella parte dell'Europa centrale del paese con
cinque trasmettitori, una sul litorale pacifico con cinque e due catene
recentemente stabilite con tre trasmettitori per coprire la regione artica
occidentale dell'oceano Pacifico. Il sistema sovietico, denominato
Chayka (gabbiano), ha un’organizzazione del segnale simile a quello
delle stazioni delle catene degli Stati Uniti; questi due Stati,
successivamente, hanno stabilito degli accordi per integrare le catene
Loran-C e le catene Chayka in modo da poterli utilizzare
simultaneamente per mezzo di ricevitori opportunamente predisposti a
ricevere ed elaborare segnali provenienti dalle due catene (Westling,
1984).
Una catena Loran-C è costituita da una stazione principale (Master
station, M) e da due, tre o quattro stazioni secondarie dette stazioni
secondarie (Slaves station o stazioni schiave); le stazioni secondarie
sono indicate rispettivamente con le lettere X(X-ray), Y(Y-ankee), Z(Z-
Zulu) e possibilmente W(W-whisky);le linee di base, distanze fra i
trasmettitori della stessa catena (Master – Slaves), sono di circa 1000-
1200 chilometri.
6.6.2 – Il segnale Loran C
Le stazione delle catene Loran-C trasmettono tutte su una frequenza
portante di 100KHz ma ogni catena si caratterizza per differenti
intervalli di trasmissione; le misure di differenza di tempo fra la Master
e le stazioni secondarie sono realizzate per sovrapposizione dei segnali;
le fasi sono utilizzate per migliorare la misura. I segnali, di ogni stazione
trasmettente, sono costituiti da gruppi di impulsi, otto per ogni gruppo
distanziati di 1 ms (1000 μs) fra loro nel gruppo. La stazione Master
trasmette un nono impulso distanziato 2 ms (2000 μs) come riportato in
figura 4.1. Il nono impulso esiste principalmente per motivi storici dato
che esso era usato per identificare il segnale della Master, nel Loran-A,
per mezzo di un oscilloscopio ma la sua funzione è quella di trasferire ai
ricevitori Loran-C informazioni sul mal funzionamento delle Slaves
(stazioni secondarie).
258

259
Mario Vultaggio
Figura 6.1 – Catena Loran C e rappresentazione temporale degli
impulsi di una catena Loran; GRI Intervallo di cadenza (Ground Rate
Interval)
Questa operazione è fatta lampeggiando il nono impulso a intervalli di
12 s, compilando le seguenti parole dell’alfabeto Morse RE, REE, REEE
e REEEE rispettivamente per le stazione X, Y, Z e W, per indicare che i
segnali da loro trasmessi sono inutilizzabili. Questa caratteristica è anche
utilizzata dalle stazioni asservite lampeggiando i primi due impulsi di
ogni gruppo per 0,25 s e spegnendoli per 3,75 s.
Questo modo di operare delle stazioni fornisce al sistema Loran-C
l’integrità di funzionamento. Ogni catena è caratterizzata dall’intervallo
di cadenza definito dal tempo di ripetitività dei gruppi di impulsi(v.
figura 4.1) noto con la sigla di GRI (Ground Rate Interval). Per il Loran-
C sono stati introdotti quattro intervalli principali individuati dalla
lettere S, SH, SL, SS che corrispondono rispettivamente ai valori 50.000
60.000, 80.000 e SS 100.000 μs; per ciascuna di queste cadente sono
state, inoltre, introdotte otto intervalli specifici che si differenziano di
100 μs . Ogni catena Loran-C lavora con una cadenza specifica definita
nella seguente tabella:

La navigazione iperbolica
Tabella 6.1 – GRI – Elenco degli intervalli specifici di cadenza
S(μs) SH(μs) SL(μs) SS(μs)
50.000 60.000 80.000 100.000
49.900 59.900 79.900 99.900
49.800 59.800 79.800 99.800
49.700 59.700 79.700 99.700
49.600 59.60 79.600 99.600
49.500 59.500 79.500 99.500
49.400 59.40 79.400 99.400
49.300 59.300 79.30 99.300
L’intervallo di cadenza specifico, individuato dalle prime 4 cifre, è usato
dai ricevitori per individuare la catena su cui operare per effettuare le
misure di differenza di tempo e calcolare la posizione;
Ogni impulso ha la durata di 270 μs ed è costituito da 27 armoniche di
periodo 10 μs di ampiezza variabile; i massimi delle oscillazione del
segnale sono rappresentati dalla seguente relazione:
2
⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤
() ⎜
t
⎟ ⎢ ⎜
t
v t = v
− ⎟
o exp 2 1
⎜ ⎟
⎥
(6.1)
⎢
⎜ ⎟
⎝ t p ⎠ ⎣ ⎝ t p ⎠⎥⎦
con t p = 65 − 70μs
(normalmente 65 μs). La funzione (6.1) rappresenta
l’inviluppo dei massimi delle armoniche semplici come si può
facilmente notare nella figura 4.2.
Figura 6.2 – Forma del segnale Loran C
Lo spettro trasmesso è richiesto per avere 99 per cento dell'energia di
impulso all'interno della gamma di frequenza 90-110 KHz.
Dalla tabella si vede che ci sono disponibili GRI possibile; il GRI delle
catene vicine deve essere scelto con grande cura in modo che i segnali
260

261
Mario Vultaggio
delle catene vicini non si sovrappongono fra di loro. La tabella 6.2
riporta l’elenco di alcune catene Loran-C nel modo.
Tabella 6.2 – Elenco di alcune catene Loran-C e codici di
identificazione
Catena Loran-C codice
Pacifico Centrale 4990
Costa Orientale del Canada 5930
Corea – Giappone 5970
Costa Occidentale del Canada 5990
Nord Atlantico 7930
Golfo dell’Alaska 7960
Mar di Norvegia 7970
Costa Sud-Est Stati Uniti 7980
Mar Mediterraneo 7990
Grandi Laghi 8970
Costa Occidentale Stati Uniti 9940
Costa Nord-Est Stati Uniti 9960
Pacifico Nord-Occidentale 9970
Pacifico Settentrionale 9990
Tutte le stazione appartenenti alla stessa catena Loran-C utilizzano la
stessa frequenza pertanto per essere identificati sono introdotti nel
sistema di trasmissione dei segnali dei ritardi che sono associati alla
distanza Master-Slave (Δ) ed un ritardo specifico per ogni stazione Slave
noto come Coding Delay (δ). In questo modo il tempo ricevuto da . Con
questa procedura, ogni ricevitore Loran-C riceve in successione la
stazione M-Mastre, la X Slave, Y-Slave e Z-Slave come riportato in
figura 6.1.
Per ogni catena, allora, i tempi di ricezione delle stazioni Slaves variano
in funzione della distanza delle stesse con la Master e dei Coing delay
assegnati per ogni stazione Slave; i temi di misura per una stazione
trasmittente Slave variano fra un valore minimi dato dal coding delay (δ)
e da un valore massimo determinato dal tempo Master-Slave (Δ) e dal
coding delay (δ); la relazione (6.2) definisce per una generica stazione
Slave il campo di misura del tempo misurato dal ricevitore Loran-C:
δ ≤ t ≤ 2Δ
+ δ
(6.2)
S

La navigazione iperbolica
Tabella 6.2 – Valori teorici dei tempi(μs) per la catena Loran-C 7970
Mar di Norvergia
Slave tSmin (δ) (Δ) tSmax
X(Bφ) 11.000,00 4.048,16 19.096,32
W(Sylt) 26.000,00 4.065,96 34.131,32
Y(Sandur) 46.000,00 2.944,47 51.888,94
Z(Jan Mayen) 60.000,00 3.216,20 66.432,40
Tuttavia, oggi, le stazione trasmittenti Slave non sono più ritardate dei
tempi rispetto a quello di trasmissione della Master ma sono dotati di
orologi atomici al Cesio al che per proprio conto hanno una deriva
differente da quella della Master. Ciò significa che durante il loro i
ritardi legati alla distanza Master-Slaves possono differire rispetto a
quelli teorici. Inoltre, i ritardi (Δ) teorici imposti nel sistema variano
anche per il modo di propagarsi sulla superficie della terra( variabilità
della conduttività elettrica). Il controllo sulla deriva degli orologi al
cesio è assegnato a delle staziono monitor che intervengono per segnale
che la deriva fra gli orologi della Master e delle Slaves è maggiore del
off-set consentito; quando il valore misurato eccede un determinato
intervallo di tolleranza ( valore del l’ordine di decine di nanosecondi), la
stazione monitor trasmette un messaggio alla stazione secondaria (Slave)
che registra il ritardo e lo applica al suo orologio. In questo modo è
mantenuto il valore teorico usato per il calcolo della posizione. Può
affermarsi così che Loran-C opera come un sistema differenziale con le
stazioni del monitor come stazione di riferimento. Ma poiché le
variazioni di propagazione non sono uguali nell’area di copertura della
catena, ci saranno sempre piccoli e differenti errori nell’area di copertura.
La frequenza della portante è unica per la catena,; in questo modo gli
impulsi sono coerenti fra loro. Inoltre, per ridurre l'influenza
dell'interferenza e permettere al ricevitore di identificare
automaticamente i segnali, gli impulsi sono codificati. La codifica degli
impulsi è fatta in modo che la prima semi armonica è positiva oppure
negativa; così per la Master gli impulsi sono codificati nel seguente
modo:
++--+-+-+ e +--+++++trasmesso
ogni due volte. Simultaneamente le stazioni secondarie
(Slaves) trasmettono impulsi codificati
+++++--+ e +-+-++--,
262

263
Mario Vultaggio
Questa codifica degli impulsi permette al ricevitore di individuare le
riflesione dei segnali prodotti dalla ionosfera e quindi essere in grado di
valutare la propagazione ionosferica (skywaves) da quella superficiale
(groundwaves); i codici della Master e delle Slaves sono ortogonali; essi
sono codici complementari di Golay.
6.6.3 - L'interferenza dei segnali
L’interferenza prodotta da altri gruppi di impulsi sugli impulsi trasmessi
dalle stazioni della catena è un problema importante nella ricezione dei
segnali Loran-C particolarmente in Europa. Le fonti si trovano sia
all’interno della banda Loran-C che da altre bande come per esempio
quella di lavoro del Decca.
Spesso si distingue fra sincronismo, sincrono approssimato o
asincronismo prodotto da interferenza per mezzo della seguente
condizione:
⎧ = 0 ⎡ sincronismo
⎤
m ⎪
f
⎢
⎥
int − ⎨ ≤ f b ⎢
sincronismo
approssimato
⎥
(6.2)
2GRI
⎪
⎩ > f ⎢⎣
non sincronismo
⎥
b
⎦
Nella quale f int è la frequenza di interferenza, f b la ampiezza di bande
del ricevitore (normalmente 0.01-0.5 Hz) ed m un intero; l’errore sul
sincronismo approssimato è dell’ordine del 1% sulla frequenza di
sincronismo.
L’interferenza causa le difficoltà nell’aggancio dei segnali ed è regolato
per mezzo di filtri. I problemi di interferenza che possono essere
generati dalla catena stessa sono di due tipi:
• interferenza prodotta dalla skywaves;
• interferenza prodotta da Slaves della stessa catena.
L’azione dell’interferenza prodotta dalla skywaves sarà trattata
successivamente. L’interferenza prodotta dai trasmettitori (Slaves) della
stessa catena è legato all’organizzazione dei segnali trasmessi dalle
stazioni della catena e già studiato nel paragrafo precedente. Comunque,
le stazione trasmettono in istanti differenti (differenti time sharing) per
cui nessun impulso può sovrapporsi ad un altri impulsi di stazioni
differenti (Slaves) cosicché è assicurata l’identificazione dei segnali da
parte del ricevitore.
L'intervallo necessario fra gli impulsi da due trasmettitori è indicato da
Figure 4.30.

La navigazione iperbolica
Figura 6.3 – Distanza temporale fra Master e Slave
La Master trasmette un impulso che arriva alla Slave dopo tempo un β;
la Slave trasmette l’impulso dopo il tempo definito dal coding delay (δ).
Questo’ultimo impulso arriva alla Master dopo il tempo di (2β+δ)
cosicché per evitare una sovrapposizione degli impulsi la Master deve
trasmettere il suo secondo impulso prima dell’intervallo (2β+δ).
L’interferenza prodotta dalla riflessione ionosferica può anche creare
delle sovrapposizioni degli impulsi. Le riflessioni multiple, cioè segnali
che hanno subito riflessioni multiple, si possono sovrapporre ai segli
superficiali generando così treni di impulsi che a alla frequenza di 100
KHz possono durare diversi decine di ms anche se l’ampiezza degli
impulsi riflessi è ridotta. Se un secondo impulso è trasmesso troppo
presto dopo il primo le riflessioni multiple possono generare errori sia
nella sovrapposizione dei segnali che nella fase della portante. Queste
considerazioni sono bene illustrate nella figura 6.4:
Figura 6.4 – Interferenza fra impulsi
264

265
Mario Vultaggio
Figura 6.5 – Intervalli richiesti per evitare la sovrapposizione fra
impulso Master e quello Slave.
Nello schema di figura 6.5 Δ è l’intervallo di possibile sovrapposizione
fra l’impulso della Master e quello della Slave mentre I è il tempo
minimo necessario per identificare il segnale Master.
Se invece la Master trasmette il gruppo intero di impulsi (9), la
frequenza di ripetizione di impulso aumentata e l'intervallo necessario
fra questi impulsi è allora di meno Δ perché essi provengono dallo stesso
trasmettitore (Master); soltanto il primo impulso di ogni gruppo deve
attendere la riflessioni di ultimo impulso del gruppo precedente come
riportato in figura 6.6.
Figura 6.6 – Intervalli fra gruppi di impulsi
Se G è la lunghezza del gruppo, l'intervallo totale di ripetizione è data
dalla seguente relazione:
GRI = 2 G + 2Δ
+ 2β
+ I
(6.3)
La tabella 6.3 fornisce gli esempi dei valori dei Δ, β e G per un singolo
impulso e per un gruppo di impulsi. La tabella indica che il numero di
impulsi per secondo che può essere trasmesso sono da una stazione
trasmittente aumenta quando si utilizzano gruppi di impulsi invece che
un singolo impulso. Ciò è molto importante perché riduce la potenza di

La navigazione iperbolica
picco necessaria per singolo impulso cosicché il rapporto segnalerumore
necessario nel ricevitore può essere realizzato tramite
integrazione coerente di parecchi impulsi.
Tabella 6.3 – Intervallo di gruppo fra Master e Slave X della catena
7970 Mar di Norvergia (valori in ms)
parametri impulso Gruppo di 8 impulsi
2 Δ 22 22
2 β 9,9632 9,09632
I 2 2
2G - 14
GRI 33,09632 47,09632
Impulsi/s 1
= 30,
2
GRI
g
= 169,
9
GRI
Fattore di
5,6dB
amplificazione --
In una ricevitore Loran-C il tempo di integrazione è limitato dalla
condizione che il movimento del ricevitore debba essere molto più
piccolo di una lunghezza d'onda durante il tempo di integrazione della
misura. Alla frequenza di 100KHz la lunghezza d'onda è di 3 Km; lo
spostamento massimo durante l'integrazione non dovrebbe quindi
superare 150 m cosicché una nave con 30 nodi di velocità può usare un
tempo di tempi di integrazione di circa 10 s, valore molto comune nei
ricevitori loran.
L'integrazione degli impulsi ricevuti è in fase coerente solo dopo che il
ricevitore ha agganciatoli segnale. Se, allora, l'ampiezza ricevuta del
2
A
segnale è A, l’energia del segnale è . Se l’energia del rumore è N ,
2
allora il rapporto segnale-rumore per ogni singolo impulso è:
⎛ S ⎞
⎜ ⎟
⎝ N ⎠1
2
A
=
(6.4)
2N
Dopo l’integrazione coerente di n impulsi l’ampiezza è nA e la sua
2 ( nA)
energia è: . Il rumore, comunque, integrato come segnale
2
incoerente (random) ha la caratteristica di essere statisticamente
indipendente e perciò può porsi uguale a nN, cosicché il rapporto
segnale rumore dopo l’integrazione di n impulsi è:
266

( nA)
2
267
Mario Vultaggio
2
⎛ S ⎞ 2 nA ⎛ S ⎞
⎜ ⎟ = = = n⎜
⎟
(6.5)
⎝ N ⎠ n nN 2N
⎝ N ⎠1
Per una catena loran-C, in cui otto impulsi sono trasmessi da una
stazione trasmittente dopo 79,9 ms ed integrati per 10s , si ha una fattore
di amplificazione del segnale di circa 1000 volte:
10* 8*
1000
3
≅ 1000 = 10 =
79.
9
30dB
Tenuto conto che per un singolo impulso il rapporto segnale rumore - -
10dB si ottiene un effettivo rapporto segnale rumore di 20dB. Questo
valore permette di ottenere una valutazione dell’errore di fase della
misura essendo:
2 1
( Δϕ ) = = 0.
1[
rad]
≅ 18°
S
N
Dopo se si suppone che sia la master che la Slave hanno lo stesso
rapporto segnale rumore , allora errore di fase è dato dalla seguente
relazione:
1 1
Δϕ 1,
2 = + = 0.
07[
rad]
= 25°
(6.6)
⎛ S ⎞ ⎛ S ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠
1
Cosicché essendo la lunghezza d’onda di un impulso di periodo 10 μs '
pari a 300m allora l’errore di misura dell’iperbole corrisponde a circa
100 m.
6.6.4 – Codifica di gruppo
La codifica di fase come metodo di riduzione dell'influenza dalle
riflessioni multiple prodotte dalla skywaves possono facilmente
compreso dalla figure 6.7. Il ricevitore genera gli stessi codici della
Master (segnali a di figura 6.a) e li confronta con quelli ricevuti. Se le
fasi sono identiche il ricevitore produce un segno (+) altrimenti un segno
(-).; questa operazione è effettuata su tutti i gruppi. Il ricevitore procede
all’integrazione degli impulsi quando la correlazione è rispettata. Le
rappresentazioni di figura 6.7b e 6.7c l’integrazione è nulla perché i
gruppi ricevuti non coincidono con quelli generati. In questo modo il
ricevitore riconosce l’interferenza del segnale riflesso dalla ionosfera.
2

La navigazione iperbolica
Figura 6.7 – Esempio di codifica dei gruppi di impulsi della stazione
Master e eliminazione delle interferenze prodotte dalla skywave.
6.6.5 – I ricevitori Loran C
Nel Loran-C, come in altri sistemi di navigazione, c’è stato un notevole
sviluppo dei ricevitori che ha portato ad una utilizzazione, per l’analisi
dei segnali, di microprocessori sempre più diffusa. In questo paragrafo è
presentato il ricevitore convenzione usato per moltissimi anni e
successivamente quello attuale dotati di microprocessori per il calcol
della posizione.
La sintonizzazione dei ricevitori ad una catena Loran-C si basa sul GRI.
Per prima è identificato il segnale della Master; nei ricevitori automatici,
i gruppi di impulsi sono generati con una velocità moto più grande di
quelli trasmessi dalla Master e con la stessa fase; l’aggancio e la
successiva integrazione avviene quando i gruppi ricevuti della master e
quelli generati dal ricevitore si sovrappongono completamente; in questa
situazione il GRI del ricevitore di adatta a quello della catena e i treni di
impulsi sono agganciati. La figura 6.8 illustra il principio di
funzionamento della sintonizzazione della Master. L’influenza della
skywave è minima per quanto studiato nel paragrafo precedente ed
illustrato nella figura 6.7.
268

269
Mario Vultaggio
Figura 6.8 – Schema di aggancio del segnale generato dal ricevitore e
segnale ricevuto. (per semplicità nello schema è riportato un gruppo di
solo 4 impulsi).
Quando il ricevitore ha bloccato i segnali della Master, il ricevitore
passa, seguendo la sesta procedura all’aggancio delle stazione asservite
(Slaves) seguendo lo schema di figura 6.1.
Il ricevitore ha un oscillatore interno agganciato in fase con il segnale
della Master e da cui si ricavano tutte le altre frequenze necessarie per
l’utilizzo dei segnali delle stazione Slaves 8gri, ecc,..). L’aggancio di
fase deve avere un tempo costante cosicché il segnale di riferimento non
deriva molto anche quando in assenza del segnale della Master. Il tempo
totale dall'inizio della ricerca fino a raggiungere il sincronismo completo
è solitamente parecchi minuti.
Durante la ricerca la larghezza di banda del ricevitore è ridotta
solitamente a circa 5 KHz della banda nominale di 20-40 KHz per
aumentare il rapporto segnale-rumore;d'altra parte questa riduzione di
larghezza di banda distorce severamente a forma dell’impulso, in modo
da non deve essere usata per il tracking del ricevitore). I ricevitori
Loran-C funzionano soddisfacentemente anche con rapporto
segnale/rumore degli impulsi di -20dB dovuto al lungo intervallo di
integrazione. Durante la procedura di ricerca, tuttavia, l'integrazione è
incoerente e questo è il motivo della riduzione di larghezza di banda.
Come detto precedentemente, le misure di tempo e di fase sono
utilizzate per trovare una posizione del ricevitore. Il ricevitore misura la
differenza di tempo (DT) dei tempi di arrivo del segnale della master e
delle stazione Slaves. Questa differenza, in prima fase, è fatta con una
accuratezza di ± 5μs
quando il periodo della portante è di 10 μs
.
Successivamente la differenza di tempo è misurata con più accuratezza
confrontando le fase delle misure nell’attraversamento dello linea di

La navigazione iperbolica
zero nel terzo ciclo (per es. 30 μs
dopo l’inizio del primo ciclo degli
impulsi). Il motivo per questa scelta di tempo è legata al tempo di
propagazione della skywaves che è di circa 32 − 35μs
e per evitare
interferenze sui segnali (v. figura 7.9).
Figura 6.9 – Tempo di propagazione teorico della skywave in funzione
della distanza
Il ricevitore necessita due armoniche per determinare lo zero dei segnali
ed è per questo motivo che le misure di differenza di fase si effettua
nello zero del terzo ciclo. Per trovare questo punto, in linea di principio i
ricevitori utilizzano due metodi.
Nel primo metodo il ricevitore trova la differenza fra l’inviluppo degli
impulsi ricevuti e quello amplificato dato dall’equazione (6.1):
1
( t)
v(
t)
− A v(
t − t )
v = Δ
(6.7)
dove Al e Δt sono scelti in modo che il valore della (6.7) si annulli nel
punto desiderato.
Nel secondo metodo, l’inviluppo del segnale ricevuto è differenziato due
volte (v. figura 6.11), cosicché il punto di intersezione è:
270
1
( t)
1
2
d v
v 2 ( t2
) = A2
= 0
(6.8)
2
dt
Nel caso che la funzione v2 ( t)
è data dalla relazione (6.1) la (6.8) è
soddisfatta dopo 21 μs
.
t=t
2

271
Mario Vultaggio
Figura 6.10 – Determinazione dello zero per mezzo dell’onda inviluppo.
Figura 6.11 – Determinazione dello zero per mezzo della tecnica
differenziale.
Se si considera l’inizio del terzo ciclo del segnale superficiale per la
misura di fase, nessun segnale dovrebbe precedere di 30μs; per questo
motivo il ricevitore è dotato di porte che controllano questa condizione.
Se i segnali si trovano in questa condizione, la misura di fase si sposta
sullo zero successivo e il ricevitore informa l’utente che la misura è sta
effettuata su uno zero errato.
In Europa la causa più usuale di rilevazione errata dello zero di
riferimento è l’interferenza da altri trasmettitori che operano in
prossimità della frequenza usata. Per controbattere tale interferenza, in
molti casi sono richiesti dei filtri di taglio. Questi filtri, che si possono
utilizzare sia automaticamente che manualmente, tagliano una parte del
segnale desiderato oltre che quello indesiderato. Ciò, inoltre, implica la

La navigazione iperbolica
distorsione del impulso. La larghezza di banda di questi filtri è di solito
do 1-2 KHZ.
Poiché le frequenze dipendono dalle condizioni di propagazione, le
frequenze all’interno della banda disturbate in modo differente lungo il
percorso dalla trasmittente (Master e Slaves) al ricevitore (6.1); questa
azione disturba anche la posizione dello zero di misura, di modo che, nei
casi estremi, si può generare un’altra posizione dello zero errata rispetto
a quella corretta.
Nei moderni ricevitori tutta o la maggior parte dei segnali sono
analizzati con la tecnica digitale. Questa tecnica permette:
• una notevole velocità di calcolo;
• l’elaborazione in parallelo di tutte le trazioni appartenenti alla
catena Loran-C;
• la selezione automatica delle stazioni trasmittenti migliori basata
sull’intensità dei segnali e sulla geometria delle iperboli.
Questi ricevitori calcolano la posizione in coordinate geografiche a
differenza dei vecchi ricevitori che fornivano soltanto le differenze di
tempo (TD) in μs.
Ultimamente esistono ricevitori che possono utilizzare stazioni
trasmittenti (Slaves e Master) di differenti catene. Le funzioni principali
di un moderno ricevitore sono (fig.ra 6.12):
• ricerca dei segnali della Master e delle Slaves;
• determinazione dello zero di misura;
• l’aggancio dell’onda di inviluppo;
• misura delle differenza di tempo fra master e Slaves (TD);
• applicazione di possibili correzioni;
• calcolo della posizione.
Solitamente il modulo di ricerca e quello di tracking sono separati; il
primo ha il compito di limitare la banda passante; il secondo ha il
compito di agganciare le stazioni. Gli svantaggi di questi due moduli
sono l’alta sensibilità alle interferenze e debole riduzione del rapporto
segnale/rumore.
272

273
Mario Vultaggio
Figura 6.12 – Schema a blocchi di un ricevitore Loran-C
Figura 6.13 – Schema a blocchi di un ricevitore Loran-C
La figura 6.13 mostra un esempio di uno schema a blocchi di un
ricevitore Loran-C che utilizza la tecnica digitale per mezzo di
microprocessori (anche se non rappresenta lo schema dei ricevitori
Loran-C di ultima generazione).

La navigazione iperbolica
Una caratteristica della tecnica digitale è che la ricerca del segnale è
campionato in quadratura con 125μs fra una coppia di campioni
(impulsi) (v. figura 6.15).
Figura 6.14 – campionamento del segnale Loran-C con la tecnica
digitale
Questa tecnica assicura una sufficiente ampiezza del segnale e nello
stesso tempo l’intervallo di campionamento della coppia è
sufficientemente breve a individuare la presenza dell’impulso. Si riduce
il tempo di individuazione dei gruppi di impulsi (8+8) del trasmettitore
desiderato.
Per trovare il punto zero di misura del tempo, il segnale è testato ad un
certo numero di punti prima definire la posizione dei campioni.
L'intervallo fra questi campioni è 40μs (v figura 6.15). il rivelatore, in
presenza del segnale, salta al punto più in vicino e la lunghezza in tempo
del salto è data dal numero di campioni con segnale presente.
Quando la posizione approssimativa dello zero, dopo il terzo ciclo
segnale è stata trovata, la sua posizione può essere determinata con più
accuratezza e quindi procedere all’agganciamento dei segnali. La
posizione dello zero è determinata prendendo tre campioni intervallati di
2,5 μ in prossimità dell’intersezione con il livello nullo (v. figura 6.14).
274

275
Mario Vultaggio
Figura 6.15 – campionamento per trovare lo zero di riferimento
Se la somma a questi tre campioni è nulla allora lo zero di riferimento
per la misura è esattamente sullo 'zero intersezione. Un algoritmo
procede al calcolo ed al filtraggio dei tre impulsi in modo da definire in
modo univoco la posizione del punto di misura (zero – intersezione). La
tecnica è identica per la misura di fase. L’istante definito al centro del
campione determina il tempo di misura da confrontare con gli altri
tempi corrispondenti alle altre stazioni trasmittenti gestite
contemporaneamente dal ricevitore.
6.6.6 – Ricerca automatica del gruppo di impulsi.
Per prevenire errati agganciamenti da parte del ricevitore loran-C sono
stati sviluppati diversi routine per minimizzare l’errore di aggancio di
fase anche in presenza di interferenze.
Nella figura 6.16 sono rappresentati dei gruppi di impulsi utilizzati da
un ricevitore Loran-C per illustrare il metodo di somma e di divisione di
due gruppi di impulsi. Nella fase di campionamento, il segnale ricevuto
è moltiplicato dai primi quattro impulsi (M1)della sequenza di
riferimento generata dal ricevitore e gli ultimi quattro per gli impulsi
(M2) (v. figura 6.16); questo processo produce un campionamento per
determinati intervalli della sequenza di riferimento. Questi prodotti sono
sommati e successivamente moltiplicati; questo ultimo valore è
confrontato con il livello di soglia. Successivamente, se il segnale
ricevuto è sincronizzato con la sequenza di riferimento, allora gli
impulsi (M1)e (M2) forniscono un contributo al campionamento, cioè + 8
impulsi; altrimenti quando il segnale non è sincronizzato con la
sequenza il contributi sono nulli e non c’è campionamento del segnale.
Questo ultimo caso è identico a quello mostrato nella figura 6.7 (b,c).

La navigazione iperbolica
Figura 6.16 – Campionamento per l’aggancio di fase
Questo aspetto è molto curato nel Loran-C. Tra l'altro, le variazioni da
un gruppo di impulsi all’altro è fatto in modo da selezionare gruppi
dispari (primo, terzo, quinto e settimo) che hanno la stessa fase (per. es.
ciclo positivo) mentre i gruppi pari (secondo, quarto, sesto e ottavo)
hanno un cambiamento di fase.
6.6.7 – Accuratezza e portata di una catena Loran C.
La portata del Loran-C è molto più grande di quella del Loran-A, sia per
la propagazione superficiale (ground waves) che per quella ionosferica
(skywaves). Le onde superficiali possono raggiungere distanze medie di
1100 miglia con una variazione in distanza fra 900 e 1400 miglia.
Questa copertura delle catene Loran-C derivano da esperienze
sperimentale effettuate su terreni di natura differente al variare delle
stagioni e al variare delle condizioni meteorologiche. In Europa
occidentale, tuttavia, numerose interferenze associate a molte stazioni
vicine alle trasmittenti delle catene. I segnali Loran-C si indeboliscono
con la distanza dalle stazioni trasmittenti; la ricezione del segnale Loran-
C dipende dal rapporto segnale/rumore che dipende da diversi fattori
oltre ovviamente dalla distanza dalle stazioni trasmittenti. La riduzione
del segnale è più marcata su terreni che sul mare; il rumore nella banda
di frequenza del Loran-C è più del doppio nelle ore notturne rispetto alle
ore diurne ed è maggiore nelle zone equatoriali e d’estate, rispetto alle
zone di latitudine elevate d’inverno dipende perdita del
La portata delle skywaves è naturalmente maggiore di quella
superficiale: di giorno possono propagarsi fino a 1800-2000 miglia e di
notte, in alcune situazioni fino a 3000 miglia. Questa particolarità,
naturalmente comporta che entro 1100 miglia arrivano al ricevitore sia
onde superficiali (groundwaves) che onde ionosferiche (skywaves). La
sovrappostone di queste onde è tipico del fenomeno di interferenza
discusso nei paragrafi precedenti.
276

277
Mario Vultaggio
Figura 6.17 – Portata del segnale Loran-C al variare della
conducibilità del mezzo e all’intensità in dB del segnale.
La misura del confronto di fase si effettua, come già precedentemente
visto, entro i 30 μs quando il segnale non è ancora contaminato dalle
skywaves ; in questi casi la lettura TD è indicata da TG ; per distanze
maggiori può considerarsi che il segnale ricevuto sia solo ionosferica (il
segnale ha subito una riflessione dallo strato limite della ionosfera); in
questo caso la lettura è indicata con TS e alla lettura va applicata la
6.6.8 – Il loran C differenziale.
Dato che le variazioni della velocità di propagazione dei segnali è legato
alle variazioni c1imaticche si può pensare che esse possano essere
associate ad aree geografiche di differente ampiezza. Questo concetto
può essere usato per calcolare le differenze di tempo per una località di
coordinate note e trasmettere le differenze fra il tempo di misura ed il
valore nominale su un canale comunicazione ad altri utenti che usano le
stesse stazioni trasmittenti ed operano nella stessa area. In questo modo i
ricevitori Loran-C che ricevono le correzioni potrebbero applicare alle
misure di differenza di tempo prima di effettuare il calcolo della
posizione Loran-C.
Il metodo, detto Loran-C differenziale, è stato studiato molto a fondo,
specialmente negli Stati Uniti ed è stato dimostrato che le applicazioni

La navigazione iperbolica
delle correzioni di tempo possono migliorare considerevole le
prestazioni del ricevitore. Tuttavia, è importante tener presente che
soltanto quegli errori che sono correlati migliorano le prestazioni sul
calcolo della posizione. Gli errori non correlati ( variazioni di tipo
casuali), sono associati al rumore dei ricevitori. Un cattivo rapporto
segnale-rumore è solitamente dovuto quando alle stazioni trasmettenti
molto lontani dal ricevitore; (errori di questo tipo sono inoltre
geometria-dipendente).
Il Loran-C differenziale migliora la le prestazioni in termini di
accuratezza ; queste prestazioni possono essere espresse intermini di
rapporto. Nelle aree con buoni rapporti segnali-rumore ed una buona
geometria dei trasmettitori (Master – Slaves - Ricevitore) gli errori
correlati (sistematici) si eliminano applicando la tecnica differenziale
migliorandone le prestazioni in termini di accuratezza della posizione
calcolata. Questa azione è minore dove gli errori causati da rumore.
Queste conclusioni sono state tratte da ricerche diffuse lungo le catene
loran-C distribuite lungo le coste degli USA ed i risultati si basano sia su
studi teorici che sperimentali. Le misure eseguite in altre parti del
mondo hanno fornito risultati molto buoni; per esempio misure
eseguente nell’area francese hanno permesso di trovare una deviazione
standard di alcune decine di nanosecondi su un’area di oltre 500 km; nel
canale di Zuez il Loran-C differenziale permette di determinare la
posizione con una accuratezza di circa 15 m.
6.6.9 – Prospettive future.
Il Loran-C, come detto è un sistema che per la sua caratteristica di
integrità di funzionamento bene si presta a tutti gli usi nei quali è
richiesta la sicurezza di funzionalità.
In alcune regioni esistono progetti di ampliamento e di potenziamento
delle catene aggiornando e/o sostituendo le stazioni con nuove
tecnologie che ne migliorano le prestazioni. Nel nord Europa (v. figure
6.18 e 6.19) sono state programmate potenziamento ed ampliamento
delle aree coperte da catene Loran-C; nel Mediterraneo la catena Loran-
C (7990), dopo il passaggio nel 1994 della gestione parte del DoD, ha
subito diverse difficoltà che alla fine hanno portato alla chiusura delle
stazioni Slave-Y (Estartit - Spagna) e Slave-Z (Kalkabarum- Turchia); la
gestione per una buon funzionamento delle stazioni richiedeva la
completa sostituzione del hardware delle stazioni trasmittente; L’alto
costo e la disponibilità del sistema satellitare GPS hanno portato alla
decisione da parte dei Paesi gestore della catena (Italia, Spagna e
278

279
Mario Vultaggio
Turchia) alla disattivazione chiusura della catena con gravissimi danni
da parte di numerosissime unità navali dotati di ricevitori Loran-C.
Figura 6.18 – proposta di una nuova catena Loran-C nel NE
dell’Oceano Atlantico(NELS)
Anche le catene loran-C del Nord Europa hanno subito le stesse
difficoltà di gestione legate alla politica di sviluppo del GOPS e alle
difficoltà finanziaria passate ai paesi coperti dalle catene. La soluzione il
più probabilmente sarà che ogni paese con i trasmettitori sul relativo
territorio assume la direzione del finanziamento del loro funzionamento,
possibilmente sostenuto dagli altri paesi. Un'espansione è stata proposta,
nuovi trasmettitori consistenti in Norvegia, il Regno Unito e l'Irlanda. La
realizzazione di questa politica porterà un ampliamento dell’area di
utilizzo dell’Europa di Nord-Ovest fino al Golfo di Biscaglia.

La navigazione iperbolica
Figura 6.19 – proposta di un sistema Loran-C nel mar baltico
280