“IN VIAGGIO VERSO L'INFINITO” - Matematicamente.it

MATEMATICA
Il tema dell’infinito, tuttavia, non si lega solo all’analisi sotto il profilo umanistico, bensì abbraccia
anche la matematica e la scienza: ciò dimostra che, seppur in maniera diversa, la filosofia, la
scienza e la letteratura sono strettamente connesse fra loro, a tal punto che l’una tende a completare
l’altra.
Si affronta ora uno dei tanti “recenti” dibattiti tra matematici sul problema dell’infinito: quello
relativo all’esistenza di una pluralità di livelli di Infinito.
13. I livelli di Infinito
1873 d.C.: George Cantor scoprì che non basta l’Infinità dei numeri interi per enumerare tutti i
punti di un segmento. Questi punti in verità possono essere messi a confronto con i numeri reali:
Cantor pone, per la prima volta nella storia della Matematica, l’intelletto dell’uomo dinanzi a due
livelli di Infinito. Il primo rappresentato da tutti i numeri interi e misurato dalla potenza “alephzero”.
Il secondo rappresentato da tutti i numeri reali, e misurato dalla potenza “aleph-uno”. Questo
livello di Infinito è anche detto livello del Continuo. Infatti la sequenza dei numeri interi non è
continua, ma quantizzata. Per passare da uno a due è necessario fare un salto “quantico”, di
un’intera unità. E così per passare da tre a quattro, da novecentocinque a novecentosei, o da un
numero intero qualsiasi al successivo. Siamo dinanzi a “salti”. Nel caso della sequenza dei numeri
reali, il salto è tanto piccolo quanto si vuole; anzi, esso è continuo. L’Infinito dei numeri interi è
meno potente dell’Infinito dei numeri reali.
Nessuno s’era prima sognato di pensare che potessero esistere diversi livelli di Infinito.
Cantor denota con “aleph-zero” l’Infinito Numerabile. E con “aleph-uno” l’Infinito Continuo. A
questo punto nasce il quesito: “esistono livelli intermedi di Infinito tra “aleph-zero” e “alephuno”?”.
Cantor intuisce di no. E’ questa la tanto famosa Ipotesi del Continuo.
13.1 Ipotesi generalizzata del Continuo
L’ipotesi di Cantor (o Ipotesi del Continuo, o Assioma del Continuo) afferma:
“ tra un livello di Infinito Attuale e il successivo non esistono altri livelli d’Infinito”.
Che in (A) non ci sia nulla, corrisponde all’Ipotesi del Continuo. Che non ci sia nulla in (B), (C),
ecc., è invece la cosiddetta Ipotesi Generalizzata del Continuo.
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