“IN VIAGGIO VERSO L'INFINITO” - Matematicamente.it

III secolo a.C.: Euclide riesce a dimostrare che non può esistere il più grande “numero primo” in
maniera molto semplice. Supponiamo che esista un numero P che sia il più grande di tutti; ora
costruiamo un numero N, ottenuto moltiplicando tutti i numeri primi ad esso inferiori e
aggiungendo, alla fine, il numero “uno”:
N = (2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·……·P) + 1
Provando a dividere N per qualsiasi dei numeri primi sopra elencati, esso darà sempre come resto
+1. Ma anche se fosse divisibile per qualche altro numero, questo dovrebbe essere più grande di P,
altrimenti non riusciremmo mai a liberarci del resto +1. Pertanto, questo numero, per il quale
potremo dividere N, senza averlo come resto +1, sarebbe comunque superiore a P. Quindi non può
esistere un numero primo più grande di tutti gli altri numeri primi.
Esistono cinque numeri primi (1,2,3,5,7) tra uno e dieci, invece sono nove tra i cento numeri che
stanno prima di dieci milioni, poi ancora solo tre quelli dopo i dieci milioni. La frequenza dei primi
diminuisce al crescere del numero stesso.
Questa è la legge di rarefazione dei numeri primi: essi diventano, infatti, sempre più rari man mano
che ci si sposta verso l’Infinito. Grazie a Euclide, però, sappiamo che la lista dei numeri primi non
si ferma mai.
2. L’infinito nel meccanicismo di Galilei
Nel 1638 d.C. Galileo Galilei fu posto da un suo allievo, Bonaventura Cavalieri, di fronte ad un
terribile problema, apparentemente impossibile. Nonostante Euclide avesse affermato una cosa
piuttosto ovvia (per le cose finite), vale a dire che una parte è sempre inferiore al tutto, lo scienziato
fiorentino, lavorando con i numeri interi, scoprì la proprietà fondamentale di tutti gli insiemi
infiniti.
2.1 Il Paradosso dei quadrati:
i quadrati sono solo una parte dei numeri naturali. E’ però possibile stabilire una corrispondenza
biunivoca tra N e l’insieme dei quadrati, vale a dire una corrispondenza nella quale ad ogni numero
naturale corrisponda uno ed un solo quadrato.
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