Le Reazioni Nucleari nella Nucleosintesi Primordiale - INFN Napoli

36 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
nuclidi non relativistici (Ei mi) e diversi tra loro; se questa è la sola
reazione ad influenzare l’ evoluzione della specie a, possiamo scrivere:
dna
dt + 3Hna
= −
dΠT(2π) 4
δ (4) (pa + pb − pc − pd)|M| 2 Tot (fafb − fcfd) (2.23)
dove dΠi ≡ d3pi (2π) 3 e dΠT ≡
2Ei
i dΠi, e con |M| 2 Tot si intendono i moduli
quadri degli elementi di matrice sommati sugli stati iniziali e finali, come
nella 1.46.
Dalla 2.15 e introducendo la variabile Xa si ha:
da cui:
dXa
nB
dt
= −
1
nB
dna
dt
+ 3Hna
= dXa
dt
dΠT(2π) 4 δ (4) (pa + pb − pc − pd)|M| 2 Tot (fafb − fcfd)
(2.24)
Il vantaggio di questa equazione consiste nel fatto che, passando alla nuova
variabile Xi, si è ”nascosta” la dipendenza da H.
Per quel che segue, è opportuno riscrivere l’ equazione precedente in un’ altra
forma, più usuale; indicando con p fin
T e pin T rispettivamente il quadrimpulso
totale finale e iniziale e posto
si ha
< σv >ij→kl≡ Γil→jk
nB
≡ 1
ninj
dΠT(2π) 4 δ (4) (p fin
T
− pin
T )|M|2 Tot fifj
(2.25)
dXa
dt = Γcd→abXcXd − Γab→cdXaXb. (2.26)
I coefficienti Γ così introdotti sono detti rates di reazione.
Sempre nelle ipotesi precedenti, ma per reazioni con un numero di particelle
iniziali generico Nforw e un non meglio precisato numero di particelle finali,
avremo:
≡
1
ni1 ...niN forw
< σv >i1...iN →...≡
forw Γi1...iN →...
forw
≡
nB
Nforw−1
dΠT(2π) 4 δ (4) (p fin
T
− pin
T )|M| 2 Tot
Nforw
Se sono presenti particelle identiche nello stato iniziale e/o finale, scriveremo
la reazione come:
Na(a) + Nb(b) + ...Nk(k) ←→ Nc(c) + Nd(d) + ... + Nl(l) (2.27)
i=1
fi