Le Reazioni Nucleari nella Nucleosintesi Primordiale - INFN Napoli

12 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
integro-differenziale alle derivate parziali (non lineare) per la funzione di
distribuzione f.
Solo in rari casi, ricorrendo a varie approssimazioni, è possibile un trattamento
analitico di tale equazione; più spesso, essa viene studiata numericamente.
Il risultato ottenuto può essere esteso:
• ad un fluido multispecie.
In tal caso avremmo un sistema di equazioni integro-differenziali accoppiate
nelle incognite fi, con i che varia sulle diverse specie.
• a particelle con struttura interna.
Ad esempio particelle con spin e/o stati eccitati.
• al caso di collisioni a 3 o più corpi.
Non presentiamo qui la riscrittura dell’ eq. di Boltzmann generalizzata (ulteriori
dettagli saranno dati laddove se ne esibirà la generalizzazione relativstica),
nè (coerentemente con l’ approccio fenomenologico e multidisciplinare
di tale tesi) entriamo nel merito dei problemi concettuali e tecnici necessari
a giustificare tali passaggi e a chiarirne l’ ambito di validità, rimandando
per ulteriori dettagli alla letteratura specialistica.
1.3.2 Formulazione relativistica e applicazione al modello di
FLRW
Notiamo che l’ equazione di Boltzmann può vedersi come una relazione
operatoriale
ˆL[f] = Ĉ[f] (1.38)
dove ˆ L è l’ operatore differenziale di Liouville e Ĉ è l’operatore integrale
collisionale.
Da quanto detto, nel caso non relativistico si ha:
ˆLclass = ∂ p
+
∂t m ·∇r + F·∇p
(1.39)
Se λ è un parametro affine 14 , nella generalizzazione relativistica avremo 15 :
laddove p µ = Dxµ
Dλ
df
dt = ˆ µ ∂ Dpµ ∂
Lclass −→ p +
∂x µ Dλ ∂p µ
D e con Dλ si è indicata la derivata covariante.
La generalizzazione della seconda legge di Newton è:
(1.40)
Dp µ
= fµ
(1.41)
Dλ
14
Ad esempio, per il modello di FLRW potrebbe scegliersi una variabile proporzionale
al tempo ”cosmico”.
15
Per dettagli sulla teoria cinetica in Relatività Generale e, in particolare, nell’ universo
primordiale, si veda la monografia [16].