Le Reazioni Nucleari nella Nucleosintesi Primordiale - INFN Napoli

Università degli Studi di Napoli “Federico II”
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica
Tesi di Laurea
Le Reazioni Nucleari nella Nucleosintesi
Primordiale
Relatori:
Prof. G. Mangano
Prof. G. Miele
Anno Accademico 2002/2003
Candidato:
Pasquale Dario Serpico
Matricola 60/774

Indice
Ringraziamenti i
Introduzione iii
1 Richiami di Cosmologia Standard 1
1.1 Le Basi del Modello Cosmologico Standard . . . . . . . . . . 1
1.2 Relatività Generale e Principio Cosmologico . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Principali Osservabili Cosmologiche . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Le Equazioni Cosmologiche . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Teoria Cinetica nell’Universo Primordiale . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Formulazione relativistica e applicazione al modello di
FLRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Grandezze Macroscopiche ed Equilibrio Termodinamico 14
1.4 Breve Storia Termica dell’ Universo Primordiale . . . . . . . . 24
2 La Nucleosintesi Primordiale 27
2.1 Le Condizioni Iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Freezing delle Interazioni Deboli. . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 La Nucleosintesi Primordiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Le Equazioni della BBN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Equazioni per le Xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.1 Principio del Bilancio Dettagliato e Applicazioni . . . 38
2.6 Osservazioni Astronomiche delle Abbondanze degli Elementi . 42
2.6.1 Deuterio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.2 Elio-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.3 Elio-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.4 Litio-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.5 Altri Nuclidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Cenni di Astrofisica Nucleare 51
3.1 Richiami di Fisica Nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1 Proprietà Statiche dei Nuclei . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.2 Proprietà Dinamiche Dei Nuclei . . . . . . . . . . . . . 54
1

2 INDICE
3.2 Calcoli Analitici di Sezioni d’ urto e Tassi di Reazione . . . . 62
3.2.1 Reazioni non-risonanti indotte da neutroni . . . . . . . 62
3.2.2 Reazioni non-risonanti indotte da particelle cariche . . 63
3.2.3 Risonanze Isolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.4 Risonanze Fitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Correzione delle Misure per l’ Effetto di Schermo . . . . . . . 72
3.4 Effetti Termici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.1 Popolamento Termico dei Nuclei-Bersaglio . . . . . . . 73
3.4.2 Effetto Schermo del Plasma . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Revisione del Set di Equazioni 79
4.1 Prospetto del Lavoro Eseguito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Reazioni Deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Reazioni di Cattura Radiativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.1 Reazioni (n,γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.2 Reazioni (p,γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.3 Reazioni (d,γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.4 Reazioni (t,γ) e (τ,γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.5 Reazioni (α,γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4 Reazioni di Scambio di Carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 Reazioni di Stripping/Pickup (S/P) . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5.1 Reazioni S/P di H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5.2 Reazioni S/P di H3 e He3 . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5.3 Reazioni di Pickup di He4 . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6 Reazioni a 3 e 4 corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.6.1 Reazioni a 2 corpi in ingresso. . . . . . . . . . . . . . . 108
4.6.2 Reazioni a 3 corpi in ingresso. . . . . . . . . . . . . . . 109
4.7 Altri Nuclidi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Calcolo Numerico e Analisi degli Errori 113
5.1 BBNCODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.1 Cenni ai Metodi Numerici . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.1.2 Modifiche a BBNCODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.1.3 Altro lavoro numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Discussione sugli Errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Errori sulle Xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6 Conclusioni 123
A Brevi Note di Relatività Generale 125
B L’ Equazione di Boltzmann. 127

INDICE 3
C Analisi Grafiche dei Rates di Reazione 131
C.1 H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.2 H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.3 He3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C.4 He4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C.5 Li6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C.6 Li7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C.7 Be7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
D Modelli per le Previsioni dei Rates 141
D.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
D.2 Sezioni d’ urto non risonanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
D.3 Sezioni d’ urto risonanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
D.4 Reazioni Endoenergetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Ringraziamenti
Questo lavoro non sarebbe stato possibile senza la collaborazione di un gran
numero di persone e istituzioni. Il primo ringraziamento va a tutti i membri
del gruppo di Astroparticelle di Napoli, per avermi accolto amichevolmente
e con estrema cordialità. In particolare, ai miei relatori Gianpiero Mangano
e Rino Miele, per avermi proposto questo tema di ricerca, per i consigli e
le osservazioni dati durante lo svolgimento della tesi e per i mezzi che mi
hanno messo a disposizione. Un grazie anche per le opportunità formative
che, con la collaborazione dell’ INFN, mi hanno offerto e per aver rafforzato
lo spirito critico nell’ analizzare i più svariati argomenti di fisica e non solo,
in un anno particolarmente buio per la Ragione.
Un sentito ringriaziamento va ad Ofelia Pisanti, per la continua assistenza
digitale (anche in senso letterale!) fornita; senza di lei sarebbe stato impensabile
portare a termine questo lavoro nei tempi previsti e, soprattutto,
quest’ avventura umana e scientifica sarebbe stata molto meno divertente.
Esprimo la mia gratitudine anche al mio correlatore Luigi Rosa, che ha contribuito
in maniera decisiva alla leggibilità del lavoro e ad una sua migliore
organizzazione.
Un prezioso aiuto nell’ iniziarmi all’ astrofisica nucleare ed ai suoi molteplici
problemi sperimentali e teorici è derivato dalle numerose discussioni avute
con Gianluca Imbriani e Filippo Terrasi.
Un ringraziamento va poi a tutti quelli che mi sono stati vicini durante un
anno ricco di alti e bassi: i miei genitori, Vicente e Carmen che mi hanno
sopportato in famiglia; Raffaele, Crescenzo, Imma, Gianpaolo, Luciano,
Charo, Francesco e tutti gli altri che in Dipartimento hanno seguito de facto
le varie fasi del lavoro di ricerca e di stesura della tesi, tirandomi su nei
momenti più stressanti. Ringrazio poi i ”colleghi di sventura” Alessandro
e Fabio per il continuo scambio di idee, per le vivaci discussioni e per l’
incoraggiamento mostrato anche nei momenti in cui avrebbero avuto ben
altro a cui pensare. Infine un sentito grazie a Vera, per il notevole coraggio
e incoscienza dimostrati nel leggere (spontaneamente!) le varie versioni
preliminari di questo lavoro, correggendo numerosi refusi e sviste.
i

ii RINGRAZIAMENTI

Introduzione
Siamo caduti nel mondo come un uccello nella trappola,
Resi afflitti dal tempo e folli dal vino,
Confusi in questo anello senza nè porta nè tetto
Non ancora arrivati allo scopo e non giunti alla meta.
’Omar Khayyâm, Quartine (sec. XI-XII)
Da circa un decennio la cosmologia sta vivendo una fase di trasformazione:
da settore altamente congetturale della fisica, con un aspetto matematicoformale
molto sviluppato cui faceva da contraltare una impressionante esiguità
di dati sperimentali (affetti spesso da grandi incertezze), si sta passando
ad una disciplina più solida e matura, che ci fa penetrare sempre più indietro
nel tempo nella descrizione dell’ evoluzione dell’ universo.
E’ sempre più frequente, inoltre, il ricorso ad osservabili cosmologiche per
indagare su aspetti di fisica fondamentale inesplorati (e, forse, inesplorabili)
nei laboratori terrestri: secondo lo scenario standard di descrizione dell’
evoluzione del cosmo (”Modello Cosmologico Standard”, spesso abbreviato
in SCM) che almeno nelle sue linee essenziali si profila sempre più saldo, le
caratteristiche dell’ universo primordiale lo rendono un naturale laboratorio
di fisica delle alte energie.
Pur non essendo questa la sede per indagare su quanto la comologia possa
rivelarci sulla fisica oltre il Modello Standard delle Particelle Elementari
(SM)(si veda, ad esempio, la review di Sarkar [1]), è bene sottolineare che tali
prospettive sono pensabili solo grazie ai notevoli progressi osservativi relativi
allo studio del Fondo di Radiazione nelle Microonde (CMB), alle abbondanze
primordiali degli elementi, agli indicatori di distanza e alle strutture a larga
scala recentemente conseguiti.
Questa situazione ha indotto molti a parlare di una cosmologia di ”precisione”:
nonostante la delicatezza delle misure in questi campi (basate spesso
su modelli e/o assunti che potrebbero portare a errori sistematici difficili da
individuare ed eliminare) inviti ad una maggiore cautela verso facili entusiasmi,
è chiaro che ogni progresso verso questo obiettivo richiede un miglioramento
dell’ affidabilità delle previsioni teoriche.
iii

iv INTRODUZIONE
Riguardo alla Nucleosintesi Primordiale (BBN: Big Bang Nucleosynthesis),
oggetto di questa tesi, nel corso degli anni ci si è mossi da uno status
epistemologico di ”scenario” di massima a quello attuale di teoria ”overconstrained”
che pretende di fare previsioni quantitativamente attendibili
sulle abbondanze cosmiche dei nuclidi leggeri. Questo ha richiesto e tuttora
richiede una revisione critica degli input fisici della BBN; in passato, ad esempio,
il gruppo di Astroparticelle dell’ Università di Napoli ha analizzato i
vari effetti capaci di influenzare la previsione pricipale della BBN, l’ abbondanza
di He4, sulla terza cifra significativa (si veda [2], [3]). Questo lavoro
si propone per certi versi di continuare in tale ordine d’ idee, estendendo
l’ analisi agli altri nuclidi leggeri e rivedendo le incertezze delle grandezze
coinvolte nel network di equazioni che ne governa le abbondanze, al fine di
poter formulare previsioni attendibili anche su H2, He3 Li7 e Li6.
Per il raggiungimento di questo scopo si è rivelato fondamentale un aggiornamento
del codice di evoluzione dei nuclidi BBNCODE (introducendo nuove
possibilità di controllo del network e dell’ output) e la creazione di utilities
con Mathematica (per l’ analisi e la riduzione dei dati, oltre che di protocolli
per una stima di rates per i quali scarseggiano le informazioni sperimentali).
A stimolare tale progetto ha certamente contribuito la recente pubblicazione
del catalogo NACRE ([4]) che raccoglie, analizza ed elabora i dati relativi a
numerose reazioni nucleari indotte da particelle cariche di interesse astrofisico
e/o cosmologico.
Le conoscenze fisiche richieste per questo lavoro sono, chiaramente, piuttosto
eterogenee: gli ambiti disciplinari coinvolti vanno dalla Relatività Generale
(GR) alla Teoria Cinetica, dalla Teoria Quantistica dei Campi (QFT) all’
Astrofisica Nucleare, dalla Spettrografia Extragalattica alle tecniche di
misura nucleari. Il districarsi in maniera costruttiva in questo Mare Magnum
senza perdere di vista la meta finale ha costituito senz’ altro una sfida,
che mi auguro di aver dignitosamente onorato.
L’ altra faccia della medaglia è che, inevitabilmente, agli esperti di ciascuna
di queste discipline il lavoro apparirà quantomeno incompleto; spero, però,
di essere riuscito a cogliere, di ciascun settore, gli elementi essenziali al raggiungimento
degli scopi proposti, senza superficialità ingiustificate.
La tesi è organizzata come segue: nel primo capitolo vengono introdotte
le nozioni fondamentali di cosmologia e di termodinamica necessarie ad inquadrare
e descrivere correttamente la Nucleosintesi Primordiale 1 ; questa è
oggetto di una discussione più dettagliata nel capitolo successivo, in cui si
mette peraltro in evidenza il ruolo che i rates di reazione nucleari giocano nella
fisica della BBN; alcune nozioni fondamentali di fisica e astrofisica nucleare
sono introdotte nel terzo capitolo; alcuni risultati ivi soltanto enunciati sono
1 Brevi richiami su alcune nozioni fondamentali di Relatività Generale e sull’ equazione
di Boltzmann sono forniti rispettivamente nelle appendici A e B.

illustrati in maniera più dettagliata nell’ appendice D, in cui sono descritti
anche dei semplici modelli utilizzati per stimare tassi di reazione incogniti.
La parte più significativa della tesi è trattata nei due capitoli successivi: nel
primo vengono descritte le reazioni analizzate nel corso del lavoro, mentre
nel secondo l’ enfasi è posta sugli aspetti numerici e computazionali connessi
a tale revisione, con un importante paragrafo sulla trattazione degli errori;
seguono una breve esposizione dei risultati ottenuti (con alcuni grafici riportati
in App. C) e le conclusioni, di carattere più generale. Nel testo,
laddove non esplicitamente indicato il contrario, si adottano unità naturali
¯h = c = kB = 1.
v

vi INTRODUZIONE

Capitolo 1
Richiami di Cosmologia
Standard
In questo capitolo illustrerò brevemente i presupposti del Modello Cosmologico
Standard e introdurrò gran parte del formalismo utilizzato nei capitoli
successivi. Per ovvie ragioni di spazio, mi limiterò a sottolinearne gli
aspetti utili per il tema della tesi. Chi volesse approfondire le motivazioni
osservative e teoriche che hanno portato a tale quadro è rimandato alla
consultazione della letteratura standard in materia ([5], [6]).
1.1 Le Basi del Modello Cosmologico Standard
Lo SCM poggia su tre fondamentali pilastri osservativi:
• La legge di recessione delle galassie di Hubble.
• La CMB, con uno spettro ben approssimato da quello di corpo nero a
T ∼ 2.73K
• Le abbondanze (relativamente all’ idrogeno) degli elementi leggeri.
Formalmente, i principali assunti dello SCM sono:
1 La validità della Relatività Generale (GR) nel descrivere la struttura
dello spazio-tempo a grandi scale.
2 Il ”principio cosmologico” (CP): l’ universo é spazialmente omogeneo
e isotropo (almeno a scala ”cosmica”, cioè a partire da 1000 Mpc).
3 La possibilità di descrivere le varie forme di materia-energia mediante
la teoria cinetica dei fluidi di particelle.
Nei due paragrafi seguenti, dopo aver richiamato alcune nozioni fondamentali,
commenteremo queste ipotesi; nell’ ultimo paragrafo di questo capitolo
1

2 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
tracceremo a grandi linee la ”storia dell’ universo primordiale” così come
ci viene presentata dallo SCM, inquadrando la nucleosintesi primordiale nel
suo contesto.
1.2 Relatività Generale e Principio Cosmologico
L’ essenza della teoria della GR 1 può essere riassunta con il seguente enunciato:
Lo spazio-tempo è una varietà quadridimensionale su cui è definita
una metrica gµν di segnatura lorentziana; questa metrica è legata alla
distribuzione della materia-energia nello spazio-tempo dalle equazioni di
Einstein
Gµν[gαβ] = 8πGTµν[gαβ]
A questo punto, sorge naturale la questione di quale sia la soluzione delle
equazioni di Einstein che descrive (a grossa scala) lo spazio-tempo in cui viviamo.
Il compito principale della cosmologia è quello di rispondere a questa
domanda assegnando un numero sufficiente di informazioni sperimentali e
di ipotesi ragionevoli sulla natura dell’ universo; con queste informazioni si
può sperare di utilizzare le eq. di Einstein per fare previsioni sull’ evoluzione
dinamica dell’ universo.
La risposta data dallo SCM è basata sul CP enunciato in precedenza; inizialmente,
il sostegno al CP veniva essenzialmente da motivazioni filosofiche
(generalizzazione del principio copernicano e criterio del ”rasoio di Occam”,
che richiede di non adottare modelli più complessi del necessario per spiegare
i fenomeni naturali), formali (sostanziale semplificazione matematica delle
eq. di E.) e metodologiche (ipotesi più complesse portano alla moltiplicazione
dei parametri liberi, rendendo arduo trarre previsioni ”forti”, sottoponibili
al vaglio delle osservazioni sperimentali).
Oggigiorno, studi sulla distribuzione di strutture cosmiche (ammassi di galassie,
superammassi, ecc.) lasciano intendere che, a scale sufficientemente grandi,
la tendenza ad un ”clustering” possa lasciare posto ad una distribuzione di
materia (luminosa) grossomodo omogenea e isotropa.
Ulteriore supporto al CP viene dai dati sul conteggio delle radio-sorgenti, e
dalla isotropia del fondo di radiazione nelle bande X e γ.
Tuttavia, la prova di gran lunga più stringente della validità del CP, almeno
per l’ universo primordiale, è nell’ isotropia della CMB, verificata essere circa
di una parte su 10 5 .
Formalmente, l’ omogeneità si traduce nell’ enunciato seguente:
esiste una foliazione dello spazio-tempo in termini di una famiglia ad un
parametro (τ) di ipersuperfici tridimensionali Στ di tipo spazio (epoche);
per ogni valore di τ, presi 2 punti qualsiasi P e Q di Στ esiste un’ isometria
della metrica che porta P in Q (cioè, ad ogni istante di ”tempo”, ogni punto
1 per ulteriori dettagli sulla GR e sulle notazioni adottate, si veda l’ appendice A.

1.2. RELATIVITÀ GENERALE E PRINCIPIO COSMOLOGICO 3
dello ”spazio” è indistinguibile da ogni altro) 2 .
L’ isotropia si traduce in quest’ altro enunciato:
esiste una congruenza 3 di curve di tipo tempo di tangenti u µ (x) (campo
vettoriale definito su tutto lo spazio-tempo, che assumiamo normalizzato a
u µ uµ = 1) tale che, preso un qualsiasi punto q e due vettori ortogonali ad
u µ (q), esite un’ isometria della metrica che lascia q e u µ (q) invariati, ma
porta i due vettori ortogonali ad u l’ uno nell’ altro (cioè, in un universo
isotropo è impossibile selezionare una direzione privilegiata ortogonale a u µ ).
Da tali ipotesi, che nel CP si assumono contemporaneamente valide, si deriva
una messe di risultati; ad esempio (si veda [7]):
• le Στ devono essere ortogonali alle u µ , che sono le tangenti alle linee di
mondo degli osservatori comoventi, i quali osservano uno spazio-tempo
isotropo.
• Le Στ sono sottospazi massimamente simmetrici dell’ intero spaziotempo
e tutti i campi tensoriali cosmici sono invarianti in forma rispetto
alle isometrie di tali ipersuperfici.
• La forma più generale ammissibile per un campo tensoriale doppio
simmetrico Aµν è : Aµν = α(τ)gµν +β(τ)uµuν. In particolare, ciò vale
per il tensore energia-impulso totale, che assume la forma di quello di
un fluido perfetto:
Tµν = −Pgµν + (P + ρ)uµuν
(1.1)
con ρ e P interpretabili rispettivamente come ”densità di energia ” e
”pressione” totali se sono assenti fenomeni viscosi.
• E’ possibile scegliere coordinate comoventi sferiche (t,r,θ,φ), in cui l’
intervallo di tempo proprio tra due eventi dello spazio-tempo è dato
dalla metrica di Robertson-Walker (RW):
ds 2 = gµνdx µ dx ν = dt 2 − a 2
dr2 (t)
1 − kr2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2
)
(1.2)
k è la curvatura delle sottovarietà spaziali 3-D ed è convenzionalmente
riscalata (mediante r → |k| 1/2 r e a → |k| −1/2 a) perchè assuma come
2 Operativamente, il parametro τ, interpretabile come un tempo cosmico, può essere
definito mediante una qualsiasi osservabile monotona in τ, come ad esempio la temperatura
di corpo nero del fondo cosmico di fotoni Tγ; la distanza spaziale può analogamente
definirsi mediante un’ osservabile quale la luminosità apparente di ”candele standards”
(vedi 1.2.1).
3 dato un insieme di curve, se per ogni punto della varietà passa una e una sola di esse,
tale insieme si dice una congruenza.

4 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
soli valori possibili +1,0,-1 corrispondenti ad uno spazio rispettivamente
ellittico, euclideo o iperbolico; a(t) è detto fattore di scala cosmico
e, in tali modelli, è la sola variabile dinamica indipendente; i modelli
cosmologici che derivano da tale metrica sono detti di Friedmann-
Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW).
In questo paragrafo, da ora in avanti e salvo avviso contrario si indicherà
con il pedice 0 il valore di una grandezza al tempo attuale (t0).
1.2.1 Principali Osservabili Cosmologiche
Oltre alle osservabili cosmologiche che potremmo definire dirette, come i
valori delle ρi delle varie specie e le loro equazioni di stato, esistono altre
grandezze di interesse cosmologico, rilevanti perchè legate in maniera più
immediata alle osservazioni astronomiche (in senso lato). Fra queste:
• Redshift
Consideriamo una sorgente che emetta un fotone (o una qualsiasi altra
particella relativistica), con una lunghezza d’ onda λ nel suo sistema di
riposo; in generale, a causa di vari fattori, esso verrà da noi osservato
con lunghezza d’ onda λ0; Si definisce redshift z la differenza tra λ
osservato e λ emesso relativamente a quello di emissione 4 :
z = λ0 − λ
λ
(1.3)
In un Universo di FLRW, a causa dell’ evoluzione del fattore di scala
cosmologico a(t), la radiazione con lunghezza d’ onda λ al tempo t, al
tempo t0 successivo verrà osservata con una λ0 data:
λ0 = λ a0
a(t)
(1.4)
Dalla 1.4, se il redshift è attribuibile (essenzialmente) alla sola recessione
cosmologica, si trova:
1 + z = a0
a(t)
(1.5)
• Distanza e Parametri Cosmologici H0 e q0
Nella pratica astronomica sono in uso vari metodi per la determinazione
delle distanze 5 (tanto da coniare vari nomi: distanza di parallasse,
di luminosità, di diametro angolare, di moto proprio, ecc.) che,
4
naturalmente, z potrebbe essere negativo. In tal caso si parla più propriamente di
blueshift.
5
Per inciso, il problema delle distanze in astronomia extra-galattica è, di per sè, un
campo di indagine irto di difficoltà.

1.2. RELATIVITÀ GENERALE E PRINCIPIO COSMOLOGICO 5
in uno spazio euclideo sarebbero tra loro equivalenti. In campo cosmologico
il problema dell’ interpretazione teorica (nell’ ambito della GR)
dell’ oggetto di una misura di distanza è tutt’ altro che banale. Senza
addentrarci nei dettagli (per i quali si rimanda, ad es, a [5]), riportiamo
le definizioni di distanza propria (concettualmente importante) e
di distanza di luminosità (che è quella di uso più frequente).
La prima è definita come:
dpr(t) ≡
t0
t
dt ′
a(t ′ rs
= a(t)
) 0
dr
√ 1 − kr 2
w(rs)
= a0
1 + z
dove si è usata la 1.5 e si è definita rs la coordinata radiale comovente
-e quindi indipendente da t- della sorgente osservata, che ha emesso al
tempo t < t0 (per ulteriori dettagli rimandiamo a [5]).
Riguardo alla seconda, detta L la luminosità assoluta di una sorgente
(cioè la potenza totale-integrata sull’ intero angolo solido e sulle
frequenza- emessa da una sorgente supposta pressochè isotropa) e l
la luminosità apparente, cioè l’ energia raccolta dall’ osservatore per
unità di tempo e di superficie, si definisce la distanza di luminosità:
dL ≡
L
.
4πl
(1.6)
Spesso, in astrofisica, anzichè dL si usa il modulo di distanza µ, definibile
in termini delle magnitudini assoluta (M) e relativa (m) 6 come
µ ≡ m − M.
Questo è legato a dL dalle relazioni
µ = 5log 10 dL − 5 −→ dL = 10 1+µ/5
(1.7)
valide se dL è espresso in parsec (pc).
Sebbene, in principio, dalle osservazioni di oggetti cosmici sufficientemente
lontani si potrebbe risalire alla legge di evoluzione a = a(t),
le osservazioni astronomiche consentono al più di determinare i primi
coefficienti dello sviluppo in serie di a(t):
a(t) a0
1 + ˙a0
(t − t0) +
a0
ä0
(t − t0)
2a0
2
, (1.8)
6 La mgnitudine apparente è un’ estimatore della luminosità apparente di un oggetto,
in una caratteristica scala logartitmica tale da far corrispondere ad un aumento di 5
magnitudini un fattore 100 nel decremento di luminosità. Quella assoluta, che dà una
misura della luminosità intrinseca di un oggetto celeste, è semplicemente la m. relativa di
un oggetto convenzionalmente posto nel vuoto a 10 pc di distanza dall’ osservatore.

6 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
visto che esse si riferiscono tipicamente ad oggetti con z

1.2. RELATIVITÀ GENERALE E PRINCIPIO COSMOLOGICO 7
A queste va associata l’ equazione di compatibilità ∇µT µν = 0 (conservazione
dell’ energia-impulso 8 ), che conduce a:
d[(ρ + P)a 3 ]
dt
= ˙
Pa 3 (prima equazione di Friedmann) (1.16)
Dalle due equazioni di Einstein si può ricavare un’ equazione per la sola ˙a:
H 2 ≡
2 ˙a
a
= 8πG
3
k
ρ − (seconda equazione di Friedmann) (1.17)
a2 Anzichè usare la 1.14 e la 1.15, si è soliti usare le due equazioni di Friedmann
(dalle quali è possibile ricavare la 1.14). Perchè il precedente sistema di
equazioni sia chiuso, è necessario fornire un’ altra condizione 9 , di natura
fenomenologica; tipicamente si assegna ”l ’equazione di stato”:
P = P(ρ). (1.18)
Fornita tale equazione, la 1.16, riscritta di solito come:
d(ρa 3 )
da = −3Pa2 ,
consente di determinare l’ evoluzione di ρ (e, quindi, anche di P) in funzione
di a. Molto spesso, si assume che, per una singola specie i, l’ equazione sia
esprimibile nella forma:
Pi
ρi
= wi = γi − 1 = cost. (1.19)
con γi detto esponente adiabatico (relativo alla specie i-esima). Casi tipici
sono:
• Materia o ”Polvere” (particelle non-relativistiche)
Caratterizzata da PNR/ρNR T/m

8 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
• Radiazione (particelle relativistiche)
Caratterizzata da PR = ρR/3, cioè γR = 4/3 da cui
ρR ∝ a −4
(1.22)
(Entra un ulteriore fattore a −1 per il redshift della frequenza e, quindi,
dell’ energia, dovuto all’ espansione).
In presenza di sola radiazione e trascurando la curvatura, il fattore di
scala evolve secondo la legge:
a(t) ∝ t 1/2
(1.23)
• Costante Cosmologica (energia del vuoto)
Le equazioni di E. ammettono che al secondo membro possa essere
aggiunto un termine proporzionale alla metrica (cioè, che si riscali
Tµν → Tµν + Λgµν). ciò equivale ad ammettere la presenza di una
densità di energia del vuoto, ρV , tale che :
da cui
< 0|Tµν|0 >= ρV gµν
Λ = 8πGρV
(1.24)
(1.25)
PV = −ρV (γV = 0) (1.26)
ρV = cost. ∝ a 0
(1.27)
In presenza di sola costante cosmologica e trascurando la curvatura, il
fattore di scala evolve secondo la legge (H è costante):
a(t) ∝ e Ht
(1.28)
La seconda equazione di Friedmann viene tipicamente riscritta in una forma
più efficace introducendo il concetto di densità critica ρc, tale da soddisfare,
per definizione, l’ equazione seguente:
H 2 ≡ 8πGρc
3
(1.29)
E’ chiaro che il termine di curvatura k/a2 risulterà positivo, nullo o negativo
a seconda che sia rispettivamente ρ > ρc, ρ = ρc, ρ < ρc.
Assumendo che l’ energia nell’ universo possa essere separatamente attribuita
a varie specie10 , è opportuna l’ introduzione delle variabili Ωi definite
come
Ωi ≡ ρi
=
ρc
8πG
ρi
(1.30)
3H2 10
Ciò equivale a chiedere che il contributo percentuale dei termini di interazione sia
piccolo, cioè che sia ρ =
i ρi

1.2. RELATIVITÀ GENERALE E PRINCIPIO COSMOLOGICO 9
La geometria spaziale è allora semplicemente data dalla Ω ≡
i Ωi; lo spazio
è ellittico, euclideo o iperbolico a seconda che sia Ω > 1, Ω = 1 o Ω < 1. 11
Talvolta si introduce la variabile Ωk (che può essere negativa):
Ωk ≡ −k
(Ha) 2
(1.31)
assimilabile a quella di una specie con indice adiabatico γk = 2/3; così
facendo, la 2 a eq. di F. si riscrive:
Ω + Ωk = 1 (1.32)
Tipicamente, si utilizza un’ unica equazione, direttamente scritta in termini
delle osservabili cosmologiche principali:
H 2 (z) = H 2
0 Ω
i
0 i (1 + z)3γi 0
+ Ωk (1 + z) 3γk
(1.33)
Introdotte le specie che presumibilmente sono presenti nel nostro universo,
ciascuna caratterizzata da una certa γl, si cerca di determinare H0 e le Ω 0 i
(ricordiamo che Ωk = 1 − Ω) dalle osservazioni.
In tale veste, la 1.12 si può riscrivere:
e
(1 + z)
dL(z) =
H0
z
0
dz ′
i
Ω 0 i(1 + z) 3γi + Ω 0 k(1 + z) 3γk
1 + q0 = 3
(γiΩ
2
i
0 i) + γkΩ 0
k
−1/2
(1.34)
(1.35)
che forniscono le relazioni tra i parametri cinematici e le caratteristiche delle
specie presenti nel cosmo.
Ma qual è l’ attuale contenuto in materia-energia dell’ universo? Senza entrare
nei dettagli della determinazione di tali valori dalle misure effettuate
(si veda [9] per un esempio delle procedure usate), ci limitiamo a notare che
oggi vi è una convergenza di osservazioni che porta a dedurre che 12 :
• il contenuto di specie relativistiche (es, fotoni e neutrini), con γR
4/3, è del tutto trascurabile;
• la curvatura spaziale è compatibile con zero, per cui Ω 1;
• a dominare l’ universo sarebbero:
11 A rigore, ciò è vero solo per le proprietà metriche (locali); le proprietà topologiche
globali non sono, ad esempio, determinabili mediante la sola Ω.
12 Per maggiori informazioni, si possono consultare ad esempio i ref. [10], [11], [12].

10 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
1. una qualche forma di energia oscura, del tipo della costante cosmologica
Λ, con γΛ 0 e Ω0 Λ 0.7;
2. della materia non relativistica M, con γM 1 e Ω0 M 0.3, di
cui circa il 90 % sarebbe non barionica (materia oscura fredda
o CDM ); del restante 10%, il grosso si troverebbe in forma di
materia non luminosa.
Nonostante la cautela sia d’ obbligo, è evidente come questi valori ci presentino
un universo piuttosto ”stravagante”, costituito in gran parte di energia
non visibile e, sostastanzialmente, di natura ignota.
Fortunatamente, per quanto strano possa apparire oggi il cosmo, la positività
di H0 e le equazioni di Friedmann indicano un universo primordiale
molto meno esotico: a causa delle diverse leggi di evoluzione, estrapolando
a tempi sempre più remoti, i contributi alla densità totale di energia
della costante cosmologica (ρΛ ∝ a 0 ), della curvatura (ρk ∝ a −2 ) e della
materia (ρM ∝ a −3 ) crescono meno rapidamente di quello della radiazione
(ρR ∝ a −4 ). Se ne può concludere che vi è stato un periodo della storia
cosmica dominato dal contributo energetico della radiazione (universo caldo
o hot universe) e che, a patto di non spingersi troppo indietro nel tempo, in
tale fase sono applicabili nozioni di fisica ”standard”, come la fisica atomica,
la fisica nucleare e la fisica subnucleare (per una breve cronistoria cosmica,
si rimanda al paragrfo 1.4.). Paradossalmente, le informazioni cosmologiche
in nostro possesso ci inducono a ritenere che la descrizione dell’ universo
primordiale possa essere di gran lunga più abbordabile di quella dell’ universo
attuale! Questo non vuol dire che il cosmo abbia avuto un’ infanzia
tranquilla; anzi, gran parte degli avvenimenti importanti della storia cosmica
sono avvenuti proprio nella fase dominata dalla radiazione e nel prossimo
paragrafo introdurremo il formalismo necessario a descriverli.
1.3 Teoria Cinetica nell’Universo Primordiale
1.3.1 Generalità
La teoria cinetica classica (non quantistica) descrive una o più specie di gas
diluiti di N particelle racchiuse in un certo volume V ; una particella può
considerarsi ”classica” (posizione e impulso ben definiti e separabilità del
sistema in particelle distinte) se la temperatura T è sufficientemente alta
e la densità n ≡ N
V sufficientemente bassa perchè la distanza media l tra i
costituenti del gas sia grande rispetto alla lunghezza d’ onda media termica
di De Broglie λth , che fornisce un’ indicazione della scala su cui la particella
di massa m può considerarsi localizzata.
Quantitativamente, poichè l ∼ n−1/3 e λ = 2π √ , la condizione ξ ≡
2mT λ
l ≪ 1

1.3. TEORIA CINETICA NELL’UNIVERSO PRIMORDIALE 11
si scrive:
ξ = 2π
√ 2mT n 1/3 ≪ 1 (1.36)
Per ora assumeremo che, per le specie di interesse, tale condizione sia ben
verificata; per una verifica esplicita si rimanda al paragrafo 3.4.2
In questa teoria, l’ oggetto fondamentale è la funzione di distribuzione della
specie i-esima fi(r,p,t), definita in modo che fi(r,p,t)drdp sia il numero di
particelle della specie i-esima che, al tempo t, giacciono in un elemento di
volume dr attorno a r e in uno di volume dp attorno a p nello spazio degli
impulsi.
Se Ni è il numero di particelle totale della specie in questione, avremo quindi:
fi(r,p,t)drdp = Ni
e, se la distribuzione spaziale è uniforme nel volume V :
fi(r,p,t)dp = Ni
≡ ni.
V
Da ora in poi, salvo avviso contrario, in questo paragrafo considereremo per
semplicità un sistema ad una specie, omettendo il pedice i in f.
Una f costante nel tempo è, per definizione, una distribuzione di equilibrio;
in questo caso (o, al più, quando la sua variazione è lenta rispetto ai
tempi-scala di interesse) ha senso introdurre le grandezze termodinamiche
per descrivere il sistema. Allora f (1) ≡ f/N, normalizzata ad 1, può essere
usata come distribuzione di probabilità per determinare le variabili termodinamiche
(Energia, pressione, . ..), ”mediando” le variabili dinamiche corrispondenti
(1/2mv 2 ,m|v|,. . .). Nella sezione successiva, applicando tale
teoria all’ universo primordiale, daremo diversi esempi di tale affermazione.
Tuttavia, lo scopo più generale della teoria cinetica è quello di determinare
la distribuzione f una volta assegnato il tipo di interazione esistente tra le
particelle, anche quando questa non sia d’ equilibrio.
A tal fine, bisogna innanzitutto determinare l’ equazione dinamica cui obbedisce
la f (o la f (1) , che è lo stesso); per maggiori dettagli si rimanda all’
appendice B e alle ref. ivi riportate.
L’ equazione in questione si scrive 13
=
dp2
(2π) 3
dp ′
1
(2π) 3
∂ p1
+
∂t m ·∇r + F ext
1 ·∇p1
f (1)
1 =
dp ′
2
(2π) 3 (2π)4 δ (4) (pfin−pin)|Tfi| 2 [f (1)′
1 f (1)′
2 −f(1)
1 f(1) 2
], (1.37)
ed è nota come equazione di Boltzmann o del trasporto ed è anche detta
equazione cinetica; è immediato verificare che si tratta di un’ equazione
13 Per chiarimenti sui simboli usati, si rimanda all’ appendice B.

12 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
integro-differenziale alle derivate parziali (non lineare) per la funzione di
distribuzione f.
Solo in rari casi, ricorrendo a varie approssimazioni, è possibile un trattamento
analitico di tale equazione; più spesso, essa viene studiata numericamente.
Il risultato ottenuto può essere esteso:
• ad un fluido multispecie.
In tal caso avremmo un sistema di equazioni integro-differenziali accoppiate
nelle incognite fi, con i che varia sulle diverse specie.
• a particelle con struttura interna.
Ad esempio particelle con spin e/o stati eccitati.
• al caso di collisioni a 3 o più corpi.
Non presentiamo qui la riscrittura dell’ eq. di Boltzmann generalizzata (ulteriori
dettagli saranno dati laddove se ne esibirà la generalizzazione relativstica),
nè (coerentemente con l’ approccio fenomenologico e multidisciplinare
di tale tesi) entriamo nel merito dei problemi concettuali e tecnici necessari
a giustificare tali passaggi e a chiarirne l’ ambito di validità, rimandando
per ulteriori dettagli alla letteratura specialistica.
1.3.2 Formulazione relativistica e applicazione al modello di
FLRW
Notiamo che l’ equazione di Boltzmann può vedersi come una relazione
operatoriale
ˆL[f] = Ĉ[f] (1.38)
dove ˆ L è l’ operatore differenziale di Liouville e Ĉ è l’operatore integrale
collisionale.
Da quanto detto, nel caso non relativistico si ha:
ˆLclass = ∂ p
+
∂t m ·∇r + F·∇p
(1.39)
Se λ è un parametro affine 14 , nella generalizzazione relativistica avremo 15 :
laddove p µ = Dxµ
Dλ
df
dt = ˆ µ ∂ Dpµ ∂
Lclass −→ p +
∂x µ Dλ ∂p µ
D e con Dλ si è indicata la derivata covariante.
La generalizzazione della seconda legge di Newton è:
(1.40)
Dp µ
= fµ
(1.41)
Dλ
14
Ad esempio, per il modello di FLRW potrebbe scegliersi una variabile proporzionale
al tempo ”cosmico”.
15
Per dettagli sulla teoria cinetica in Relatività Generale e, in particolare, nell’ universo
primordiale, si veda la monografia [16].

1.3. TEORIA CINETICA NELL’UNIVERSO PRIMORDIALE 13
con f µ talvolta indicata come forza ”di Minkowski” e che soddisfa la condizione
f µ pµ = 0.
L’ unico esempio di interazione fondamentale di questo tipo ben inquadrabile
nel contesto non quantistico della GR è quello della forza e.m., per la
quale:
f µ = q F µν pν
dove F µν è il tensore antisimmetrico di Faraday e q la carica elettrica.
Esplicitando la derivata covariante si può scrivere, quindi:
ˆLGR
µ ∂
= p
∂x µ − pαp β Γ µ ∂ ∂
αβ + fµ
∂p µ ∂p µ
(1.42)
dove i Γ µ
αβ sono i coefficienti di connessione affine, mediante i quali la gravità
fa sentire il suo effetto.
Le simmetrie della metrica di FLRW semplificano la struttura del precedente
operatore: vietano l’ esistenza di un campo tensoriale antisimmetrico su
scala cosmologica (F µν = 0) e riducono la f a funzioni di due sole variabili,
come x0 e |p| o, equivalentemente, x0 e p0 (≡ E) 16 .
Sviluppando la 1.42 nelle usuali coordinate ”cosmologiche” si trova:
ˆLGR = E ∂
∂t
˙a ∂
− |p|2
a ∂E
(1.43)
Prima di esplicitare il termine collisionale, è utile riscrivere il membro sinistro
della 1.38 in termini della variabile macroscopica nχ(t), densità numerica
di particelle della specie χ, definita dalla relazione di normalizzazione
seguente:
nχ(t) = gχ
dp
(2π) 3fχ(E,t),
(1.44)
dove si è indicata con gχ la molteplicità di spin della particella in questione.
Partendo dalla 1.38 e usando la 1.44 si dimostra che, se la specie χ interagisse
solo attraverso la reazione χ+a+b+... ←→ i+j+..., varrebbe la seguente
equazione:
= −
dove:
dnχ
dt + 3H(t)nχ
= gχ
dp
(2π) 3 Eχ
Ĉ[fχ] =
dΠχdΠadΠb ...dΠidΠj ...(2π) 4 δ (4) (pχ +pa+pb+... −pi −pj −...)×
× |M| 2 Tot→ fafb ... fχ(1±fi)(1±fj)... −
−|M| 2 Tot← fifj
... (1±fa)(1±fb)... (1±fχ)
(1.45)
16 Ricordiamo che, per ogni specie, E e |p| sono legate tra loro dalla invarianza della
norma del quadriimpulso: p µ pµ = m 2 .

14 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
• dΠh ≡
•
d3ph (2π) 3 2Eh
e, da ora in poi, la produttoria di tutti i fattori
differenziali di questo tipo verrà indicata con dΠT.
|M| 2 Tot→ ≡ |M| 2 , (1.46)
che è la somma dei moduli quadri degli elementi di matrice che governano
il processo di produzione della specie χ su tutti i gradi di libertà
interni delle specie entranti e uscenti 17 . Una grandezza ausiliaria è
|M| 2 Tot→ ≡
cioè |M| 2 mediato su tutti gli stati.
|M| 2 Tot→
gigj ... gagbgχ ...
(1.47)
• |M| 2 Tot← : anologo al precedente 1.46, per la reazione inversa (di distruzione
di χ).
• i segni + e - si riferiscono rispettivamente ai bosoni (emissione stimolata)
e ai fermioni (fattore di occupazione, conseguenza del principio
di Pauli); nel limite classico, i fattori (1±fh) tendono a 1.
Poichè vale la T-invarianza (o microreversibilità), sia per le interazioni e.m.
che per quelle nucleari forti (e, se non si richiede un’ alta accuratezza,
la si può assumere valida anche per quelle deboli), si ha l’ importante
semplificazione:
|M| 2 Tot→ = |M|2 Tot← ≡ |M|2 Tot
(1.48)
che prende il nome di Principio del Bilancio Dettagliato.
1.3.3 Grandezze Macroscopiche ed Equilibrio Termodinamico
Mediante la funzione di distribuzione f si possono definire numerose grandezze
macroscopiche (i.e., integrali). Quelle rilevanti per i nostri scopi sono 18 :
• n µ , densità di corrente di particelle.
n µ
(x,p) ≡ g
f pµ
p0 d3p (2π) 3
A causa dell’ isotropia, la sola componente non nulla risulta:
n 0
≡ n(t) = g
f d3 p
(2π) 3
(1.49)
(1.50)
17 Per semplicità, stiamo assumendo che le particelle iniziali e finali siano diverse; se così
non fosse, dovremmo dividere tali elementi per i relativi fattori di molteplicità Na!, Nb! ,
....
18Per semplcità, si considera una sola specie chimica, omettendo quindi un pedice nelle
formule.

1.3. TEORIA CINETICA NELL’UNIVERSO PRIMORDIALE 15
coerente con la definizione 1.44 data in precedenza. Si noti che l’
omogeneità dello spazio consente di scrivere la n come funzione del
solo tempo cosmologico t.
Indicando con ∇µ l’ operatore di derivata covariante, si può mostrare
che (si veda la monografia [16]):
∇µn µ = 1
a3 d
dt (a3n) (1.51)
da cui si ricava la condizione di conservazione del numero di particelle:
• T µν , Tensore Energia-Impulso.
T µν
≡ g
n a 3 = cost. (1.52)
f pµ p ν
p 0
d 3 p
(2π) 3
Così si ricava l’ espressione della densità di energia ρ:
T 00
≡ g
(1.53)
f p 0 d3p = ρ (1.54)
(2π) 3
e, tenendo conto dell’ isotropia spaziale, quella della pressione P 19 :
T ij ≡ g gij
3
f |p|2
p 0
d 3 p
(2π) 3 = gij P = −δ ij P (1.55)
Le condizioni di Bianchi ∇µT µν = 0 si riducono alla sola equazione
indipendente (I equazione di Friedmann):
• s µ , densità di corrente di entropia.
d
dt (a3 ρ) = −3H(ρ + P). (1.56)
s µ
≡ −g [f log f ∓ (1±f)log(1±f)] pµ
p0 d 3 p
(2π) 3
(1.57)
con i segni superiori e inferiori che si riferiscono rispettivamente a
bosoni e fermioni. Nel limite in cui gli effetti di degenerazione siano
trascurabili si ha f

16 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
del quale, per l’ isotropia spaziale, sopravvive la sola componente:
s 0
≡ s = −g [f log f − f] d3p (2π) 3
(1.59)
che verrà detta semplicemente densità di entropia (per volume comovente).
Dalla equazione 1.59, usando l’ equazione di Boltzmann
(1.38), si ricava:
∇µs µ
∝ −
C[f]log f d3 p
(2π) 3
(1.60)
A rigore, alle precedenti espressioni, si può dare l’ usuale significato termodinamico
solo se il sistema è all’ equilibrio; è quindi opportuno discutere
brevemente il concetto di Equilibrio Termodinamico nel contesto della Teoria
Cinetica.
Formalmente, la funzione di distribuzione feq si dice di equilibrio T.D. se 20 :
ˆL[feq] = 0 (1.61)
Ricordando la struttura del termine collisionale (per semplicità, nel caso
non degenere di un’ interazione binaria), ci aspettiamo che, perchè tale
condizione sia soddisfatta, debba valere la relazione:
o, equivalentemente, la seguente:
feq(p1)feq(p2) = feq(p ′
′
1 )feq(p 2 ) (1.62)
log feq(p1) + log feq(p2) = log feq(p ′
′
1 ) + log feq(p 2 ) (1.63)
Usando la conservazione del quadrimpulso, è facile convincersi che la 1.63 è
soddisfatta dalla:
feq(p,x) = −α(x) − β µ (x)pµ
(1.64)
con α(x) che è un campo scalare e β µ (x) un campo quadrivettoriale di
tipo tempo, perchè la feq deve essere limitata per |p| che tende all’ infinito.
Come già accennato, nel caso di un modello di FLRW, per l’ omogeneità e l’
isotropia, tali campi possono dipendere dal solo tempo t(= x 0 ) e, nell’ usuale
sistema di coordinate, la sola componente 0 di β µ sopravvive; per analogia
con la nota forma della distribuzione di Boltzmann, α si può identificare
con il rapporto tra potenziale chimico e temperatura, α(t) = µ(t)/T(t), e
β 0 ≡ β con l’ inverso della temperatura, β(t) = T −1 (t).
Se si sostituisce la 1.64 nella relazione ˆ L[feq] = 0, si ottiene la condizione:
p µ ∂µα − p α p µ ∂αβµ − p ρ p σ Γ α
ρσ βα = 0 (1.65)
20 Si noti come la condizione di equilibrio sia equivalente ad una condizione di costanza
dell’ entropia, in base alla 1.60.

1.3. TEORIA CINETICA NELL’UNIVERSO PRIMORDIALE 17
che, specializzata al nostro caso, diventa:
˙αE − ˙ βE 2 + β ˙a
a |p|2 = 0 (1.66)
Poichè β(t) = T(t) −1 , si ha ˙ β = 0 e, quindi, la 1.66 si può riscrivere nella
forma:
˙α β ˙a |p|
= E −
˙β ˙β a
2
E
(1.67)
Si può vedere che la condizione ˆ L[feq] = 0, per β µ definito nella 1.64 è nient’
altro che la richiesta di stazionarietà per la metrica: poichè questa condizione
non è in generale soddisfatta, salvo casi particolari l’ universo primordiale
non deve essersi mai trovato in una condizione di equilibrio termodinamico
propriamente detto 21 . In base alla 1.67 le sole ”eccezioni” riguardano i due
casi-limite in cui il fluido cosmico sia costituito:
• da sole specie con E |p| o, addirittura, m = 0 (particelle relativistiche);
in tal caso la 1.67 si riduce a:
che ammette la soluzione:
˙α
E ˙ β
β ˙a
= 1 −
˙β a
˙α = 0 −→ α = cost.
β
˙β
a
= −→ β ∝ a
˙a
da cui T ∝ a −1 e, poichè p E ∝ a −1 , allora βE = costante;
• da sole particelle con E m (particelle non relativistiche); in tal caso,
scrivendo E m + |p|2
2m la 1.67 si riduce a:
˙α
˙β
che ammette la soluzione:
m + |p|2
2m
β ˙a |p|
−
˙β a
2
m
˙α − m ˙ β = 0 −→ α − mβ = cost.
β
˙β
1 a
= −→ β ∝ a2
2 ˙a
da cui T ∝ a−2 e
exp(α − Eβ) = cost.× exp
quindi, poichè |p| ∝ a −1 , si ha β|p| 2 = costante.
− |p(t)|2
2mT(t)
21 Tecnicamente, la condizione enunciata è equivalente all’ esistenza di un vettore di
Killing di tipo tempo, di cui la metrica di FLRW non è dotata.

18 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
In base a quanto detto, il modello cosmologico di FLRW non ammette un
universo in equilibrio T.D.. Tuttavia, ai fini applicativi, si può assumere
con buona approssimazione che, a partire da un qualche momento successivo
al Big Bang, sufficientemente remoto nel tempo da non avere conseguenze
rilevanti sulle osservabili prese in esame, l’ evoluzione dell’ universo possa
considerarsi come un susseguirsi di varie fasi di (diversi) equilibri termodinamici,
con la temperatura T che, limitandosi ad una fase primordiale dominata
da specie relativistiche, varia circa come a −1 .
Ricordando la forma della distribuzione di ”equilibrio” per la specie i-esima
(omettiamo per brevità i pedici ”eq”)
fi(p) =
1
exp ( Ei−µi )±1 Ti
(+ : F , − : B)
(dove F sta per fermioni e B per bosoni), siamo in grado di esprimere le
grandezze termodinamiche caratteristiche, definite dalle seguenti relazioni:
ni = gi
ρi = gi
Pi = gi
d 3 pi
(2π) 3 fi(p) = gi
2π 2T 3 D ± 1,1 (xi,yi) (1.68)
d 3 pi
(2π) 3Eifi(p) = gi
2π 2T 4 D ± 2,1 (xi,yi) (1.69)
d 3 p 2 i
(2π) 3
|p| 2
3Ei
fi(p) = gi
6π 2T 4 D ± 0,3 (xi,yi) (1.70)
< Ei >= ρi
mediante le funzioni D ± ab (x,y) definite come:
e
ni
D ± ∞ v
ab (x,y) ≡
x
a (v2 − x2 ) b/2
exp(v − y)±1 dv
xi ≡ mi
Ti
, yi ≡ µi
;
Ti
(1.71)
Esse non sono, in generale, calcolabili in forma analitica; tuttavia, delle
espressioni semplici possono ottenersi in vari casi-limite:
1. Specie Non Relativistiche (Ti > 1, e, posto v − x ≡ k, si ha: (v 2 − x 2 ) =
(v − x)(v + x) = k(2x + k); mettendo in evidenza le x e trascurando i
termini quadratici in (k/x) si ottiene:
D ±
ab (x,y) 2b/2 x a+b/2 e y−x
∞
0
dke −k
k b/2 + k b/2+1
4a + b
4x

1.3. TEORIA CINETICA NELL’UNIVERSO PRIMORDIALE 19
cioè:
D ± ab (x,y) 2b/2 Γ
2 + b
2
x a+b/2 e y−x
1 +
2 + b
2
4a + b
Specializzando la formula precedente alle grandezze di interesse, si
trova (al prim’ ordine in x −1 = Ti/mi):
ni gi
ni+ − ni− 2gi
3/2
miTi
exp
2π
[1 + (
ρi ni mi
27
8x )]
[1 + ( 15
8x
− mi
− µi
Ti
)] ni
Pi niTi > mi)
Poichè x 0.
T

20 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
• caso non degenere (Ti >> µi e y 0).
Si ha z ≡ e y 1, pertanto Lin(∓z) ∞ l=1
ni κn
ρi κρ
ζ(3) 3
giT
π2 dove si è usata la definizione:
(∓1) l
l n , da cui
i (κn = 3
(F) , 1(B))
4
π2 4
giTi (κρ =
30 7
(F) , 1(B))
8
ni+ − ni− 0
ζ(u) ≡ Lu(1) =
si è sfruttata la proprietà:
∞
l=0
e il fatto che ζ(4) = π4
90
∞
l=0
1
,
(l + 1) u
(−1) l
(l + 1) u = (1 − 2u−1 )ζ(u)
(mentre ζ(3) 1.2021).
• caso debolmente degenere (µi < 0, |µi| < Ti)
Poichè z ≡ ey < 1, può approssimarsi Lin(∓z) ∓z, ottenendo:
ni gi
3 µi
π2Ti exp
Ti
ρi 3gi
4 µi
T
π2 i exp
Ti
ni+ − ni− 2gi 3
T
π2 i sinhµi
T .
In ogni caso, se la specie i-esima è all’ equilibrio, si dimostra che 25 :
si = ρi + Pi − µini
.
Ti
Se con T indichiamo la temperatura della componente fotonica del fluido
che riempie l’ universo, la densità di energia totale si scrive:
ρ = T
4
j
4 Tj gj
T 2π2D± 2,1 (xj,yj) (1.74)
25 Questo risultato è, per esempio, ricavato in [16] (formula (4.17)) dove si mostra anche
che gli scostamenti da tale legge sono quadratici in piccole perturabazioni delle funzioni
di distribuzione di equilibrio.

1.3. TEORIA CINETICA NELL’UNIVERSO PRIMORDIALE 21
e la pressione totale:
P = T
4
j
4 Tj gj
T 6π2D± 0,3 (xj,yj) (1.75)
dove le somme corrono su tutte le specie (ciascuna assunta all’ equilibrio
T.D. a temperatura Tj).
Nell’ universo dominato da specie relativistiche, i fattori esponenziali del
tipo exp(−m/T) sopprimono i contributi dovuti alle specie non relativistiche,
consentendo le approssimazioni 26 :
dove la funzione g∗(T) è definita come
g∗ =
B
ρ π2
30 g∗T 4 3P (1.76)
gi
4 Ti
+
T
7
8
F
gi
4 Ti
T
con le somme che corrono sui soli gradi di libertà relativistici.
In quest’ approssimazione, la densità di entropia totale si può scrivere:
dove si è definito:
s 2π2
45 g∗sT 3 = π4
45ζ(3) g∗snγ
g∗s =
B
gi
3 Ti
T
+
F
7
8 gi
3 Ti
T
(1.77)
coincidente con g∗ solo se tutte le specie relativistiche hanno la stessa temperatura
(i.e., sono all’ equilibrio termico tra loro); dalla conservazione dell’
entropia 27 , abbiamo:
a(T)Tg 1/3
∗s (T) cost. ⇐⇒ 3 da
= −3dT
a T
− dg∗s
g∗s
(1.78)
che può essere usata, insieme alle equazioni di Friedmann, per determinare
la relazione temperatura-tempo.
Infatti, dalla definizione di H deriva:
t − ti =
a(t)
a(ti)
1 da
H(a) a
(1.79)
26 Valide se nessuna delle specie relativistiche è degenere.
27 L’ evoluzione dell’ universo può assumersi essenzialmente adiabatica, salvo che nel
corso di transizioni di fase.

22 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
Nell’ approssimazione data dalla 1.76, la seconda equazione di Friedmann si
scrive:
H(T)
8πG π
3
2
30 g∗T 4 (1.80)
Dalle equazioni 1.78, 1.79 e 1.80 si ricava (ponendo ti = 0 per ai = 0):
45
t = −
4Gπ3 T
0
g −1/2
∗
1 + 1 T
3
g∗s
dg∗s dT
dT T 3
(1.81)
Quando g∗ e g∗s sono approssimativamente costanti (lontano da transizioni
di fase o da temperature prossime alle masse delle particelle, laddove cambia
il numero di specie relativistiche) , la 1.81 si semplifica in:
t(s) 2.42
√ T(MeV )
g∗
−2 ∼ T(MeV ) −2
dove la temperatura è espressa in MeV e il tempo in secondi.
(1.82)
Quanto appena visto si applica ai periodi di equilibrio termodinamico; tuttavia,
è proprio nei brevi periodi di scostamento dall’ equilibrio che si sono
svolti i fenomeni più interessanti della storia cosmica, e la nucleosintesi primordiale
è uno di questi.
Una trattazione rigorosa delle fasi di fuoriuscita dall’ equilibrio T.D. richiederebbe
la risoluzione del set di equazioni di Boltzmann per le varie specie interagenti;
se non si è interessati ai dettagli di questi processi, ma solo al grosso delle
loro conseguenze su fenomeni successivi, è possibile impiegare l’ approccio
euristico e semi-quantitativo che ora illustriamo.
Innanzitutto, approfondiamo il problema del come si instauri, dal punto di
vista fisico, una situazione di equilibrio.
Ebbene, nel caso di un fluido monospecie, il concetto di equilibrio T.D. coincide
con quello di equilibrio cinetico; questo si instaura qualora i processi
diffusivi tra le varie particelle (soprattutto urti elastici) avvengano con un
tasso sufficientemente alto; il sistema assume, allora, un’ unica temperatura,
che lo caratterizza dal punto di vista termodinamico.
In presenza di più specie, la condizione di equilibrio cinetico non è più sufficiente
a garantire l’ equilibrio T.D.; questo è raggiunto solo se le particelle
sono anche in equilibrio chimico, cioè se sono sufficientemente ”attive” le
interazioni che trasformano particelle di un tipo in quelle di altri tipi (es.:
processi di annichilazione, decadimenti, reazioni nucleari, reazioni chimiche,
ecc.); se sussiste, oltre a quello cinetico, anche l’ equilibrio chimico, i potenziali
chimici sono additivamente conservati, cioè, se ciascuno è preso col
segno opportuno,
i µi = 0.
Nelle fasi di fuoriuscita dall’ equilibrio T.D., quello cinetico può essere con-

1.3. TEORIA CINETICA NELL’UNIVERSO PRIMORDIALE 23
servato o meno 28 , ma senz’ altro ci si allontana da quello chimico.
Grossomodo, considerando delle particelle interagenti con un certo rate 29 Γ
che si trovano nell’ universo con tasso di espansione H, un criterio ragionevole
perchè queste raggiungano l’ equilibrio è di richiedere:
Γ ≥ H (1.83)
cioè che esse interagiscano più rapidamente di quanto l’ universo tenda ad
allontanarle l’ una dall’ altra 30 .
Si definisce, quindi, la Temperatura di disaccoppiamento 31 TD (o il tempo
di disaccoppiamento tD) in base alla seguente:
Γ(TD) = H(TD) (1.84)
Ad esempio, durante l’ era della radiazione, dalla seconda equazione di F. e
dalla forma di ρtot si deduce:
H √ GT 2
(1.85)
Su basi dimensionali, per un’ interazione tra particelle relativistiche (v ∼
c = 1) mediata da bosoni a massa nulla, con costante di accoppiamento α
si ha:
Γ =< σ > vn α 2 T −2 T 3 = α 2 T (1.86)
Analogamente, per un’ interazione mediata da un bosone di massa mX, con
un accoppiamento efficace dato da GX = α/m 2 x, per cui < σ > G 2 X T 2 , si
ha:
Γ α2 T 5
m 4 X
(1.87)
A questo punto è un semplice esercizio stimare le temperature di disaccopiamento
per questi tipi di interazione. Dotati di tali strumenti, estrapolando
all’ indietro le attuali informazioni cosmologiche e di fisica fondamentale, si
può provare a tracciare per sommi capi la storia termica dell’ universo primordiale,
nel cui contesto si inquadra la BBN; come annunciato, i momenti
salienti di tale evoluzione sono costituiti da processi di fuoriuscita dall’ equilibrio.
28 Se l’ equilibrio cinetico globale non è conservato, in generale la temperatura del sistema
che si disaccoppia -ammesso che abbia ancora senso attribuirgliene una- evolve in modo
diverso da quella del sistema residuo.
29 Si veda anche il capitolo 2.5
30 Al contrario non è detto che la condizione opposta Γ ≤ H determini la fuoriuscita
dall’ equilibrio del sistema termodinamico che si disaccoppia.
31 Anche detta di freezing delle interazioni responsabili del rate Γ.

24 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
1.4 Breve Storia Termica dell’ Universo Primordiale
• T > 10 19 GeV , (t ≤ 10 −43 s 32 ): Era di Planck.
La Teoria Quantistica della Gravitazione (non ancora disponibile) dovrebbe
giocare un ruolo tanto rilevante da rendere inefficace una descrizione
anche qualitativa dei fenomeni caratteristici. Peraltro, la lunghezza d’
onda termica di De Broglie dei costituenti elementari del cosmo risulta
in tali circostanze superiore alle dimensioni tipiche dell’ universo.
Le condizioni estreme di quest’ epoca costituiscono per ora una sfida
anche alle speculazioni teoriche.
• T ∈ 10 14 ÷ 10 16 GeV , (t = 10 −38 ÷ 10 −34 s): Rottura simmetria GUT.
Probabile termine della Grande Unificazione tra interazioni forti ed
elettrodeboli, supposta da numerose teorie della fisica delle alte energie;
in questo periodo potrebbero essersi svolti processi come l’ inflazione
o la nascita dell’ asimmetria materia/antimateria, senza i quali
l’ universo sarebbe stato molto diverso da quello che oggi conosciamo.
E’ opportuno notare anche che a T > 10 16 GeV , nessuna interazione
nota (o prevista dalle teorie GUT) è in grado di termalizzare l’ universo
che, quindi, potrebbe non essersi trovato all’ equilibrio T.D. durante
le fasi più remote della sua evoluzione.
• T ∼ 3×10 2 GeV , (t ∼ 10 −11 s): Rottura EWS.
E’ l’ epoca alla quale si sarebbe verificata la rottura della simmetria
elettrodebole, con l’ acquisizione di massa da parte di molte particelle
mediante il Meccanismo di Higgs.
• T ∼ 100 ÷ 300MeV , (t ∼ 10 −4 ÷ 10 −5 s): Confinamento Adronico.
Transizione di fase associata alla rottura della simmetria chirale in
cui il plasma di quarks e gluoni quasi-liberi (quagma), ”condensa” in
un plasma adronico. Questa transizione potrebbe rivestire un qualche
interesse per la BBN; a seconda della temperatura a cui è avvenuta
e all’ordine della transizione potrebbero essersi create disomogeneità
locali nella ”composizione chimica” del plasma; i modelli che indagano
tale scenario sono spesso detti di BBN inomogenea.
• da T ∼ 10MeV a T ∼ 10 −2 MeV , (da t ∼ 10 −2 s a t ∼ 10 3 s): BBN.
E’ il periodo che verrà preso in esame più in dettaglio nel capitolo
seguente, al termine del quale è avvenuta la Nucleosintesi Primordiale.
E’, a tutt’ oggi, l’ epoca più remota su cui si possano eseguire test
osservazionali ”diretti” (con i caveat di cui si dirà nel paragrafo 2.6).
32 La scelta delle coordinate è tale che al tempo t = 0 corrisponde (nei modelli che la
prevedono) la singolarità iniziale o ”Big-Bang”.

1.4. BREVE STORIA TERMICA DELL’ UNIVERSO PRIMORDIALE25
• T ∼ 10eV , (t ∼ 10 11 ÷10 12 s): Equivalenza radiazione-materia (ρmat ∼
ρrad).
Da questo momento, la materia assumerà un ruolo sempre più dominante
nell’ evoluzione cosmica.
• T ∼ 1eV , (t ∼ 10 13 s): Disaccoppiamento radiazione-materia.
Formazione di atomi neutri (il fluido cosmico cessa di essere un plasma)
ed emissione della radiazione cosmica di fondo, oggi oggetto di
numerose indagini teoriche e sperimentali.
A partire da quest’ epoca l’ universo tenderà ad allontanarsi definitivamente
dalla condizione di equilibrio termodinamico che ne ha caratterizzato
le fasi primordiali; il principale oggetto di indagine relativo
alle fasi successive è legato all’ evoluzione della straordinaria varietà di
strutture cosmiche, con un’ organizzazione gerarchica complessa, che
oggi si comincia ad indagare con una maggiore sistematicità.

26 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
Figura 1.1: Una rappresentazione pittorica dell’ evoluzione dell’ Universo
(Fermilab photo-archive)

Capitolo 2
La Nucleosintesi Primordiale
Questo capitolo approfondisce la fisica che caratterizza il periodo della storia
cosmica rilevante per la BBN (da T ∼ 10MeV a T ∼ 10 −2 MeV ).
I primi paragrafi sono dedicati ad un’ esposizione semiquantitativa dei principali
processi fisici della Nucleosintesi Primordiale; successivamente vengono
presentate le equazioni che regolano la BBN, con particolare attenzione alle
equazioni cinetiche che descrivono l’ evoluzione delle abbondanze degli elementi;
l’ ultima parte del capitolo riassume gli aspetti osservativi, tenendo
conto dei risultati più recenti.
2.1 Le Condizioni Iniziali
Cominciamo a seguire in maggior dettaglio l’ evoluzione cosmica a partire
dal momento in cui la temperatura T del plasma (costituito da e + /e − , γ,
νx/νx e tracce di barioni) è dell’ ordine di 10MeV ; il plasma è mantenuto
all’ equilibrio cinetico -il che giustifica l’ uso di una stessa temperatura Tdalle
reazioni di scattering elastico e anelastico dovute alle interazioni elettromagnetiche
e deboli. Ciò implica che la densità numerica dei nuclidi sia
data dalla 1.72 1 :
ni gi
miT
2π
3/2
exp
− mi
− µi
T
Per quanto segue, è utile introdurre le grandezze adimensionali:
e
Xi ≡ ni
nB
η ≡ nB
(2.1)
(2.2)
(2.3)
nγ
1
Da ora in poi, riferendoci alle specie non relativistiche, verranno trascurate correzioni
del prim’ ordine in xi = mi/T; alle temperature rilevanti per la BBN, l’ errore risultante
è inferiore allo 0.1%, trascurabile rispetto alle indeteminazioni con cui sono noti i tassi (o
rates) di reazione.
27

28 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
dove nB ≡
i∈nuclidi Ai ni è il numero totale di nucleoni (liberi o legati)
per volume comovente e η esprime il rapporto numerico tra barioni e fotoni;
evidentemente, vale
i AiXi = 1.
Il valore di η[ 2 ] è l’ unica incognita fondamentale della BBN standard. A
posteriori, sappiamo che è un numero molto piccolo, dell’ ordine di 10 −9 ÷
10 −10 3 ; in principio, tale valore dovrebbe essere previsto da una teoria
coerente della Bariogenesi 4 .
A queste temperature le reazioni e.m. e forti a molti corpi tra nuclidi sono
sufficientemente attive da mantenere i barioni anche in equilibrio chimico;
ciò implica che si abbia:
µi = Ziµp + (Ai − Zi)µn
(2.4)
dove µp e µn sono rispettivamente il potenziale chimico dei protoni e dei
neutroni. Dalle equazioni 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4 si ricava:
Xi =
A−1gi 8 A
ζ(3)
π
3/2 3
i T 2
2 mi
(Ai−1)
η Ai−1 Zi Xp X Ai−Zi
n e Bi/T
(2.5)
dove si è introdotta l’ energia di legame del nucleo i-simo Bi 5 . Si noti che,
per stabilire quali siano le specie termodinamicamente favorite, è rilevante
non solo il fattore ”energetico e Bi/T (favorite le specie che hanno un’ alta
energia di legame), ma anche quello entropico η Ai−1 (che sfavorisce i nuclidi
pesanti, essendo η

2.2. FREEZING DELLE INTERAZIONI DEBOLI. 29
dove Qnp = mn − mp 1.29MeV .
Alle condizioni vigenti durante la Nucleosintesi Primordiale, gli elettroni
possono considerarsi in prima approssimazione non degeneri (si veda, comunque,
il paragrafo 3.4.2), per cui e µe/T 1 6 . Un assunto cruciale per la
BBN standard è che i neutrini siano non degeneri, cioè che:
µνe
T

30 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
• Disaccoppiamento dei neutrini, che interagiscono solo per interazioni
deboli, oltre che gravitazionalmente.
Il primo di questi due processi ha un’ importanza fondamentale per la BBN:
in base alla 2.9, se l’ equilibrio chimico n/p permanesse a temperature molto
inferiori a Qnp, la percentuale di neutroni liberi a disposizione per la nucleosintesi
primordiale si ridurrebbe tanto da lasciare un universo essenzialmente
costituito da idrogeno. Il freezing permette, invece, di fissare il
rapporto tra neutroni e protoni al valore:
Xn
Xp
D
e −Qnp/TD 1
∼ . (2.11)
7
E’ questo che consente la sintesi di una quantità significativa di He4.
Il disaccoppiamento dei neutrini ha conseguenze più sottili: l’ aspetto più
rilevante è la sostanziale modifica della relazione temperatura/tempo 1.81,
poichè essi non influenzano più il plasma ”elettromagnetico” di e + /e − , γ e
barioni, se non mediante il loro contributo (gravitazionale) ad H.
D’ altro canto, il disaccoppiamento dei neutrini è di per sè interessante: è
una naturale conseguenza dello SCM che, analogamente al fondo di radiazione
cosmica fotonica di corpo nero a 2.73 K, l’ universo sia permeato
da un fondo di neutrini cosmologici (praticamente imperturbato) di origine
evidentemente molto più antica. Anche se non sembra che sussistano ragionevoli
prospettive di rilevarlo direttamente (almeno a breve termine), è
interessante domandarsi che caratteristiche dovrebbe avere tale fondo. Certamente
quella più significativa è che la temperatura che lo contraddistingue
è diversa dalla temperatura dei fotoni allo stesso ”istante cosmologico”. Diamo
una breve giustificazione di questo fenomeno con un argomento semiquantitativo.
Poichè i neutrini hanno masse molto inferiori al MeV, alla sua formazione
lo spettro sarebbe quello di corpo nero, con una temperatura Tν identica
a quella del plasma di fotoni (T), che evolve come a −1 . Quando, però, la
temperatura scende sotto il valore di me ∼ 0.5MeV , elettroni e fotoni si
allontanano dall’ equilibrio chimico: l’ energia tipica dei fotoni comincia a
essere troppo bassa perchè la creazione di coppie possa competere con il processo
opposto di annichilazione e + /e − ; questo produce fotoni mediamente
più energetici di quelli del bagno termico, riscaldando il plasma elettromagnetico,
ma non i neutrini. In realtà, l’ andamento della temperatura col
tempo è sempre monotòno; è più corretto dire che il plasma si rafredda più
lentamente rispetto alla legge T ∝ a −1 (che Tν continua a seguire).; la differenza
di temperatura tra le distribuzioni dei neutrini e dei fotoni al termine
del processo può essere calcolata semplicemente imponendo la consevazione
dell’ entropia totale (i sta per un istante successivo al disaccoppiamento
ma precedente l’ inizio dell’ annichilazione, mentre f indica una condizione

2.3. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE 31
finale in cui il trasferimento di energia è ormai completato)
s (i) a 3 (i) = s (f) a 3 (f)
e quella dei soli neutrini (che sussiste, essendo la specie ormai disaccoppiata
durante l’ annichilazione e + /e − )
s (i)
ν a3 (i) = s (f)
ν a3 (f)
Queste uguaglianze implicano la conservazione dell’ entropia delle sole specie
”e.m.”; dalla 1.77 si ha:
dove
e
[a(i)T(i)] 3 g e.m.
∗s (i) = [a(f)T(f)] 3 g e.m.
∗s (f)
g e.m.
∗s (i) = 2 + 7
8 4 (g.d.l. γ + g.d.l. e+ /e − )
g e.m.
∗s (f) = 2 (g.d.l. γ).
Poichè per i neutrini vale la legge a(T)Tν = cost. e T(i) = Tν(i), avremo:
[a(i)T(i)] 3 = [a(i)Tν(i)] 3 = [a(f)Tν(f)] 3
da cui si ricava, per il periodo successivo al trasferimento di entropia:
2.3 La Nucleosintesi Primordiale
Tν
T =
1/3 4
. (2.12)
11
Solo quando la temperatura scende a qualche decimo di MeV, mentre l’
annichilazione e + /e − con il conseguente riscaldamento del plasma elettromagnetico
è in corso, la produzione dei nuclei diventa possibile; anche se i
nuclei si mantengono all’ equilibrio cinetico nel plasma (essenzialmente mediante
processi di scattering elastico e anelastico con elettroni e fotoni), i
tassi delle reazioni e.m. e nucleari a molti corpi, a causa della significativa
diminuzione della densità barionica, diventano insufficienti a mantenere l’
equilibrio chimico; durante la fuoriuscita da tale stato di equilibrio le relazioni
2.5 cessano (in generale) di essere valide e ha luogo la Nucleosintesi
Primordiale. Per l’ inefficacia dei processi a molti corpi, questa deve necessariamente
iniziare con la creazione di suffienti quantità di deuterio, che
viene prodotto essenzialmente mediante la reazione p(n,γ)H2; l’ alto numero
di fotoni (η

32 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
cosiddetto ”collo di bottiglia” del deuterio (deuterium bottleneck): si noti
che esso si verifica non solo a causa del basso valore di BH2, ma anche (e
soprattutto) a causa dell’ alta entropia per barione (i.e., η −1 >> 1).
Tra i nuclei leggeri, l’ He4 ha la più alta energia di legame per nucleone
(BHe4/4 7.1MeV ); è ragionevole attendersi che questo risulti alla fine il
principale prodotto della BBN; se assumiamo che tutti i neutroni liberi finiscano
”legati” in una particella α, avremo XHe4(finale) 0.5Xn(TNS) dove
TNS ∼ 0.1MeV è la temperatura alla quale, sostanzialmente, avviene la
Nucleosintesi. A quell’ epoca, a causa del decadimento del neutrone libero,
l’ abbondanza dei neutroni Xn ha subito una diminuzione rispetto a quella,
pari a circa 0.150, che aveva al freezing delle reazioni deboli (attorno a
T ∼ 1MeV ). Se con τn indichiamo la vita media del neutrone, avremo:
Xn(TNS) 0.150e −t(TNS)/τn 0.122, da cui:
XHe4(fin) 0.061
o, equivalentemente, l’ abbondanza in massa 7 finale Yp ≡ 4×XHe4(fin) vale
circa 0.244.
Questa discussione semi-quantitativa è sostanzialmente corretta; tuttavia, il
formalismo utilizzato è troppo grossolano perchè sia possibile descrivere la
dinamica del processo di sintesi dell’ He4, rilevante soprattutto per stabilire
a quanto ammonti l’ abbondanza finale di H2, di He3 (in cui decade anche
quanto resta del trizio) e Li7 (cui il Be7 viene infine convertito per cattura
elettronica); in effetti, è solo a partire da T ∼ 0.080MeV che l’ abbondanza
percentuale dell’ He4 supera quella del deuterio; in base a quanto detto sull’
inefficacia delle reazioni a molti corpi, prima che possa essere sintetizzato
questo nucleo devono potersi formare quantità significative di He3 e, soprattutto,
di H3.
Quando, grossomodo per T ∼ 0.01MeV , la nucleosintesi ha termine, la
componente barionica dell’ universo è sostanzialmente costituita da protoni
(Xp 75 ÷ 76%) e particelle α (XHe4 ∼ 6%), con tracce significative di H2,
He3 e Li7.
Per poter migliorare e aumentare le capacità predittive del modello, è necessario
risolvere (ovviamente in maniera numerica) un complicato sistema di
equazioni integro-differenziali non lineari accoppiate tra loro. Nel paragrafo
seguente presenteremo in maniera sistematica queste equazioni.
2.4 Le Equazioni della BBN
In base alle assunzioni precedentemente fatte, le variabili che descrivono la
dinamica e la termodinamica dell’ universo all’ epoca interessante per la
7 m
In realtà, l’ abbondanza in massa è data da Yp ≡ mHe4XHe4
i m iX i
, che differisce al percento
dalla Yp definita come A He4XHe4 i A . Tuttavia, per motivi ”storici”, sia la previsione sull’
iXi He4 prodotto dalla BBN che le osservazioni vengono usualmente espresse mediante Yp.

2.4. LE EQUAZIONI DELLA BBN 33
Log 10 Xi
0
-5
-10
-15
-20
-25
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10 T9
Figura 2.1: L’ evoluzione delle abbondanze degli elementi nel corso della
Nucleosintesi Primordiale (Grafico ottenuto con l’ ausilio di Mathematica
grazie ad una nuova opzione di output nel programma BBNCODE.)
BBN sono (con ovvio significato dei simboli):
a ,T ,Tν ,µe,µνx ,µi,
con i che corre sui nuclidi e x = e,µ,τ. L’ uso del potenziale chimico
è equivalente a quello della densità numerica di particelle; poichè il decoupling
dei neutrini avviene molto prima della Nucleosintesi, e in questo lavoro
non siamo interessati a descrivere la loro evoluzione, assumeremo la comoda
approssimazione di ”disaccoppiamento istantaneo”: Tν(t) è pari alla temperatura
fotonica sino a quando essa raggiunge il valore di disaccoppiamento
TD = 2.3 MeV 8 ; successivamente, essa è posta pari al suo valore ”asintotico”.
L’ informazione sulla densità numerica di specie neutriniche (più
eventuali altre specie relativistiche X interagenti solo gravitazionalmente al
tempo della Nucleosintesi) è racchiusa nel parametro Nν, implicitamente
definito dall’ equazione:
ρν + ρX = Nν
7
4
π 2
30 T 4 ν
n
p
H2
H3
He3
He4
Li6
Li7
Be7
(2.13)
Gli effetti di un decoupling non istantaneo, cioè di un parziale ”riscaldamento”
della coda della distribuzione neutrinica nel periodo dell’ annichilazione
e + /e − , possono essere parametrizzato da un ∆Nν ≡ Nν − 3 > 0; in questo
lavoro si è usato ∆Nν = 0.040, i.e. Nν = 3.040, che è il valore previsto se
ρX = 0 (si consulti l’ articolo [23], al quale si rimanda per ulteriori dettagli
8 Un’ analisi più accurata dei rates di reazioni deboli rispetto a quella eseguita nel 2.2
indica, infatti, che la temperatura di decoupling sia circa pari a 3.5 MeV per i neutrini
del µ e del τ (che interagiscono solo mediante correnti neutre) e di circa 2.3 MeV per
i neutrini elettronici (che interagiscono anche mediante correnti cariche); variazioni di
TD dell’ ordine del MeV non danno apprezzabili cambiamenti sulle osservabili di nostro
interesse.

34 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
sull’ argomento).
Per quanto detto, le variabili ”residue” sono: a, le µi (o le ni), µe(o ne) e
T. Al posto delle ni (in numero pari ai nuclidi), introduciamo le variabili
relative Xi ≡ ni/nB e la densità numerica barionica totale nB. Infine, la
relazione (monotòna) T = T(t) verrà usata per esprimere le precedenti funzioni
del tempo cosmico t in termini della (più comoda) variabile T.
In quanto segue sono descritte le equazioni di evoluzione per ciascuna delle
variabili a, nB, µe, T; le equazioni di evoluzione delle Xi saranno trattate
in dettaglio nel paragrafo seguente.
L’ equazione per a è semplicemente la seconda equazione di Friedmann:
1 da
a dt =
8πG
3 ρtot . (2.14)
nB evolve in accordo alla conservazione del numero barionico; si applica,
cioè, la 1.52, da cui:
1 dnB da
= −31
(2.15)
dt a dt
nB
che è l’ equazione cercata.
L’ equazione per µe si ricava dalla condizione di neutralità elettrica:
Infatti:
n e − − n e + = np. (2.16)
np =
nuclidi
con qB che è definita, quindi, come:
Inoltre
dove
qB ≡
Zini ≡ nBqB
nuclidi
ne− − ne + = T 3
me
L
T
L(u,v) ≡ 1
π2 ∞
dxx
u
x2 − u2
Quindi avremo:
(2.17)
ZiXi. (2.18)
µe
,
T
1
e x−v + 1 −
1
ex+v
+ 1
(2.19)
(2.20)
nBqB = T 3
me µe
L , . (2.21)
T T
Dalla prima equazione di Friedmann si ricava immediatamente la relazione
temperatura-tempo (per ora solo formale):
dT
dt
da
= −31
a dt (ρem + Pem)
−1 dρem
dT
(2.22)

2.5. EQUAZIONI PER LE XI
dove il pedice em caratterizza le grandezze termodinamiche delle sole specie
accoppiate al plasma elettromagnetico (cioè le sole che contribuiscono al
mantenimento della temperatura T; i neutrini dopo il disaccoppiamento devono
quindi essere esclusi); evidentemente, la derivata totale della densità
di energia rispetto alla temperatura deve essere esplicitata in termini delle
varie specie presenti.
• ρν e Pν
Si applica la 2.13 e la relazione 1.73, con le precisazioni appena fatte.
• ργ e Pγ
Le relazioni trovate per specie relativistiche non degeneri del 1.3.3:
ργ = 2 π2
30 T 4 = 3Pγ
per predizioni sufficientementi accurate, devono essere corrette tenendo
in debito conto la modifica della relazione di dispersione dovuta
agli effetti di temperatura finita (si veda [2], [3]).
• ρe e Pe
Poichè il potenziale chimico elettronico è non nullo (anche se generalmente
piccolo) e durante la BBN la temperatura è dello stesso ordine
di grandezza della massa elettronica, è necessario far ricorso alle relazioni
termodinamiche non-semplificate 1.69 e 1.70. Anche in questo
caso l’ accuratezza richiesta rende inevitabile l’ inclusione della correzione
alla relazione di dispersione dovuta agli effetti di temperatura
finita ([2], [3]).
• ρB e PB
in base a quanto visto nel paragrafo 1.3.3 per specie non-relativistiche
e non-degeneri:
mi + 3
2 T
, PB nBT
Xi
ρB nB Xi
i
A seconda dei casi, quindi, le derivate totali rispetto alla temperatura presenti
nella 2.22 potranno includere anche termini di derivate parziali eseguite
rispetto a µe, nB, Xi, oltre che rispetto alla temperatura T.
2.5 Equazioni per le Xi
Applichiamo, ora, gli strumenti formali introdotti nel capitolo 2 al principale
oggetto di interesse di tale tesi, cioè le reazioni nucleari che intervengono
durante la BBN.
Interessiamoci innanzitutto ad un processo a + b ←→ c + d che includa solo
i
35

36 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
nuclidi non relativistici (Ei mi) e diversi tra loro; se questa è la sola
reazione ad influenzare l’ evoluzione della specie a, possiamo scrivere:
dna
dt + 3Hna
= −
dΠT(2π) 4
δ (4) (pa + pb − pc − pd)|M| 2 Tot (fafb − fcfd) (2.23)
dove dΠi ≡ d3pi (2π) 3 e dΠT ≡
2Ei
i dΠi, e con |M| 2 Tot si intendono i moduli
quadri degli elementi di matrice sommati sugli stati iniziali e finali, come
nella 1.46.
Dalla 2.15 e introducendo la variabile Xa si ha:
da cui:
dXa
nB
dt
= −
1
nB
dna
dt
+ 3Hna
= dXa
dt
dΠT(2π) 4 δ (4) (pa + pb − pc − pd)|M| 2 Tot (fafb − fcfd)
(2.24)
Il vantaggio di questa equazione consiste nel fatto che, passando alla nuova
variabile Xi, si è ”nascosta” la dipendenza da H.
Per quel che segue, è opportuno riscrivere l’ equazione precedente in un’ altra
forma, più usuale; indicando con p fin
T e pin T rispettivamente il quadrimpulso
totale finale e iniziale e posto
si ha
< σv >ij→kl≡ Γil→jk
nB
≡ 1
ninj
dΠT(2π) 4 δ (4) (p fin
T
− pin
T )|M|2 Tot fifj
(2.25)
dXa
dt = Γcd→abXcXd − Γab→cdXaXb. (2.26)
I coefficienti Γ così introdotti sono detti rates di reazione.
Sempre nelle ipotesi precedenti, ma per reazioni con un numero di particelle
iniziali generico Nforw e un non meglio precisato numero di particelle finali,
avremo:
≡
1
ni1 ...niN forw
< σv >i1...iN →...≡
forw Γi1...iN →...
forw
≡
nB
Nforw−1
dΠT(2π) 4 δ (4) (p fin
T
− pin
T )|M| 2 Tot
Nforw
Se sono presenti particelle identiche nello stato iniziale e/o finale, scriveremo
la reazione come:
Na(a) + Nb(b) + ...Nk(k) ←→ Nc(c) + Nd(d) + ... + Nl(l) (2.27)
i=1
fi

2.5. EQUAZIONI PER LE XI
e, quindi:
dXa
dt
=
ia
Xc
Na Γcd...l→ab...k
Nc
Xd Nd
Nc!
Xa
Γab...k→cd...l
Na
Xb
Na!
Nb
...
Nb!
Nd!
...
Nk
Xk
Nk!
Xl Nl
Nl! −
37
(2.28)
dove la somma è estesa a tutte le reazioni in cui è coinvolto (almeno) un
nuclide di tipo a; Na, quindi, ne conta il numero, variabile in generale da
reazione a reazione; tale fattore tiene conto della produzione(distruzione)
”multipla” di nuclidi di tipo a se nella reazione ne è coinvolto più di uno.
Si osservi che, per definizione, le Γ hanno tutte dimensione [t] −1 . Ciò implica
che le < σv > abbiano dimensione [A] ∗[v] ∗[l] 3(k−1) , dipendente dal numero
di nuclidi in ingresso; quindi, in generale, tale grandezza ha solo significato
formale 9 .
Consideriamo ora un altro caso per noi rilevante, in cui sia presente un
fotone; possiamo prendere come esempio la reazione: a + b ←→ c + γ.
Anche in questo caso possiamo scrivere:
dove:
e
≡ 1
nanb
≡ 1
ncnγ
dXa
dt = Γcγ→abXc − Γab→cγXaXb, (2.29)
Γcγ→ab
nBnγ
≡< σv >cγ→ab≡
dΠT(2π) 4 δ (4) (p fin
T
Γab→cγ
nB
dΠT(2π) 4 δ (4) (p fin
T
≡< σv >ab→cγ≡
− pin
T )|M|2 Tot fcfγ
(2.30)
− pin
T )|M|2 Tot fafb(1 + fγ) (2.31)
Mutatis mutandis, si ottengono le corrispondenti espressioni per una reazione
con un elettrone.
Ai fini applicativi, nell’ ambito delle reazioni rilevanti per la BBN, tale formalismo
è pienamente utilizzabile solo per le reazioni deboli che regolano l’
equilibrio p/n (si veda, ad esempio, [2]). Tuttavia, per i restanti processi ”nucleari”,
i decadimenti (i.e. processi ad un corpo) hanno rates (indipendenti
dalla temperatura) ben noti sperimentalmente. Inoltre, tutti i processi a più
corpi di cui ci occupiamo hanno una reazione inversa a due corpi e, come
vedremo nel prossimo paragrafo, grazie al principio del bilancio dettagliato,
basta determinare solo uno tra processo diretto e inverso per conoscere
9 Cioè non sono medie del prodotto di una sezione d’ urto per una velocità.

38 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
entrambi i rates. In definitiva, siamo ricondotti a considerare in maggiore
dettaglio i soli processi a due corpi: a + b −→ ..., per i quali si è soliti
esprimere i rates in termini della sezione d’ urto σ:
dove
< σv >ab= 1
σabvab = (2π)4
4EaEb
na nb
gadpa
(2π) 3
dΠfinδ (4) (p fin
T
gbdpb
σabvabfafb (2.32)
(2π) 3
− pin T )|M| 2
Tot
fin
gi(1±fi)
dove con vab si è indicata la velocità relativa delle particelle reagenti e a e
b possono indicare fotoni, leptoni, nuclidi non-relativistici, ecc. Nel capitolo
seguente e nell’ appendice D si discuterà in dettaglio il problema della determinazione
delle sezioni d’ urto nucleari e dei rates a partire da queste.
Osservazione: in tutti i casi trattati in questa tesi, le distribuzioni di probabilità
fi dei nuclidi usate nel calcolo dei rates di reazione sono approssimate
con quella di Maxwell-Boltzmann, trascurando i potenziali chimici. Quest’
approssimazione equivale a considerare i barioni in equilibrio cinetico col
plasma (il che è ben verificato, visto che le interazioni e.m. con e − /e + e γ
sono sufficientemente intense.) e in condizioni non degeneri (anche questa
ipotesi è ben soddisfatta, come si mostrerà nel paragrafo 3.4.2).
2.5.1 Principio del Bilancio Dettagliato e Applicazioni
Caso1: a + b ←→ c + d
Poichè la sezione d’ urto dipende solo dalle variabili relative, una sostanziale
semplificazione si ottiene passando al sistema del centro di massa 10 :
e, analogamente:
µ
(σv)ab =
3/2 √
cd Q + Ki
16MaMbMcMd (2π) 2 W
gagb
(σv)cd =
µ 3/2
ab
Kf − Q
16MaMbMcMd (2π) 2 W,
gcgd
dove le funzioni (incognite) indicate con W sono identiche nelle due espressioni
come conseguenza del principio del bilancio dettagliato (si veda la 1.48).
Pertanto:
(σv)cd
(σv)ab
=
3/2gagb
µab Ki
µcd
gcgd
Kf
(2.33)
10 Con Ki e Kf = Q+Ki indichiamo rispettivamente l’ energia cinetica relativa nel CM
per i sistemi a+b e c+d, le cui masse ridotte sono indicate rispettivamente con µab e µcd.

2.5. EQUAZIONI PER LE XI
o, equivalentemente:
cioè
σcd
σab
= µab gagb Ki
µcd gcgd Kf
Ancora, la 2.32 si può riscrivere semplicemente come 11 :
∞
< σv >ab= 4π
0
dKi
< σv >ab=
mentre:
∞
< σv >cd= 4π dKf
Q
2Kiµ −3/2
3/2 µab
ab (σv)ab e
2πT
−Ki/T
8 ∞
dKK(µabT
π 0
3 ) −1/2 σab(K)e −K/T
2Kfµ −3/2
cd
3/2 µcd
(σv)cd e
2πT
−Kf/T
39
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
sfruttando la 2.33, passando alla variabile Ki = Kf −Q e ricordando la 2.35,
si trova la relazione cercata:
< σv >cd
< σv >ab
=
3/2gagb µab
µcd
gcgd
e −Q/T
(2.38)
Caso2: a + b ←→ c + γ
In questo caso, nel limite Eγ >> Kc (sempre ben verificato, essendo in
regime non relativistico), la 2.32 per il processo c + γ → ... si scrive
∞
< σv >cγ= 4π
Qcγ
dEγ
(2π)
Eγ 2
π2
3σcγ(Eγ)
ζ(3)T 3
= 1
∞
Eγ
dEγ
2ζ(3) Qcγ
2 1
σcγ(Eγ)
T 3 eEγ/T − 1
1
e Eγ/T − 1 =
(2.39)
In pratica, poichè Eγ ≥ Qcγ e, tipicamente, Qcγ ≥ 1MeV , se ci si interessa
a temperature al più di qualche decimo di MeV, si può adottare l’
approssimazione:
exp[Eγ/T] − 1 exp[Eγ/T],
da cui:
< σv >cγ= 1
∞
Eγ
dEγ
2ζ(3) Qcγ
2
−Eγ/T
σcγ(Eγ)e
T 3
Nella stessa approssimazione di cui sopra, l’ analogo della 2.34 si scrive:
σcγ
σab
= gagb
gc
µabKi
Eγ 2
(2.40)
11 Basta passare dalle variabili a e b a quelle del CM e rel; l’ integrazione su quella del
CM è banale, ricordando la normalizzazione della funzione di distribuzione di Maxwell-
Boltzmann).

40 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
da cui si deduce:
nγ < σv >cγ
< σv >ab
=
MuT
2π
3/2 3/2gagb µab
e
Mu gc
−Q/T
dove, peraltro, nγ < σv >cγ= λcγ e ( MuT
2π )3/2 = 5.94255×10 33 T9 3/2 cm −3
(2.41)
Nei casi di urti a tre o più particelle, la nozione di sezione d’ urto non
ha senso; tuttavia, si dimostrano relazioni tra le < σv > dei rates analoghe
alle 2.38 e 2.41:
Caso 3: a + b ←→ c + d + e
< σv >cde
< σv >ab
Caso 4: a + b ←→ c + d + e + f
< σv >cdef
< σv >ab
=
3/2 3/2 2π MaMbMu gagb
=
e
MuT
−Q/T
2π
MuT
Caso 5: a + b + c ←→ d + e
< σv >de
< σv >abc
=
MuT
2π
Caso 6: a + b + c ←→ d + γ
nγ < σv >dγ
< σv >abc
=
McMdMe
gcgdge
3 3/2 MaMbMuMu gagb
MuT
2π
McMdMeMf
gcgdgegf
e −Q/T
3/2 3/2gagbgc MaMbMc
e
MdMeMu gdge
−Q/T
3 3/2gagbgc MaMbMc
e
MdMuMu gd
−Q/T
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
Nota: Spesso i rapporti tra le masse ridotte vengono approssimati con rapporti
tra prodotti delle masse (ad esempio: µab/µcd → (MaMb)/(McMd));
questo comporta un errore dell’ ordine di Q/Mtot che, essendo le masse dei
nuclei molto maggiori dei Q-valori, risulta trascurabile; per reazioni a tre e
quattro corpi, questa è l’ approssimazione usata nelle formule precedenti e
anche nel codice.
Nei casi precedenti, si è supposto, per semplicità, che le particelle siano
tra loro diverse. Se facciamo cadere tale ipotesi, riscrivendo la reazione nella
forma:
Na(a) + Nb(b) + ... ←→ Nc(c) + Nd(d) + ... si applicheranno ancora le
relazioni riguardanti una reazione a Nforw = Na + Nb + ... corpi iniziali

2.5. EQUAZIONI PER LE XI
che vanno in Nrev = Nc + Nd + ... corpi finali, eseguendo la sostituzione
seguente:
ga −→
ga Na
Na!
41
(2.46)
che tiene conto dello spazio delle fasi effettivamente disponibile per le particelle
in questa situazione.
Osservazione: spesso, nei cataloghi, ad essere forniti come rates diretti Fc e
inversi Rc sono le grandezze che, nella notazione adottata, scriveremmo:
Fc ≡< σv > NA Nforw−1 ,
Rc ≡< σv > NA Nrev−1 ,
dove Nforw(Nrev) ≡ numero di nuclidi della reazione diretta (inversa) e
NA ≡ numero di Avogadro.
Le Γ si ottengono allora come:
e
Γforw = (nB) Nforw−1
Nforw−1 nB
< σv >forw= Fc
NA
Γrev = (nB) Nrev−1 Nrev−1 nB
< σv >rev= FcNA
NA
Nrev−Nforw
Nrev−1 nB
= Rc
NA
< σv >rev
< σv >forw
per reazioni che coinvolgono soli nuclidi mentre, per reazioni con un γ finale,
valgono le formule:
e
Γforw = (nB) Nforw−1
Nforw−1 nB
< σv >forw= Fc
NA
Γrev = (nB) Nrev−1 Nrev−1 nB
nγ < σv >rev= FcNA
NA
Nrev−Nforw
Nrev−1 nB
= Rc
NA
Si osservi che nB
NA
nγ < σv >rev
< σv >forw
ηnγ
= , cioè: NA
nB
NA
= 2ζ(3)η
π2 T
NA
3 =
= 3.3684×10 −6 3 mol
η10T9
cm3 (2.47)

42 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
2.6 Osservazioni Astronomiche delle Abbondanze
degli Elementi
Un’ osservazione diretta delle abbondanze primordiali degli elementi 12 è, a
rigore, impossibile, visto che gli ambienti astrofisici sottoponibili ad analisi
non sono primordiali.
Il modo più naturale per ovviare a tale problema è quello di compiere osservazioni
in sistemi poco evoluti, come possono presumibilmente esserlo
oggetti antichi. Forse ancora più importante è disporre di validi modelli
astrofisici per correggere le osservazioni dagli effetti ”inquinanti” dovuti all’
evoluzione chimica cosmica, alle quali ci riferiremo genericamente-sebbene
in modo talvolta improprio-come ”Galactic Chemical Evolution”, o GCE.
A parte il caso dell’ He4, un’ ulteriore dificoltà nelle determinazioni delle
abbondanze deriva dalla scarsità delle specie rilevanti rispetto ad H e He4,
che dominano la composizione chimica degli ambienti astrofisici.
2.6.1 Deuterio
I processi di fusione termonucleare in corso negli ambienti stellari non possono
che distruggere il deuterio, che è un nuclide molto ”fragile”. Rilevando
H2 allo stato atomico 13 si dovrebbero porre quindi dei limiti inferiori all’
abbondanza primordiale.
L’ abbondanza di deuterio è stata misurata nel mezzo interstellare locale
(ISM) e in vari oggetti del sistema solare; nel primo caso si è ottenuto
XH2 = (1.5±0.2)×10 −5 ; nel secondo si è potuto dedurre un valore pre-solare
pari a XH2 = (2.6±1.5)×10 −5 , in entrambi i casi con una significativa dispersione
dei dati attorno al valore medio.
Pur disponendo dei precedenti ”lower limits” all’ abbondanza primordiale,
da qualche anno si sta consolidando il ruolo di un metodo in principio molto
affidabile per determinare un’ abbondanza quasi-primordiale del deuterio,
proposto già da Adams nel 1976: si tratta di osservare lo spettro di assorbimento
delle righe Lyman-α[ 14 ] da parte di nubi d’ idrogeno neutro (HI)
poste tra noi e un quasar (oggetto ad alto redshift e, quindi, molto antico).
Tali nubi hanno metallicità 15 molto basse (inferiori all 1% di quella solare),
12 Le abbondanze degli elementi vengono determinate mediante analisi spettroscopiche
e, tipicamente, vengono fornite in termini di rapporto di densità numerica rispetto all’
idrogeno, cioè nx/nH; per semplicità di notazione, in questo paragrafo si indicherà quindi
con Xx il rapporto nx/nH anzichè nx/nB.
13 Se si misura il peso di H2 rispetto ad H in composti molecolari come DHO o DCO,
si trovano valori tipicamente più alti, a causa di effetti chimici di accumulazione isotopica;
non sempre è facile apportare ai dati le opportune correzioni.
14 Con questo nome si indica la riga di transizione dal primo livello eccitato a quello
fondamentale nell’ atomo di idrogeno, che cade nel vicino ultravioletto.
15 Con questo nome, si indica il contenuto percentuale in ”metalli” cioè, nel gergo astronomico,
di elementi con Z ≥ 3); si ritiene che particolari nuclidi, come Fe56 e O16,

2.6. OSSERVAZIONI ASTRONOMICHE DELLE ABBONDANZE DEGLI ELEMENTI43
per cui mediante un fitting del profilo di assorbimento della riga si può stimare
il valore primordiale di XH2.
Purtroppo, solo una piccola percentuale dei QSO osservati (qualche percento)
è candidata a tale metodo 16 . Basandosi sui dati di 5 dei 6 QSO
in cui è stato determinato XH2, una stima recente ([40]) porge XH2 =
2.78 +0.44
−0.38 ×10−5 . Questa stima va considerata con molta cautela: infatti si
manifesta una significativa dispersione dei dati attorno al valore medio che
potrebbe essere dovuta tanto ad una sottostima dell’ errore 17 quanto all’
aver trascurato eventuali effetti evolutivi ”locali” del rapporto XH2.
Ad esempio, si ritengono del tutto trascurabili i processi di tipo stellare intercorsi
tra la formazione di strutture e l’ epoca cui risalgono tali nubi di
gas e che avrebbero potuto ridurre il valore di XH2.
Inoltre, non è da escludere che singoli campioni di gas primordiale possano
aver subito un arricchimento in deuterio dovuto a meccanismi di produzione
”esotici” (i.e., non stellari). Fra quelli proposti (si veda [41] e ref.), i più
plausibili sembrano essere quelli che invocano processi di fotodistruzione o
di spallazione dell’ He4 [ 18 ].
Nel primo caso, i principali canali di produzione sarebbero:
mentre nel secondo:
γ + He4 → H2 + H2, γ + He4 → n + p + H2
p + He4 → He3 + H2;
in entrambi i casi, una produzione di deuterio dell’ ordine di 1×10 −5 si
accompagnerebbe ad una sovrapproduzione di isotopi più pesanti, come
Li6 (fotoproduzione e spallazione) e Li7 (spallazione); in particolare, poi,
dovrebbe essere prodotto He3 in quantità paragonabili o maggiori (per la
fotoproduzione) a quelle di deuterio. E’ quindi opportuno analizzare il ruolo
di questo nuclide nell’ ambito della BBN.
siano prodotti solo nella fusione termonucleare delle stelle e, sucessivamente, dispersi o espulsi
violentemente nel mezzo interstellare; la loro abbondanza è quindi un indicatore del
grado di ”processamento” del materiale stellare e, quindi, della sua anzianità; essa viene
tipicamente espressa come [X] = Log10(X/X⊙), con X = nN, nO, nSi, nF e,. ..oppure
X = XN, XO,. ..e il simbolo ⊙ indica il valore solare).
16 I parametri essenziali di tali sistemi sono: il redshift z, il parametro Doppler b e
la densità di colonna N(HI): z è chiaramente un indicatore di distanza; b, che ha le
dimensioni di una velocità, esprime grossomodo la larghezza di riga, cui contribuiscono
sia i moti termici (bth = 2T/m) che quelli turbolenti (bturb); la densità di colonna ha
le dimensioni dell’ inverso di un’ area ed esprime l’ integrale lungo la linea di vista del
numero di particelle per unità di volume. solo sistemi con valori sufficientemente alti di
N(HI) sono idonei a determinare XH2.
17 Si consulti ad esempio il [40] per avere un’ idea della serie di passaggi necessari per
estrarre XH2 a partire dai dati, molti dei quali poggiano su conoscenze empiriche e/o su
modelli astrofisici non privi di incertezze.
18 Questi, infatti, pur se attribuiti talvolta a processi non-standard, invocano
semplicemente sorgenti di γ o di p energetici, che non mancano certo nell’ Universo!

44 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
2.6.2 Elio-3
Nell’ evoluzione chimica stellare, l’ He3 viene sia sintetizzato 19 che distrutto
20 ; qualitativamente, il bilancio netto dovrebbe essere positivo nelle
stelle poco massive, in cui è rilevante il bruciamento incompleto dell’ H
in He4, mentre in stelle massive (che bruciano in maniera efficiente il loro
combustibile nucleare) ci si aspetta una complessiva diminuzione della sua
abbondanza; risulta quindi complicato tracciare uno schema della sua storia
evolutiva senza ricorrerere a modelli astrofisici piuttosto dettagliati.
Tuttavia, in assenza di processi evolutivi diversi dalla fusione termonucleare
”stellare”, l’ osservabile XH2+XHe3, nei vari ambienti astrofisici, assume un
valore minore o uguale rispetto a quello appena successivo alla BBN, visto
che entrambi i nuclidi sono soggetti a ”depletion” stellare e che la produzione
di He3 avviene a discapito della distruzione di deuterio. Se si vuol tener
conto di processi ”esotici” come quelli descritti nel paragrafo precedente,
tale conclusione potrebbe non essere più vera: ciononostante, il rapporto
XHe3/XH2 risulta ancora un’ osservabile significativa, visto che dovrebbe
risultare sempre maggiore o uguale al suo valore primordiale.
Misure dell’ abbondanza relativa di He3 sono state ottenute in campioni
meteoritici del sistema solare, nell’ ISM, in nebulose planetarie e in sacche
galattiche di idrogeno ionizzato (HII). Recentemente sono stati ottenuti
nuovi dati relativi a queste regioni (si veda [42]) per un range di metallicità
[XO] ∈ (−0.6;0.2); sembrano presenti indizi di una certa indipendenza di
XHe3 (stimato pari a (1.1±0.2)×10 −5 ) ripetto alla metallicità che potrebbero
essere indice di un valore quasi-primordiale. Il ristretto range di metallicità
indagato, le persistenti incertezze sulla GCE dell’ He3 e l’ esperienza con
l’ enigmatico ”Spite plateau” nel Li7 invitano alla cautela (si consulti a tal
proposito il [43]), anche se gli autori del [42] ritengono che il valore da loro
trovato sia un ragionevole upper limit dell’ abbondanza primordiale di He3.
Ad ogni modo, un miglioramento quantitativo e qualitativo di misure di
questo tipo potrebbe quantomeno costituire un’ importante input per numerosi
modelli di GCE ([43]).
2.6.3 Elio-4
L’ abbondanza in massa osservata dell’ He4, dell’ ordine del 25%, ha costituito
storicamente la prima forte prova a favore di un’ origine primordiale di
tale nuclide (si veda il ragionamento semi-quantitativo svolto nel paragrafo
19
Attraverso il processo H2(p,γ)He3 e, negli ambienti sufficientemente ricchi di
deuterio, anche via H2(d,n)He3 e H2(d, p)H3.
20
Mediante la reazione He3(He3,2p)He4 (chain I del ciclo pp) e, in misura minore,
attraverso la sintesi del Be7: He4(He3,γ)Be7 (chain II e chain III del ciclo pp); negli
ambienti sufficientemente ricchi di deuterio, anche via He3(d,p)He4.

2.6. OSSERVAZIONI ASTRONOMICHE DELLE ABBONDANZE DEGLI ELEMENTI45
2.3) e, quindi, di un modello di ”Hot Big-Bang” 21 .
Poichè l’ He4 è il principale prodotto della fusione termonucleare stellare, ci
si attende che la frazione in massa di questo nuclide (analogamente a quella
dei ”metalli”) aumenti passando da stelle antiche ad oggetti via via più evoluti.
Per misurare la sua abbondanza (quasi)primordiale, si sfruttano allora
delle regioni HII di idrogeno ionizzato in ambienti di metallicità molto bassa
(come le Blue Compact Galaxies, BCG), misurando l’ intensità delle righe
di ricombinazione HeII → HeI (elio da una volta ionizzato a neutro) ed
eseguendo infine una regressione lineare a metallicità zero.
Una valida stima dei parametri cosmologici a partire da Yp (per la cui
definizione si rimanda al 2.3) richiede un’ accuratezza del percento; sebbene
gli errori statistici quotati risultino spesso inferiori, il contributo degli errori
sistematici può essere stimato a diversi punti percentuali! Nel determinare
la Yp dalle intensità di riga osservate, infatti, sono necessari numerosi passaggi
per tener conto del ”reddening”, dell’ assorbimento interstellare, dell’
emissività di HeI e HI, della densità e della temperatura elettroniche, ecc.,
ciascuno dei quali fa ricorso a modelli astrofisici e porta con sè dei possibili
errori sistematici (si veda a tal proposito il [47]).
Metodi, modelli e campioni diversi conducono così a stime diverse e incompatibili
entro gli errori statistici dichiarati:
• In [46], usando un campione omogeneo e ricorrendo ad un metodo
autoconsistente per la determinazione della densità elettronica ne, si
determina: Yp = 0.244±0.002
• In [45], combinando un campione di dati più ampio ed eterogeneo
ed usando i dati sullo zolfo ionizzato SII per dedurre ne, si valuta:
Yp = 0.238±0.002; si noti pure che un’ analoga analisi dei soli dati
di [46] porge: Yp = 0.239±0.002; nello stesso lavoro il contributo dei
sistematici è stimato pari a ±0.005.
Va osservato come il principale responsabile per la discrepanza tra le due
stime sembri essere il diverso metodo usato per determinare ne.
Importanti strategie che si stanno perseguendo per ridurre i sistematici sono:
• Ridurre la disomogeneità del campione, concentrando le analisi su
classi omogenee di oggetti (come le BCG).
• Ottimizzare i modelli astrofisici necessari ad estrarre la Yp, ”calibrandoli”
sul tipo di sistemi osservati.
• Valutare quanto più possibile in maniera auto-consistente l’ entità dei
vari effetti legati ai sistematici; ciò richiede in particolare di estendere
21 Solo negli anni 70 si fece strada in maniera piuttosto convincente che quella primordiale
fosse l’ ipotesi più ragionevole anche per l’ origine del deuterio; si veda [44].

46 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
le osservazioni a più righe (sensibili ai vari fattori in gioco) e, quindi,
di ottenere spettri con un alto rapporto segnale/rumore.
E’ importante sottolineare come una determinazione non ambigua dell’ abbondanza
dell’ He4 avrebbe un notevole impatto sulla determinazione dei
parametri cosmologici che entrano nella BBN e, in particolare, di Nν.
2.6.4 Litio-7
Lo studio di questo nuclide ha rappresentato e rappresenta tuttora uno degli
aspetti più enigmatici (ed eccitanti) connessi alla nucleosintesi primordiale.
Esistono numerosi meccanismi astrofisici associabili alla sintesi di Li7: in
particolare, i più promettenti sembrano essere quelli di spallazione da parte
di raggi cosmici e il processo-ν associato agli eventi di supernova di tipo
II 22 ; d’ altro canto, negli ambienti stellari, il Li7 (distrutto mediante la
reazione Li7(p,α)He4 già a T ∼ 2.5×10 6 K) può sopravvivere solo negli
strati esterni di stelle sufficientemente calde, in cui sono trascurabili i moti
convettivi che rimescolano gli strati superficiali con quelli profondi.
Pertanto, le prime osservazioni del Li7 erano del tutto inaffidabili per sondare
la sua abbondanza primordiale: da meteoriti, ISM e alcune stelle di
popolazione I si può stimare XLi7 2×10 −9 , mentre nell’ atmosfera solare
XLi7 ∼ 10 −11 .
Tuttavia, quando nel 1982 Spite e Spite ([52], [53]) misurarono l’ abbondanza
di Li7 in un campione di stelle di PopII dell’ alone galattico 23 , trovarono,
almeno per le stelle di metallicità più basse e di masse maggiori, un valore
costante entro gli errori (si veda il grafico 2.2): l’ interpretazione più ovvia
di questo Spite Plateau (la cui esistenza venne poi confermata da successive
osservazioni) è che, laddove la temperatura fotosferica è sufficientemente
alta, il meccanismo convettivo non è attivo per le regioni stellari esterne,
che espongono così un valore quasi-primordiale (vista l’ anzianità di queste
stelle) e pressochè costante, proprio come previsto dalla teoria della BBN
(anche l’ ordine di grandezza osservato per XLi7 sembrava confermare tale
congettura).
Prima di utilizzare le abbondanze osservate per confermare o smentire
la SBBN, è tuttavia necessario un confronto quantitativo con le previsioni
teoriche, che sono affette da incertezze signficative (∼ 30% ad 1 σ) derivanti
dall’ incompleta conoscenza delle sezioni d’ urto rilevanti; fatto ancor più
grave, i meccanismi di GCE (cui il Li7 è molto sensibile) e, in particolare,
i dettagli del rimescolamento fluidodinamico in atto in tali stelle (peraltro
”peculiari”) non sono ancora molto chiari; numerosi modelli stellari prevedono
dei fattori di depletion del Li7 superficiale significativi, una dipendenza
22 si veda il paragrafo 2.6.5
23 Con metallicità di 1 o 2 ordini di grandezza inferiore a quella solare e masse da 0.6 a
1.1 volte quella solare.

2.6. OSSERVAZIONI ASTRONOMICHE DELLE ABBONDANZE DEGLI ELEMENTI47
Figura 2.2: Lo ”Spite Plateau” nelle osservazioni del Litio
di XLi7 dalla metallicità e una certa dispersione rispetto al valore centrale 24 .
Anche dal punto di vista osservativo, esistono discrepanze sul valore medio
osservato, sulla dispersione dei dati attorno ad esso (stimata significativa
nel [51]) e anche sul trend del Li7 con la metallicità (osservato ad esempio
in [54]). Uno dei motivi che rendono difficile la misura del Li7 è che la sola
segnatura rilevata è il doppietto risonante del LiI a 670.8 nm, asimmetrico e
non risolto (si fittano i profili di riga per determinare un’ ”ampiezza equivalente”,
EW). Inoltre, esso è particolarmente debole non solo a causa della
scarsa abbondanza del litio, ma anche per il fatto che esso è presente quasi
esclusivamente nella forma una volta ionizzata (LiII > 99.7%); nel ricavare
l’ abbondanza del nuclide 25 , questo introduce un’ estrema sensibilità dalla
scala di temperatura adottata.
Fra le osservazioni più recenti, citiamo quelle di Bonifacio e al. ([56] e [55]) e
Bonifacio ([57]): in [57], analizzando i dati di dodici stelle di turn-off (TO)
dell’ ammasso globulare NGC 6397 con [XFe] = −2.03±0.02, hanno trovato
A(Li7) = 2.34±(0.056)stat±(0.06)sys, con l’ errore sistematico derivante da
un’ incertezza stimabile in ±80K nella calibrazione della scala di temper-
24 Lo status attuale della modellistica delle stelle di popII è piuttosto complesso e variegato;
grossomodo, col raffinamento dei modelli (inclusione di effetti rotazionali, diffusivi,
di graziente chimico, ecc.) le drastiche previsioni iniziali sembrano almeno in parte ridimendionate:
alcune previsioni recenti per il fattore di depletion e di dispersione dei dati
attorno al valore medio sono, anzi, in buon accordo col valore migliore ottenuto dalla
BBN. Si vedano, ad esempio: [48], [49], [50].
25 Tipicamente essa viene fornita nella forma: A(Li) = Log10XLi7 + 12, la cui unità è
detta dex.

48 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
ature; questo valore è in ottimo accordo con quello ricavato dalle stelle ”di
fondo” in [55], A(Li7) = 2.317±(0.014)stat±(0.05)sys; in [57], un’ analisi simile
sul campione dell’ ammasso globulare M92 (con [XFe] −2.0) usato in
[56] porge un analogo risultato (A(Li7) = 2.36); in tutti i casi, non vi è una
stringente evidenza di dispersione attorno al valore migliore; le incertezze
sono, però, tali da non potersi escludere completamente uno scattering anche
di ±0.1 ÷ 0.2, analogo a quello previsto in recenti modelli teorici. Quando
sarà operativa la nuova generazione di spettrografi a media risoluzione come
l’ ESI al telescopio di 8 m del Keck o come l’ AVES per il VLT (per ora
solo proposto), si potrà giungere ai limiti di una risoluzione completa del
doppietto del Li o, quantomeno, a misurare in maniera accurata le EW,
migliorando di molto la qualità dei dati.
2.6.5 Altri Nuclidi
Una caratteristica piuttosto generale delle abbondanze osservate in vari ambienti
astrofisici è la scarsità degli elementi Li-Be-B, non solo rispetto ai
nuclidi con A ≤ 4, ma anche rispetto a quelli con A ≥ 12. Ad esempio,
valori tipici del sistema solare sono:
XLi = 2.0×10 −9 , XBe = 2.5×10 −11 , XB = 7.0×10 −10 [ 26 ],
mentre
XC = 3.5×10 −4 e XO = 8.5×10 −4 .
Questa proprietà è certamente legata all’ alta energia di legame per nucleone
di He4 e C12 e all’ assenza di nuclidi stabili con A = 5,8. Tuttavia, da
qui a spiegare i valori trovati per le abbondanze di Li-Be-B, i loro rapporti
isotopici e le peculiari dipendenze dalle caratteristiche chimiche del sito astrofisico
di rilevamento, il passo non è breve. D’ altra parte, proprio queste
caratteristiche li rendono preziosi indicatori dei meccanismi di evoluzione
chimica stellare e galattica.
La conoscenza sperimentale sulle loro abbondanze può essere riassunta nell’
elenco seguente:
• XBe e XB sono proporzionali a XFe.
• XLi/XBe < 100 fino a [XFe] = −1
• XB/XBe = 10 ÷ 30
• XB11/XB10 = 4 (alla nascita del sistema solare)
• XLi7/XLi6 = 12.5 (alla nascita del sistema solare)
• XLi7/XLi6 20 e XLi6/XBe9 = 20 ÷ 80 ad una metallicità di circa
[XFe] = −2.3.
26 I rapporti isotopici locali XLi7/XLi6 = 12.5 e XB11/XB10 = 4 sono stati misurati con
eccellente precisione nei campioni meteoritici.

2.6. OSSERVAZIONI ASTRONOMICHE DELLE ABBONDANZE DEGLI ELEMENTI49
Una proprietà che accomuna tali nuclidi è la loro ”fragilità”; nelle fornaci
termonucleari stellari, essi vengono distrutti a temperature relativamente
basse: 2, 2.5, 3.5, 5.3 e 5 milioni di Kelvin rispettivamente per
Li6,Li7,Be9,B10eB11; questo richiede l’ introduzione di meccanismi di
sintesi peculiari per spiegarne le abbondanze 27 .
L’ unico nuclide per il quale è quasi universalmente riconosciuta un’ origine
primordiale è il Li7, di cui si è già parlato. Successivamente alla BBN, la
sua evoluzione è influenzata da vari possibili processi di sintesi: per quelli di
tipo ”stellare”, ricordiamo la sua produzione nella fase di AGR (Asymptotic
Giant Branch), nelle novae e nel processo ν nelle supernovae di tipo II 28 ;
fra i processi di spallazione dovuti ai raggi cosmici (CRN), che sono ritenuti
globalmente il meccanismo di produzione privilegiato degli elementi Li-Be-
B, gli isotopi del litio sono i soli a poter essere prodotti mediante reazioni
α + α (nei vari canali: Li7 + p, Be7(→ Li7) + n, Li6 + H2 e Li6 + n + p),
potenzialmente già attive in ambienti a metallicità zero.
Il Li6 è l’ unico altro nuclide per il quale, al momento, non è da escludersi
un significativo contributo primordiale (anche nella SBBN), a causa della
grossa incertezza nella sua principale reazione di sintesi, He4(d,γ)Li6[ 29 ].
Recenti ossevazioni riportano un rapporto XLi6/XLi7 0.05 30 a metallicità
[XFe] = −2.3 rilevato in due stelle dell’ alone galattico, HD84937 e
BD26 ◦ 3578 31 ; quand’ anche il valore primordiale di Li6 non fosse rilevabile,
osservazioni del genere (specie se estese a metallicità inferiori) avrebbero comunque
un notevole peso per la BBN: ad esempio, potrebbero essere usate
per porre limiti al tasso di distruzione di Li7 nelle stelle di PopII (rafforzando
l’ ipotesi di un’ origine quasi-primordiale dello Spite Plateau, si veda
[61]) o al contributo di processi non standard alla sintesi di H2 (si vedano i
paragrafi 2.6.4 e 2.6.1).
L’ opinione corrente è che il Be9, il B10 e il B11 siano stati principalmente
sintetizzati per spallazione dei nuclidi C12, N14eO16 mediante i p e gli α
dei raggi cosmici 32 . Un altro candidato alla produzione (almeno parziale)
del B11 è il processo ν su nuclei di C12 nelle SNII. Questo, insieme alle
difficoltà sperimentali di rilevare lo shift isotopico distintivo del B10 dal B11
su righe già di per sè poco intense, rende particolarmente spinoso lo studio
27 Per una presentazione dello status di conoscenze sull’ origine e l’ evoluzione di Li-Be-B,
si veda [60], cui si rimanda anche per la ricca bibliografia.
28 Il canale principale è la dissociazione dell’ He4 in He3 + n o H3 + p da parte di un
νx, ¯νx (tipicamente x = µ, τ) con successiva cattura radiativa di He3 e H3 da parte di He4.
29 Si veda [58].
30 La SBBN predice tipicamente XLi6/XLi7 ∈ [10 −4 ;10 −2 ].
31 Inutile dire che tali misure sono molto difficili: lo splitting isotopico dell’ unica riga
del litio rilevabile ammonta a circa 1.6×10 −2 nm che, a causa dell’ agitazione termica, si
manifesta semplicemente come un allargamento anomalo dell’ ampiezza di riga del Li7,
sensibile al rapporto XLi6/XLi7; sono necessari spettri ad alta risoluzione e con un grande
rapporto segnale/rumore per avere una segnatura sperimentale ragionevolmente certa.
32 Ovviamente questi processi contribuiscono anche alla produzione di isotopi del litio.

50 CAPITOLO 2. LA NUCLEOSINTESI PRIMORDIALE
dell’ evoluzione del boro e, soprattutto, del rapporto XB10/XB11 33 .
Il Be, invece, è monoisotopico e viene prodotto solo per spallazione, risultando,
così un importante ”tracciante” (anche se presente in quantità minori).
Purtroppo, la SBBN è di poca utilità per le previsioni delle abbondanze del
Be9, B10 e B11 34 (e viceversa!); tuttavia, come nel caso del Li6, la comprensione
dettagliata dei loro meccanismi evolutivi potrebbe essere sfruttata
per chiarire quelli del Li7 (si veda ancora il ref. [61]).
La produzione primordiale di nuclidi con A ≥ 12, invece, è del tutto irrisoria
rispetto alla successiva sintesi stellare: mentre questa può contare su alte
densità e tempi lunghi perchè si possa produrre C12 mediante la reazione a
tre corpi 3He4 → γ +C12, la BBN è un processo molto rapido e, in aggiunta,
la densità della materia barionica è molto inferiore a quella degli interni
stellari.
E’ doveroso ricordare, però, che in modelli non standard come la BBN
inomogenea sono previste abbondanze finali di nuclidi con A > 8 tipicamente
molto maggiori, con una ”via verso il carbonio” aperta essenzialmente
mediante catture neutroniche, come:
He4(t,γ)Li7(n,γ)Li8(α,n)B11(n,γ)B12 β−
→ C12.
In queste teorie, per alcune regioni dello spazio dei parametri si possono
avere produzioni di elementi come il Be9 o il B11 in percentuali considerevoli
(> 10 −12 ); in tal caso, la loro osservazione in sistemi di bassa metallicità può
essere usata per porre limiti anche stringenti a teorie alternative.
33 Lo stesso problema è presente per le determinazioni del rapporto XLi6/XLi7
34 Le abbondanze osservate sono di molti ordini di grandezza superiori a quelle previste.

Capitolo 3
Cenni di Astrofisica Nucleare
Interrompiamo per ora la descrizione dell’ universo primordiale per introdurre
i concetti di fisica nucleare che risultano fondamentali per la BBN,
così come per molti problemi di fisica stellare e cosmica.
3.1 Richiami di Fisica Nucleare
E’ noto che le particelle suscettibili di interazione forte (talvolta indicate
come s.i.p., Strong Interacting Particles), almeno in condizioni non ”esotiche”
(cioè a T e densità sufficientemente basse, come quelle incontrate
negli ambienti fisici descritti in questa tesi), si presentano nella forma nucleare,
che ne costituisce la fase stabile.
Eccezion fatta per l’ idrogeno, il cui nucleo è costituito da un solo protone,
i nuclei sono sistemi di protoni e neutroni, legati tra loro dall’ interazione
residua della forza di colore tra i quark (e i gluoni) che li costituiscono;
questa interazione residua è detta forza (nucleare) forte e presenta alcune
analogie con la forza molecolare, che è l’ interazione residua della forza elettromagnetica
tra elettroni e nuclei atomici.
Tuttavia, la derivazione della forza nucleare da principi primi risulta molto
più complicata che nel caso molecolare: solo in tempi relativamente recenti
si sono fatti alcuni passi avanti; di fatto, in quasi ogni ambito della Fisica
Nucleare si assume nota l’ interazione tra nucleoni, la cui forma è dedotta
dagli esperimenti, in maniera analoga a come quella e.m. fu dedotta dalle
esperienze di Coulomb e altri.
Il problema fondamentale della Fisica Nucleare resta quello tradizionale di
descrivere le caratteristiche statiche e dinamiche dei nuclei (vedi sezioni 3.1.1
e 3.1.2)a partire dalle interazioni dei protoni e neutroni costituenti (chiamati
genericamente ”nucleoni”). Anche nella sua formulazione tradizionale e nonrelativistica,
il problema della fisica nucleare e’ estremamente complesso: si
tratta di un problema a molti corpi fortemente interagenti tra loro, con interazioni
in principio non limitate a soli operatori a due-corpi.
51

52 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
Già la costruzione dell’ hamiltoniana nucleare costituisce un problema non
banale; la soluzione del conseguente problema agli autovalori e’ a dir poco
proibitiva.
Fortunatamente, alcune proprietà nucleari (forte repulsione a breve range,
principio di esclusione di Pauli...) ”cospirano” in modo da consentire una
soddisfacente descrizione di molti aspetti della struttura nucleare (proprietà
statiche) in termini di un modello a shell, in cui l’ effetto globale e medio
dell’ interazione percepita da ogni nucleone nel nucleo può essere espresso
mediante una somma di operatori di energia potenziale ad un corpo Ui[ 1 ];
a questi va aggiunto un termine ”perturbativo” di interazione residua Vres,
essenzialmente dominato dalle interazioni binarie tra nucleoni 2 .
Nonostante i notevoli successi, tuttora modelli semi-fenomenologici (come
quello a goccia) risultano preferibili per comprendere alcune proprietà ”collettive”
nucleari.
Le difficoltà con la descrizione dei processi nucleari (proprietà nucleari dinamiche)
sono ancora maggiori: una buona approssimazione si ottiene considerando
i nuclidi interagenti come ”sistemi elementari” di massa, spin e
parità ben definita, ciascuno descritto da una funzione d’ onda a molti corpi,
da dedurre con calcoli di struttura nucleare. L’ interazione tra questi ha
tipicamente una grossa componente di scattering elastico, mentre una parte
relativamente piccola del flusso incidente viene assorbita da altri canali (diffusione
anelastica e reazioni propriamente dette). Tenendo anche presente l’
efficacia del modello a shell nucleare, è ragionevole descrivere l’ interazione
del ”sistema ridotto” dei due nuclidi con un potenziale efficace e complesso,
per tener conto degli effetti di assorbimento. Questa descrizione va sotto
il nome di modello ottico; per stabilire come il flusso assorbito venga distribuito
nei vari canali (e prevedere così le sezioni d’ urto dei vari processi)
bisogna ricorrere a modelli più specifici.
Una breve panoramica dello status attuale delle tecniche impiegate nel trattare
tali problemi è presentata nei paragrafi seguenti.
La complessa natura dei fenomeni nucleari spiega il ruolo insostituibile che l’
indagine sperimentale assume in tale campo; nel caso dell’ Astrofisica Nucleare,
poi, in cui l’ interesse è rivolto tipicamente a scale di energia inferiori al
MeV (anche di diversi ordini di grandezza), le tecniche sperimentali devono
essere spinte al limite per misurare processi molto rari.
Una trattazione anche sommaria delle tecniche usate in tale campo esula
dagli scopi di tale tesi; per chi sia interessato ad un’ introduzione a tale argomento
(con accenni anche a nuove tecniche che presto potrebbero migliorare
1 In principio calcolabile con un metodo autoconsistente come quello di Harthree-Fock,
ma spesso scelto in base a considerazioni fenomenologiche eødi semplicità matematica. Si
noti, inoltre, che questa interazione dovrebbe essere non locale per soddisfare la condizione
di antisimmetrizzazione.
2 La componente dominante di queste interazioni è invece trattata esattamente nell’
ambito dei cosiddetti modelli a superfluido; si veda, ad es., il testo [24]

3.1. RICHIAMI DI FISICA NUCLEARE 53
qualitativamente e quantitativamente il database sperimentale) si rimanda
al capitolo 5 della Ref. [30].
3.1.1 Proprietà Statiche dei Nuclei
Le proprietà statiche, che caratterizzano un nucleo ”isolato”, si riducono
essenzialmente alle seguenti grandezze: carica elettrica (Z), massa (mnuc),
energia di legame (Bnuc), raggio (R), momento angolare (J), parità (π),
momento di dipolo magnetico (µm), momento di quadrupolo elettrico3 (Qel),
energia degli stati eccitati (Enuc i ). Rimandando per dettagli ad ogni buon
testo introduttivo di Fisica Nucleare4 , mi limito a ricordare che:
• La carica elettrica (in unità di cariche positroniche) coincide con Z =
numero atomico= numero di protoni costituenti. Analogamente, se
A = numero atomico di massa= numero di protoni + numero di neutroni,
si può definire N =numero di neutroni= A − Z. Il modo usuale
per indicare un nucleo è A Z XN, se con X si intende il simbolo chimico
dell’ elemento corrispondente. Poichè due soli tra Z (equivalente a X)
A e N specificano univocamente il nuclide (i.e., nucleone o nucleo) corrispondente,
ne deriva che tale notazione è fortemente ridondante; per
brevità si adotterà la notazione XA. Nei casi particolari A = 1,Z = 1
e A = 1,Z = 0 userò rispettivamente i simboli p e n. La tradizionale
notazione nucleare (d per H2, t per H3, τ per He3, α per He4) verrà
spesso usata per concisione nei simboli delle reazioni nucleari (tipo
X(a,b)Y ).
• La massa nucleare mnuc, viene determinata indirettamente a partire
dalle masse atomiche 5 (misurate sperimentalmente) secondo la
relazione:
mat = mnuc + Zme − Be(Z) (3.2)
dove me =massa dell’ elettrone, Be = energia totale di legame degli
elettroni atomici. Poichè me 0.53MeV e col modello di Thomas-
Fermi si trova Be 15.7Z 7/3 eV , tali correzioni sono di fatto trascurabili
per le altre approssimazioni adottate.
3 E’ noto che il momento di dipolo elettrico si annulla perchè le interazioni dominanti
tra i nucleoni, quella forte ed e.m., sono invarianti per parità.
4 Ad esempio si può consultare il ref. [18] o il [19].
5 In generale, ad essere tabulati sono i ”Mass Excess” atomici in unità energetiche
definiti come:
Λat ≡ (mat − Amu) (3.1)
dove mu = unità di massa atomica = 1
12 mC12
at = 1.66×10 −24 g = 931.50 MeV. I valori de
iMass Excess usati in questo lavoro di tesi sono quelli tratti da [109].

54 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
• L’ energia di legame Bnuc è definita come Bnuc ≡ −∆mnuc, dove:
∆mnuc ≡ mnuc − Zmp − Nmn
(3.3)
Che sia ∆mnuc < 0 è dovuto al fatto che un nucleo è energeticamente
Figura 3.1: Bnuc/A vs. A
più stabile dell’ insieme dei suoi nucleoni. Il grafico in Fig. 3.1 mostra
che i nuclei vicini al ferro hanno le più alte energie di legame per nucleone
Bnuc
A . Come conseguenza dell’ andamento mostrato, dell’ energia
nucleare può essere liberata o combinando nuclei leggeri (rispetto al Fe)
a formare nuclei più pesanti (processo di fusione nucleare) o scindendo
nuclei pesanti (rispetto al Fe) in nuclei più leggeri (processo di fissione
nucleare) 6 . Per inciso, nelle stelle il primo dei due è la principale sorgente
di energia.
• I nuclei, eccezion fatta per alcuni casi (es., lantanidi e/o nuclei lontani
dalla ”valle di stabilità”), hanno una forma grossomodo sferica, caratterizzata
da un raggio R la cui dipendenza da A è ben descritta dalla
legge empirica R = R0A 1/3 , con R0 1.3fm.
3.1.2 Proprietà Dinamiche Dei Nuclei
Le proprietà dinamiche dei nuclei, legate ai meccanismi di base delle interazioni
tra nucleoni e/o gruppi di nucleoni legati (es.: particelle α), sono
necessarie alla comprensione e descrizione dei processi di decadimento radioattivo
e delle reazioni nucleari.
In tutti i casi, le grandezze più rilevanti nella descrizione del processo sono:
6 Si osservi che B
m ∼ 0.1 −1%, che è un fattore di conversione di massa in energia molto
alto.

3.1. RICHIAMI DI FISICA NUCLEARE 55
• Il Q-valore della reazione, cioè l’ energia liberata per singola reazione.
Si può definire un Q-valore atomico 7 :
Qat ≡
e un Q-valore nucleare:
Qnuc ≡
Nforw
i=1
Nforw
i=1
m at
Nrev
i −
j=1
m nuc
Nrev
i −
j=1
m at
j
m nuc
j
(3.5)
(3.6)
(NOTA: In entrambi i casi le somme corrono sui soli nuclidi reagenti
o prodotti). La relazione tra i due è chiaramente fornita da:
Qat = Qnuc +
Nforw
−
i=1
Nforw
i=1
Nrev
Zi −
j=1
Zj
Nrev
Be(Zi) − Be(Zj)
j=1
Se non intervengono leptoni, vale: Nforw
i=1 Zi = Nrev
j=1 Zj, da cui:
me
(3.7)
Qat = Qnuc + ∆Be Qnuc. (3.8)
L’ ultima eguaglianza è valida solo se ∆Be i1...il→... .
In base alla definizione di r, è chiaro che, nel caso dei decadimenti,
vale semplicemente
r = ni < σv >,
7 Si noti che, poichè il numero barionico è conservato, Qat può scriversi direttamente
in termini dei ”Mass Excess”:
Qat =
Nforw
i=1
AiΛi −
Nrev
AjΛj. (3.4)
j=1

56 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
con < σv > che non dipende da T, ma è pari a 1/τ. Fra quelli di nostro
interesse, fanno eccezione i soli decadimenti di cattura elettronica,
per i quali, ovviamente, 1/τ = [ne < σv >] (la vita media è costante
rispetto alla temperatura T solo se lo ”stato” della materia è fissato) 8
e r = ni[ne < σv >]. La vita media è spesso determinabile sperimentalmente
e/o teoricamente con discreta accuratezza.
• La potenza specifica ɛ = Qr è una grandezza derivata talvolta utile, ed
esprime l’energia liberata per unità di tempo e di volume dalla reazione
in esame.
Come annunciato nel capitolo precedente, tutti i processi cui siamo interessati
sono, in almeno un verso, reazioni a due corpi 9 . In queste condizioni,
per determinare la funzione < σv > (T), è sufficiente conoscere la sezione d’
urto σ, che, come noto, rappresenta anche un’ area ”efficace” di interazione.
Da un punto di vista geometrico, assimilando i 2 corpi a sferette ”inerti” di
raggi R1 e R2, la σ classica corrispondente risulta pari a
σ = π(R1 + R2) 2 πR0 2 (A1 1/3 + A2 1/3 ) 2
(3.9)
che, per Ai ∈ [1,238] varia da 0.2 a 4.8×10 −24 cm 2 . Questo giustifica l’ introduzione
del barn (simbolo b), con 1b ≡ 10 −24 cm 2 come unità di misura
tipica delle σ nucleari.
Ovviamente, i nuclei non sono ”sferette inerti”: anzi, vari fattori contribuiscono
a far sì che la σ acquisti una dipendenza (spesso complicata) dall’
energia E. Bisogna infatti tener in conto che:
1. a causa delle loro dimensioni, i nuclei sono oggetti prettamente quantistici;
questo comporta che l’ analogo dell’ area combinata efficace sia
assimilabile a:
σ ∼ π
2 λ
= π ,
k2 2π
dove λ è la lunghezza d’ onda di De Broglie associata al sistema; ad
esempio, per 2 particelle massive avremo:
da cui
λ = 2π
µ1,2vrel
=
σ(E) ∼ π
2µE
2π
2µ1,2ECM
(3.10)
(3.11)
8 Analogamente, per le reazioni di fotodistruzione, si definisce la vita media per
fotodissociazione τγ del nuclide mediante la relazione 1/τγ = [nγ < σv >].
9 Ovviamente, questi sono i soli a poter essere sperimentalmente studiati.

3.1. RICHIAMI DI FISICA NUCLEARE 57
2. Le reazioni avvengono perchè ”mediate” da un qualche tipo di interazione
(forza nucleare forte, forza elettromagnetica o forza debole); i
dati in tabella 3.1, tutti relativi a10 ELab pr = 2.0MeV , mostrano chiaramente
che l’ ordine di grandezza della sezione d’ urto dipende fortemente
dal tipo di interazione.
reazione σ (b) interazione
N15(p,α)C12 0.5 nucleare forte
He3(α,γ)Be7 10 −6 elettromagnetica
H1(p,e + ν)H2 10 −20 debole
Tabella 3.1: Rolfs, pag.139
3. Ulteriori effetti, come la presenza della barriera coulombiana e/o di
quella centrifuga, entrambe repulsive, sopprime enormemente la sezione
d’ urto a basse energie (ECM < 1MeV ).
Spesso σ(E) è fortemente decrescente al diminuire dell’ energia, il che rende
difficoltosa se non adirittura impossibile la determinazione sperimentale di
tali funzioni (ad es., nel terzo caso in tabella, per il quale tuttavia esistono
stime teoriche affidabili).
E’ opportuno aggiungere che, in generale, le σ(E) non sono ottenibili da
principi primi (i.e., dalla Teoria Quantistica dei Campi); anche laddove ciò
sia possibile (”direttamente”, come nel caso delle reazioni deboli p/n, o
”indirettamente”, facendo ricorso alla Teoria Chirale, come nel caso della
p + n ←→ γ + H2), le previsioni diventano significative solo se integrate
dalla conoscenza sperimentale di parametri non fondamentali (come τn[ 11 ],
vita media del neutrone, e σp−thn di cattura di n termici).
Quindi, il ricorso ai dati sperimentali risulta indispensabile per la determinazione
delle σ(E). D’ altra parte, si dà spesso il caso che i modelli più o
meno ”fenomenologici” della Fisica Nucleare Teorica debbano sopperire ad
una conoscenza empirica incompleta: a dispetto dei notevoli sforzi e delle
grandi conquiste sperimentali degli ultimi anni per misurare grandezze molto
”elusive”, il ricorso alla teoria è necessario quantomeno nei seguenti casi:
10
Nei pedici, il proiettile sarà abbreviato con pr, così come il bersaglio sarà indicato con
t(target).
11
Ovviamente, la vita media del neutrone può essere prevista mediante la teoria V-A
delle interazioni deboli; tuttavia, nella previsione compaiono alcuni parametri dipendenti
da effetti non perturbativi dell’ interazione tra i quarks, come i contributi di alcune
correzioni radiative (inner corrections) e il rapporto delle costanti di accoppiamento assiale
(GA) e vettoriale (GV ) del neutrone, per determinare i quali bisogna ricorrere a dati
sperimentali (per maggiori dettagli, si veda ad esempio [2]).

58 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
1. Estrapolazioni ad energie molto basse (regioni spesso rilevanti per le
applicazioni astrofisiche), laddove le difficoltà tecniche rendono molto
carente l’ informazione sperimentale.
2. Determinazioni di σ(E) per nuclei lontani dalla valle di stabilità nucleare.
3. Influenza delle condizioni di laboratorio sulle misure nucleari eseguite
(ad esempio, estrazione degli effetti nucleari veri e propri dai dati
empirici, spesso ”inquinati” dallo screening atomico).
4. Influenza delle condizioni astrofisiche di interesse (non accessibili all’
indagine sperimentale) sui tassi previsti (ad esempio, effetti di termalizzazione
dei nuclidi e cosiddetta correzione SEF).
Per chiarezza, quindi, sarà bene riportare una breve esposizione delle principali
idee e tecniche teoriche coinvolte nello studio di tali fenomeni.
In generale, sulla base dei diversi meccanismi fisici responsabili delle σ(E)
si è soliti scrivere
σ(E) = σDI(E) + σCN(E) + σINT(E) (3.12)
dove DI sta per reazione diretta, CN per nucleo composto e INT per interferenza.
La questione di quale meccanismo presieda ad una determinata
reazione dipende dalla reazione considerata, dalle energie relative nei canali
di ingresso e uscita, dal numero di livelli per intervallo di energia del sistema
proiettile+bersaglio (cioè, indirettamente, dall’ energia alla quale si
sta analizzando la σ).
In linea di principio, ogni reazione chiama in causa tutti i meccanismi 12 ; comunque,
per certe reazioni e per certe energie del proiettile un meccanismo
può risultare di gran lunga dominante. Nelle sezioni seguenti illustreremo le
caratteristiche principali di ciascuno dei termini della 3.12.
Una suddivisione fenomenologica, spesso adottata, è quella tra σris(E) e
σnon−ris(E), dove con non-risonante si intende una σ che varia dolcemente
con l’ energia e per risonante una σ che presenta grosse variazioni in piccoli
intervalli di E.
Una ulteriore suddivisione da fare è quella tra risonanze isolate e fitte: si
parla di risonanze isolate se la spaziatura tra livelli ammissibili successivi
di CN è molto maggiore della larghezza delle risonanze, mentre se tale condizione
non è soddisfatta, le risonanze sono dette fitte. Ai fini del calcolo
analitico dei rates di reazione, è opportuno classificare a loro volta le risonanze
isolate in strette, larghe e di sottosoglia.
Ulteriori precisazioni sul significato di tale classificazione saranno dati nel
paragrafo 3.2.
12 Talvolta, anche tipi intermedi, come le cosiddette reazioni precompound. Più correttamente,
i modelli di cattura diretta e di nucleo composto vanno considerati come due
semplificazioni estreme dell’ esatto meccanismo di reazione.

3.1. RICHIAMI DI FISICA NUCLEARE 59
Reazioni di Nucleo Composto (CN)
In questo modello si assume che, in caso di reazione, il proiettile penetri
completamente nel nucleo dove, a causa della forte interazione nucleare,
esso interagisce ripetutamente, distribuendo ai vari nucleoni l’ energia di
eccitazione. Evidentemente, queste reazioni procedono in due o più stadi,
cioè in primis con la formazione di un nucleo composto (CN) a partire
dalle particelle interagenti, che in un secondo momento decade nello stato
finale delle particelle uscenti (il che può accadere in varie fasi). Poichè
questi processi eccitano molti gradi di libertà dei nucleoni nel CN, hanno
tempi di reazione caratteristici ”lunghi”, dell’ ordine di ∼ 10 −20 ÷ 10 −16
secondi; processi in due step saranno descritti da due elementi di matrice
: < CN|HformCN|in >, che presiede alla formazione del Nucleo Composto
e < fin|Hdecay|CN >, che governa il decadimento del nucleo così formato;
quindi
σ ∝ | < fin|Hdecay|CN > | 2 | < CN|HformCN|in > | 2
Ne segue che processi del genere avvengono solo se esiste un CN la cui
formazione è consentita a partire dalle proprietà delle particelle entranti
(Energia, Spin, Parità) e che possa decadere nello stato finale richiesto.
Perchè questo accada, devono essere soddisfatte le seguenti ”regole di selezione”:
1 Detto QCN il Q-valore della formazione dello stato di nucleo composto,
l’ energia Ein dello stato iniziale delle particelle entranti è legata alle
energie Er di stati (fondamentale o eccitati) del CN dalla relazione:
Ein = Er − QCN. (3.13)
Questo implica che la reazione di CN abbia una sezione d’ urto significativa
solo attorno a valori dell’ Ein che soddisfano la condizione
3.13 (Ricordiamo che l’ energia di un livello è affetta da una certa indeterminazione
∆ER ≡ ΓR = ¯h/τ = 1/τ, dove τ è la vita media dello
stato).
In compenso, se tale condizione è soddisfatta, il contributo del termine
risonante è, tipicamente, quello dominante. E’ anche immediato capire
che la densità di livelli nucleari (abbreviata in NLD) è una grandezza
di notevole rilevanza nella valutazione di tali sezioni d’ urto.
2 Detti j1 e j2 gli spin delle particelle in ingresso, l il loro momento
angolare orbitale e J il momento angolare totale del CN, deve aversi:
j1 + j2 + l = J,
che è l’ usuale regola di somma (quantistica) dei momenti angolari.

60 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
3 La conservazione della parità richiede che sia soddisfatta la relazione
seguente (con π(j) si indica la parità della particella il cui spin è j,
espressa come +1 o -1):
(−1) l π(j1)π(j2) = π(J)
Per loro natura, le reazioni di CN sono responsabili delle risonanze strette
(isolate o fitte), con larghezze tipiche di 1÷100 eV. L’ entità di tali ampiezze
è determinata dal tempo ”lungo” coinvolto nella formazione e successivo
decadimento del CN. Inoltre, le code delle risonanze vengono spesso incluse
insieme alla componente di DI a formare la parte non-risonante della σ.
Laddove non sia possibile isolare le singole risonanze (tipicamente ad alte energie),
si utilizza spesso il modello di Hauser-Feshbach (HF) per le previsioni
teoriche (si veda 3.2.4); nel limite di energie basse, le risonanze divengono
separabili e via via più isolate: in tale range il modello di HF riproduce per
la σ la tipica forma di Breit-Wigner e le previsioni vengono eseguite con
tecniche analoghe a quelle illustrate nel paragrafo 3.2.3.
Reazioni Dirette (DI)
Un processo costituito da una transizione diretta da uno stato iniziale ad
uno finale è detto di Reazione Diretta (DI).
Si tratta di un processo ”a singolo stadio”, in cui
σ ∝ | < fin|Htrans|in > | 2
cioè esso coinvolge un solo elemento di matrice, governato dall’ operatore
di ”transizione” H; questo modello assume che, nella reazione, il proiettile
ecciti solo pochi gradi di libertà nucleari (spesso uno solo, e.g. di singola particella
o collettivo del nucleo); la reazione ha un tempo tipico ∼ 10 −22 ÷10 −21
secondi, corrispondente al tempo impiegato dal proiettile ad attraversare il
nucleo (molto minore dei tipici tempi di CN)
Tipicamente, processi come la cattura radiativa, lo stripping (o trasferimento),il
pick-up, lo scambio di carica hanno un rilevante contributo di DI. Fra
i più importanti vi sono senz’ altro quelli di cattura radiativa, in cui un
proiettile a (p, n, d o α, nei casi di nostro interesse), incide su un nuclide
”bersaglio” X comportandosi come un’ onda piana ”distorta”; nel portare
il sistema in uno stato stazionario finale Y emette un fotone, in maniera
analoga ad un processo di bremsstrahlung atomico. Sottolineiamo che le DI
sono spesso trascurabili se nello stesso range coesistono contributi di CN,
ma che ad energie molto basse (ad es.: E ≤ 0.1MeV ) possono costituire il
termine dominante nella sezione d’ urto.

3.1. RICHIAMI DI FISICA NUCLEARE 61
Nel calcolo teorico di tali sezioni d’ urto, si possono spesso trattare perturbativamente
gli effetti degli operatori responsabili del meccanismo di reazione.
Esistono essenzialmente due approcci: quello microscopico e quello di potenziale.
Nelle teorie microscopiche (come il ”Resonating Group Method”, RGM)
per ricavare le funzioni d’ onda dei nuclei coinvolti in una reazione e la forma
della loro interazione ”effettiva”, si usano modelli a molti nucleoni, che
includono ab initio l’ antisimmetrizzazione e si ottengono complicati potenziali
efficaci altamente non-locali che governano il processo; questo metodo
richiede estesi calcoli analitici senza carattere sistematico nel passare da
una reazione ad un’ altra e una enorme potenza di calcolo; una maggiore
sistematicità e una più facile adattabilità all’ approccio numerico si ottiene
con procedure affini, come il GCM (Generator Cohordinate Method), in
cui le funzioni d’ onda rilevanti vengono sviluppate in una base gaussiana,
che oggi è il metodo più usato per calcoli microscopici. Spesso queste tecniche,
che si adattano bene a nuclei leggeri ed hanno il vantaggio di non
contenere parametri liberi, si rivelano insoddisfacenti nelle previsioni accurate
di grandezze di notevole interesse applicativo in astrofisica (energie di
risonanza, soglie, ecc.), tanto che talvolta si procede a ”rinormalizzazioni”
delle previsioni sulla scorta delle informazioni empiriche disponibili.
L’ altro approccio diffuso è quello semi-fenomenologico dei PM (Potential
Models); in tale ambito, si descrive la dinamica dei processi nucleari mediante
un’ equazione di Schrödinger con opportuni potenziali ottici locali
efficaci per i canali di ingresso e di uscita della reazione; la loro parte reale
viene tipicamente ottenuta con una procedura di convoluzione (folding) del
tipo:
V (R) = λ
ρ(r)veff(E,ρ, |R − r|)dr
dove R è la distanza tra i centri di massa dei due nuclei, ρ è la densità
nucleare (derivata dagli esperimenti e/o dalla teoria), veff è un potenziale
nucleone-nucleone dipendente dall’ energia, dalla densità e dalla distanza, di
natura semi-fenomenologica; λ è una costante di normalizzazione. Questo
modello può ottenersi dalle teorie microscopiche nel limite in cui si trascurino
l’ antisimmetrizzazione degli stati e i termini di ”scambio” nell’ interazione;
queste approssimazioni sono compensate fittando i vari parametri
liberi, come λ e quelli che entrano nella definizione di veff, in base ai dati
sperimentali (ad esempio di diffusione). Questo approccio è stato applicato
alla descrizione dello scattering elastico (Optical Model: OM), alle reazioni
di trasferimento (Distorted Wave Born Approximation: DWBA) e a reazioni
di cattura (Direct Capture: DC).
Questi processi danno il principale contributo alla σnon−ris, poichè in genere
possono avvenire ad una generica energia del ”proiettile” e la σ ha una dipendenza
dolce da E. Tuttavia le DI sono anche responsabili delle cosiddette
risonanze di potenziale (anche dette di singola particella), che si caratteriz-

62 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
zano per la loro larghezza (tipicamente da 10 keV a qualche MeV); queste
costituiscono tipiche ”risonanze larghe”.
Cenni agli Effetti di Interferenza
Sinora si è sostanzialmente supposto che la σ sia dovuta ad un solo meccanismo.
E’ ovvio che, in generale, in ogni reazione saranno all’ opera sia
processi di DI che di CN e questi ultimi a loro volta relativi a più risonanze,
più o meno fitte, ecc.
Spesso, in prima approssimazione, si può suddividere il range energetico di
interesse in varie parti, in ciascuna delle quali a dominare è un singolo processo;
in tal caso una discreta stima teorica della σ(E) si ottiene sommando
i vari contributi nei vari ranges. Concettualmente, tuttavia, tale approccio
è errato: la meccanica quantistica è lineare nelle ampiezze di transizione,
non nei loro moduli quadri; sommando semplicemente i vari termini stiamo
perdendo gli effetti di interferenza tra i vari processi.
Questi non sempre risultano trascurabili: un esempio è la reazione:
N15(p,γ)O16,
importante nel ciclo CNO stellare e inclusa anche in molti codici di BBN.
Grazie alle misure effettuate, abbastanza ”fitte”, e ad una serie di calcoli
teorici, si è visto come l’ inclusione dell’ interferenza tra due risonanze con
Jπ = 1− (a ELab pr = 328 e 1028keV ) e tra le loro code e la componente
di DI è necessaria per far tornare l’ accordo tra previsioni ed osservazioni
sperimentali (per ulteriori dettagli, vedi Ref. [30] p.369-370).
Tutto ciò per sottolineare come un’ esiguità di dati e/o previsioni teoriche
poco accurate possano non di rado introdurre errori sistematici significativi
nelle interpolazioni e/o estrapolazioni ai range energetici interessanti nelle
applicazioni.
3.2 Calcoli Analitici di Sezioni d’ urto e Tassi di
Reazione
3.2.1 Reazioni non-risonanti indotte da neutroni
Le reazioni indotte da neutroni sono caratterizzate dall’ assenza di una barriera
coulombiana. Nell’ approssimazione più semplice di urto in onda s
(tanto meglio verificato quanto più è bassa l’ energia e quanto più lontani si
è da eventuali risonanze) si trova (si veda l’ appendice D) σ ∝ v −1 , da cui
σv cost.; più in generale, si definisce la funzione
R(E) ≡ (σv)(E) (3.14)

3.2. CALCOLI ANALITICI DI SEZIONI D’ URTO E TASSI DI REAZIONE63
Questa, se la reazione è non-risonante (ad esempio di DI, oppure siamo nella
coda di una risonanza), dipende debolmente da E[ 13 ], il che la rende ben
approssimabile da un polinomio di grado m in E 1/2 (spesso si usa m = 2 o
3):
R(E) =
m
n=0
R (n) (0)
n! En/2
(3.15)
dove con R (n) (0) si indica la derivata n-sima rispetto a E 1/2 valutata per
E = 0 ( e R (0) (0) ≡ R(0)); poichè la sezione d’ urto si scrive:
σab = R(E)
v(E) =
µab R(E)
2E c
dalla precedente equazione per R risulta per il rate < σv >:
< σv >=
4 ∞
dy
π 0
√ yR(y T)e −y
con y ≡ E/T.
Se si adotta per R la forma polinomiale, si ha:
dove:
m
< σv > (E) = cnT
n=0
n/2
cn = R(n) (0)
n!Γ(3/2) Γ
n + 3
2
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(La precedente forma funzionale è adottata, ad esempio, da [63] per le
reazioni p(n,γ)H2 e He3(n,p)H3).
Talvolta, tuttavia, R(E) risulta meglio approssimato usando la somma di un
termine polinomiale proporzionale ad una certa R1(0) più un esponenziale
decrescente del tipo:
R2(E) = R2(0)e −aE
(3.19)
che contribuisce al rate con un termine:
< σv >2=
R2(0)
(1 + aT) 3/2.
3.2.2 Reazioni non-risonanti indotte da particelle cariche
(3.20)
Tipicamente, per queste reazioni si definisce il fattore astrofisico S secondo
la seguente relazione:
S(E) ≡ σ(E)×E× exp[ EG/E] (3.21)
13 Con E indichiamo, salvo avviso contrario, l’ energia cinetica totale nel centro di massa
(CM).

64 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
con EG ≡ 2π 2 µXa(ZXZaαem) 2 , energia di Gamow. Grossomodo, questa
funzione include la ”vera” dipendenza nucleare della σ(E): i due fattori per
i quali è moltiplicata eliminano rispettivamente la dipendenza ”quantistica”
dalla λDBr (fattore E) e quella elettromagnetica della barriera coulombiana
14 (fattore exp[ EG/E])(per ulteriori chiarimenti, si veda l’ appendice D).
L’ introduzione di S(E) ha un duplice vantaggio:
• Permette di analizzare più facilmente i meccanismi di reazione in atto
in un determinato processo (come la presenza di diversi contributi fisici
al processo, ad esempio); per questo, anche nel caso in cui una reazione
contenga risonanze, spesso i dati e/o le previsioni (in forma numerica,
grafica o analitica) vengono espressi in termini di S(E) (si veda la Ref.
[4]).
• Come per i neutroni, laddove la sezione d’ urto sia non risonante,
S(E) varia poco nel range di interesse; pertanto risulta spesso ben
approssimata da una costante o da un polinomio di ordine m (spesso
m=2 o 3) in E (si veda la 3.27).
La < σv > può scriversi:
8
< σv >ab=
πµ T −1/2 ×
∞
× dyS(y T)e
0
−φ(y,yG)
8
≡
πµab
T −1/2 I (3.22)
dove si è definito y ≡ E/T, yG ≡ EG/T e φ(y,yG) ≡ y + yG
y . La funzione
φ ha un minimo in y0 = (yG/4) 1/3 (per le T di interesse, questo è spesso
>> 1); ne segue che e−φ è piccata attorno a y0 (picco di Gamow) con una
larghezza totale a mezza altezza δ che può essere stimata approssimando φ
con il suo sviluppo in serie al secondo ordine attorno a y0 (omettiamo la
dipendenza di φ da yG per brevità):
φ(y) φ2(y) ≡ φ(y0) + φ′′ (y0)
(y − y0)
2
2 = 3y0 + 3
(y − y0)
4y0
2
(3.23)
Uguagliando a ( y−y0
δ/2 )2 , ne deriva δ = 4 √ y
3 1/2
o .
Se per il processo in esame può assumersi S(E = y T) S(E0 ≡ y0 T) ≡ S0
per y che varia in un intorno di diametro ∼ δ attorno a y0, avremo, nell’
approssimazione gaussiana:
∞
I(y0) S0 dy e
0
−φ(y,yG)
14
L’ assunto che la barriera centrifuga sia trascurabile (urto prevalentemente in onda s)
è ragionevole alle energie tipiche della BBN e degli ambienti stellari.

3.2. CALCOLI ANALITICI DI SEZIONI D’ URTO E TASSI DI REAZIONE65
S0 e −3y0
∞
−∞
=
dy exp −
Tenendo conto che y0 = (EG/4T) 1/3 si trova:
2 y − y0
=
δ/2
4π
3 y0 S0 e −3y0 (3.24)
32
< σv > (T) =
41/3 E
3
1/3
G
µ T −2/3
S0 exp − 3
41/3 1/3 EG
T
Sono possibili due tipi di correzione a tale stima di I:
1. Asimmetria del Picco di Gamow
Assumendo S costante, definiamo:
Ĩ ≡ S0 e −3y0
4π
3 y0F(y0),
(3.25)
dove F(y0) può valutarsi sviluppando in serie di potenze di (y − y0) la
correzione all’ approssimazione gaussiana di φ e valutando termine a
termine gli integrali risultanti; se si tiene conto che nei casi di interesse
y0 >> 1, è giustificato sviluppare in serie di 1/y0 tale correzione;
risulta:
F(y0) = 1 + f1
y0
+ f2
y2 + ... = 1 +
0
5
+
36y0
35
2592y2 0
+ ... (3.26)
2. Variazione di S(E)
Poichè y0 dipende da T, si è soliti sviluppare S attorno a E = 0
Figura 3.2: Una rappresentazione schematica (e non in scala) del Picco di
Gamow

66 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
(tipicamente m = 2 o 3) 15 :
S(E) =
m
n=0
S (n) (0)
n! En
(con S (0) (0) ≡ S(0)) o, equivalentemente:
m
S(y T) = sny
n=0
n T n
(3.27)
(3.28)
con i parametri sn ≡ S(n) (0)
n! previsti dalla teoria o, più spesso, fittati
dai dati sperimentali; si osservi che, in quest’ ultimo caso, non
bisogna intendere S(0) come una stima di S(E)|E=0, ma solo come
approssimazione di ordine 0 del fattore S nel range di energie in cui
sono disponibili misure 16 .
E’ bene precisare anche che una stima ragionevole dei rate può essere
eseguita solo se sono note le misure per y in un intervallo di
qualche δ attorno a y0 (tutte grandezze dipendenti dalla temperatura);
se si vuole stimare il rate in un grosso range di T è necessario
raccogliere dati su un ampio intervallo di energie. Questo problema è
particolarmente spinoso quando si vogliono stime a T =
8
π
c
√
Tµ
4πE0(T)
Seffe
3T
−3E 0
T (3.31)
1 + 5T
s0 + s1E0 1 +
36E0
35T
+ s2E
36E0
2
0 1 + 89T
]
36E0
15 Le derivate di S si intendono eseguite rispetto a E.
16 Lo stesso vale, ovviamente, per R(0) introdotto per le reazioni neutroniche.

3.2. CALCOLI ANALITICI DI SEZIONI D’ URTO E TASSI DI REAZIONE67
Se si esegue il prodotto e si esplicita la E0(T) ∝ T 2/3 , deriva per < σv > la
forma funzionale:
< σv > (T) = AT −2/3 exp(−BT −1/3
)
1 +
5
n=1
αnT n/3
(3.32)
Questa è l’ approssimazione analitica (suggerita da argomenti teorici) spesso
usata nel fittare i dati sperimentali. Questo è stato fatto, ad es., in [63]
per H2(p,γ)He3, H2(d,p)H3 e per la parte non-risonante delle reazioni
H3(d,n)He4, He3(d,p)He4 e Li7(p,α)He4.
Nei casi in cui ho ricavato dei rates per reazioni di questo tipo dai dati
sperimentali, l’ andamento di I(T) è stato parametrizzato in maniera più
accurata; tenendo presente la 3.30 e la 3.24, gli integrali In(T) sono stati
riscritti come:
In(T) = e −3y0 y n 0
dove le funzioni αn(T), definite da:
∞
αn(T) ≡
0
4π
3 y0αn(T)
dy e −φ(y) y n
e −3y0
n 4π
y0 3 y0
−1 in base a quanto visto, hanno un andamento ben descritto da 17 :
αn(T) a (n)
0
a(n) 1
+
y0
+ a(n) 2
y2 0
(3.33)
Ho quindi calcolato numericamente le αn(T) per il range di y0 rilevante,
procedendo poi ad un fit dei coefficienti a (n)
1 e a (n)
2 in base alla 3.33[ 18 ];
nel range rilevante alla BBN, lo scostamento dei fit dal calcolo numerico è
sempre inferiore a qualche percento, con scarti per n=0 e n=1 (I0 e I1 sono
i contributi più rilevanti al rate) spesso inferiori al permille. Il rate assume,
quindi, la forma:
8 c 4πE0(T)
< σv >= √ e
π Tµ 3T
−3E 0
T
m
× snE
n=0
n 0
1 + a (n)
1
T
E0
+ a (n)
2 T
2
E0
(3.34)
con m tipicamente inferiore o uguale a 3.
Talvolta, come per i neutroni, può essere utile parametrizzare S(E) con
17
In particolare, α0(T) coincide con la funzione F(y0) che descrive l’ asimmetria del
picco di Gamow.
18
Per dovere di cronaca, ricordiamo che gli integrali In(T) sono esprimibili in termini
delle funzioni speciali G di Meijer; si veda a tal proposito il [33].

68 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
la somma di un termine polinomiale più un esponenziale decrescente, in
accordo con alcune previsioni del RGM; ad esempio, gli autori del [63] lo
hanno utilizzato per le reazioni He4(t,γ)Li7 e He4(τ,γ)Be7. Se
allora
I (2) = S2(0)
T
S2(E) = S2(0)exp[−aE]
∞
dE exp − E a +
0
1
EG
−
T E
da cui, detta 1/Ta(T) ≡ a + 1/T, cioè Ta ≡ T/(1 + aT), avremo
I = S(0) Ta
T e−3˜y0
4π
3 ˜y0
(3.35)
con ˜y0 ≡ (˜yG/4) 1/3 e ˜yG ≡ EG/Ta; esplicitando ˜y0 ne deriva un rate della
forma:
< σv >2 (T) = A2T −3/2 (Ta) 5/6 exp[−B2T −1/3
a ]
con i parametri A2 e B2 che, in genere, vengono determinati sperimentalmente.
Un altro caso in cui si può trovare una valida approssimazione analitica è
naturalmente quello in cui si ha un termine:
S3(E) = S3(0)exp[−bE −1/2 ],
ma questo andamento non si incontra molto di frequente, e perciò non sarà
discusso.
3.2.3 Risonanze Isolate
La σ(E) per una risonanza isolata (a singolo livello) è, come noto, ben
approssimata da una Breit-Wigner; tenendo conto della dipendenza anche
da λ (vedi 3.10), avremo 19 :
2 λ Γa(E)Γb(E)
σ(E) = π ω
2π (E − ER) 2 + (Γ/2) 2
dove con ω si è indicato il fattore statistico:
ω ≡
(2J + 1)(1 + δ12)
(2J1 + 1)(2J2 + 1)
(3.36)
(3.37)
mentre Γa è l’ ampiezza parziale di formazione del CN a partire dai reagenti
1 e 2, Γb quella di decadimento del CN nel canale finale; Γ e ER sono l’
19 La deduzione teorica della Breit-Wigner porta alla comparsa al denominatore di (E −
ER − ∆T −L(E)) anzichè del solo (E − ER); ∆T −L(E) è detto termine di correzione di
Thomas-Lane; esso fa sì che l’ energia della risonanza osservata sia leggermente diversa
da quella del CN

3.2. CALCOLI ANALITICI DI SEZIONI D’ URTO E TASSI DI REAZIONE69
ampiezza totale e l’ energia di risonanza del CN.
Per avere la funzione σ(E) è ancora necessario conoscere l’ andamento delle
Γi(E) (anche indicate con PW, ”Partial Widths”); a tal fine, si rimanda all’
appendice D.
Dopo aver derivato la σBW(E), il rate si ottiene dalla formula:
8
∞
−3/2
< σv >= T σBW(E)E e
πµ 0
−E/T dE (3.38)
Questa integrazione non è eseguibile elementarmente; si possono ottenere
delle approssimazioni analitiche, diverse a seconda del carattere della risonanza,
così come illustrato nelle tre sezioni seguenti.
Risonanze Strette
La condizione di risonanza stretta è che sia Γ
8
πµ T −3/2 ER e −ER/T
∞
σBW(E)dE (3.39)
0
Se lo stesso può dirsi delle ampiezze (parziali e totali) Γ e della λ di De
Broglie del sistema, si deriva facilmente:
< σv >
3/2 2π
(ωγ)Re
µT
− ER T (3.40)
dove (ωγ) ≡ ω× ΓaΓb
Γ è detto forza della risonanza (resonance strength) e ω
è il fattore statistico definito in 3.37.
E’ chiaro che, in presenza di più risonanze strette, si avrà semplicemente:
< σv >
2π
µT
3/2
(ωγ)i e −Ei/T
i
(3.41)
Spesso, tale sommatoria sulle risonanze può approssimarsi con una funzione
analitica della forma:
< σv > a1e −a1/T + a2e −a2/T .
E’ chiaro che, in pratica, basterà limitarsi alle sole risonanze incluse nel
range di interesse: [E0(T min
9 ) − ∆E0(T min
9 );E0(T max
9 ) + ∆E0(T max
9 )].

70 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
Risonanze Larghe
La condizione di risonanza larga è che sia (Γ/ER) > 10%. Possono contribuire
a tali andamenti sia reazioni di CN che di DI. Chiaramente, le
approssimazioni precedentemente fatte non sono più valide; tenendo conto
della forma funzionale di Breit-Wigner e l’ andamento del fattore astrofisico
efficace Seff, si può adottare come comoda parametrizzazione per il rate la
seguente:
< σv >= exp − C0
T 1/3
×
1
×
[E0(T) − ER] + (Γ/2) 2
mrate
i=0
aiT i/3
(3.42)
con i vari parametri determinati per fitting dai dati sperimentali, mentre
E0(T) è l’ energia del picco di Gamow, data da:
Risonanze di Sottosoglia
E0 = T y0 = T 2/3 (EG/4) 1/3 .
Si consideri una reazione X(a,b)Y con un Q-valore Q e ammettiamo che
esista un CN con uno stato eccitato di energia Er, la cui formazione è compatibile
con le proprietà dei reagenti X e a, ma tale che Er < Q; ci si
potrebbe aspettare che un stato siffatto non possa contribuire alla σ; tuttavia,
poichè la Er è affetta da una certa indeterminazione Γ, a meno che
non sia (Q − Er)/Γ >> 1, è possibile che la ”coda” della risonanza possa
nondimeno dare un contributo significativo alla componente non-risonante
del rate; talvolta queste risonanze di sottosoglia alterano sensibilmente l’
andamento della sezione d’ urto a basse energie, rivestendo una grande importanza
nelle applicazioni astrofisiche e/o cosmologiche.
La dipendenza del fattore astrofisico da E è del tipo:
S(E)
S(ER)
(E − ER) 2 + (Γ/2) 2
Visto che ER < 0 e, tipicamente, Γ è piccolo, si può approssimare S(E) ∼
E −2 , il che porta ad un rate della forma:
< σv >= AT −2
exp − B
T 1/3
1 +
5
n=1
αnT n/3
. (3.43)
Un’ altra espressione analitica per il contributo di risonanze di sottosoglia
al rate è presentata in appendice D.

3.2. CALCOLI ANALITICI DI SEZIONI D’ URTO E TASSI DI REAZIONE71
3.2.4 Risonanze Fitte
Se la spaziatura tra successivi livelli eccitati del CN è dell’ ordine delle
ampiezze Γ o, addirittura, le risonanze si ”sovrappongono”, da un punto di
vista sperimentale si trova un ”fondo continuo” sul quale, al più, risaltano
alcuni picchi risonanti. In tale regime, caratteristico di densità di livelli nucleari
(NDL) alta, il modello teorico tipicamente usato è quello di Hauser-
Feshbach (HF), che illustriamo brevemente.
Consideriamo la reazione X ɛ (a,b)Y η , in cui ɛ e η rappresentano rispettivamente
i set di numeri quantici (Eexcit, J, π) che individuano lo stato del
nucleo bersaglio X e del residuo Y rispettivamente. La generalizzazione
della 3.36 al caso in questione viene scritta convenzionalmente:
π (1 + δXa)
σɛη(E) =
2µXaE (2JX(ɛ) + 1)(2Ja + 1)
(2J(i) + 1)
Ttot(i) Tɛ(i,a)Tη(i,b)Wɛη(i,a,b) (3.44)
i
dove si è indicato con i il set di numeri quantici (Eexcit, J, π) che individuano
lo stato del CN; con T si sono indicati dei coefficienti di trasmissione
medi 20 ; con Wɛη(i,a,b) i fattori di correzione della fluttuazione d’ ampiezza
(WFCF): questi tengono conto del fatto che il decadimento del CN non è
completamente statistico, ma ha una parziale memoria del processo di formazione,
il che correla tra loro i vari canali.
La grandezza misurata dagli esperimenti è, chiaramente,
σ0η(E)
η
relativa al processo X0 (a,b)Y .
Tipicamente, laddove scarseggia la conoscenza dettagliata dei numeri quantici
degli stati di CN (spesso per gli stati molto eccitati), la
i si trasforma
in un integrale sulla densità di livelli nucleari; per i modelli di NDLs si usano
spesso ”varianti” del semplice modello del gas di Fermi.
(per ulteriori dettagli si veda, ad es. [32] e ref. ivi riportati).
Laddove siano disponibili dati, per i rates di reazione in un regime di ”continuo
multirisonante” NACRE assume la seguente forma funzionale:
< σv >= AT B exp[−C/T] (3.45)
con i parametri A, B e C ottenuti mediante fitting.
20 Piuttosto che riflettere un comportamento risonante, questi descrivono l’ assorbimento
dovuto alla parte immaginaria del potenziale ottico nucleone-nucleo; si veda anche l’
appendice D

72 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
E’ bene precisare che quanto riportato nelle varie sezioni di questo paragrafo
ha soprattutto carattere illustrativo.
Oggigiorno la crescita della potenza di calcolo e della quantità di dati raccolta
permette sempre più spesso un’ affidabile integrazione numerica delle
sezioni d’ urto per numerosi valori di T, almeno nel caso di contributi al rate
diversi da quelli delle risonanze strette.
Questo permette di fornire le informazioni in forma tabulare, riducendo
le inevitabili approssimazioni delle relazioni analitiche (tipicamente, queste
scartano al più dell’ 1 ÷ 10% dai valori tabulati).
Anche qualora vengano fornite forme analitiche dei rates, non sempre esse
corrispondono a quelle illustrate; ad esempio, i polinomi in T n/3 che definiscono
le Seff per le reazioni indotte da particelle cariche, nel caso della compilation
[4] sono stati sostituiti da polinomi in T n , che si adattano meglio
alla procedura di fitting riducendo gli errori rispetto ai valori tabulati.
3.3 Correzione delle Misure per l’ Effetto di Schermo
I ragionamenti compiuti sino a questo momento guardano ai nuclei come
oggetti interagenti nudi (bare), cioè privi di nuvole elettroniche che li circondino.
Tuttavia, laddove le informazioni sulle σ(E) siano ottenute mediante
esperimenti, si deve tener conto del fatto che questi vengono effettuati
tipicamente con bersagli atomici o molecolari. Ciò implica che il proiettile
(se elettricamente carico) risenta di un potenziale coulombiano schermato,
del tipo 21 :
φScr−C(r) = Θ(Ra − r)Ztα 1/2
1 1
em −
r Ra
(3.46)
dove Θ(x) è la funzione a gradino di Heaviside e Ra è una grandezza caratteristica
del bersaglio, dell’ ordine delle dimensioni atomiche o molecolari.
Se si definisce
Ue ≡ ZprZtαem
,
Ra
è facile capire come il grosso dell’ effetto consista nell’ abbassamento della
barriera repulsiva coulombiana, in modo che un proiettile di energia cinetica
E si comporti come se avesse energia E + Ue. Ne segue che:
σ(E) E + Ue
exp
σscreen(E) E
− πηSommUe
E
(3.47)
Poichè, però, gli Ue sono dell’ ordine di grandezza delle energie atomiche o
poco superiori, tipicamente queste correzioni risultano significative solo ad
21 Sono ovviamente possibili anche altre parametrizzazioni, come ad esempio quella di
potenziale ”tipo Yukawa”: Ztα1/2 em exp(−r/Ra).
r

3.4. EFFETTI TERMICI 73
energie inferiori alle decine di keV, e quindi interessano solo marginalmente
la BBN. Per ulteriori dettagli, si veda ad es [30], p.165-166.
3.4 Effetti Termici
Nelle situazioni astrofisiche di interesse (BBN, interni stellari, ecc.), l’ energia
di agitazione termica è tanto alta che, naturalmente, i nuclei non sono legati
con gli elettroni a formare atomi neutri. Tuttavia, essi non interagiscono
tra loro nel vuoto, ma in un plasma, cioè in un sistema di fotoni e particelle
cariche in equilibrio cinetico; pertanto, una volta determinate le σbare(E),
queste non possono essere usate direttamente nei calcoli dei tassi di reazione;
bisogna prima valutare le eventuali modifiche dovute agli ”effetti di plasma”,
che possono riassumersi in:
• Termalizzazione dei nuclei-bersaglio;
• Effetto di Schermo.
3.4.1 Popolamento Termico dei Nuclei-Bersaglio
E’ chiaro che sino a che le T degli ambienti astrofisici in esame sono confrontabili
o più alte delle energie degli stati eccitati nucleari, i nuclei che
hanno stati eccitati legati non saranno tutti nel loro stato fondamentale
(come accade per le σ determinate sperimentalmente), ma si distribuiranno
statisticamente tra i vari livelli ammissibili.
Per calcolare la correzione da apportare alle σbare, bisogna ricorrere a modelli
teorici. In questo lavoro assumiamo valido il modello adottato nel [4],
cioè ammettiamo che:
1. il plasma sia in equilibrio termodinamico locale (LTE).
Questa prima ipotesi ci assicura che il popolamento dei vari stati
sia maxwelliano; cioè, definita la funzione di partizione normalizzata
relativa al nucleo-bersaglio i:
Gi(T) =
(2J 0 i
1
+ 1)
µ
(2J µ
i
il peso statistico dello stato α-esimo risulta:
1
Gi(T)
(2Jα i
(2J0 i
+ 1)exp
+ 1)
exp −
+ 1) ɛα
i
T
− ɛµ
i
T
(3.48)

74 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
2. il rapporto tra il rate di reazione relativo al nucleo bersaglio nello stato
eccitato α-esimo e quello relativo allo stato fondamentale sia calcolabile
con il modello di HF, cioè:
< σαv >
< σ0v > = < σαv >HF
.
< σ0v >HF
Congiuntamente, le due ipotesi ci portano a dire che si possa ottenere il rate
”corretto”< σv >tt moltiplicando quello dello stato fondamentale < σv >gs
per la funzione (dipendente da T mediante la reazione e il nuclide bersaglio):
r i tt(T) = 1
Gi(T) α
(2Jα i
(2J0 i
+ 1)
exp −
+ 1) ɛα
i < σαv >HF
T < σ0v >HF
(3.49)
Ulteriore conseguenza è il cambiamento del fattore statistico da usare nella
relazione tra forward e reverse rate dovuta al principio del bilancio dettagliato:
gi ≡ (2J 0 i + 1) −→ gi×Gi(T) =
(2J µ
µ
i
+ 1)exp
− ɛµ
i
T
(3.50)
Poichè i nuclidi leggeri hanno pochi stati eccitati (o nessuno), tali correzioni
saranno grossomodo tanto più rilevanti quanto più è pesante il nuclide in
esame e, ovviamente, quanto più è alta la temperatura alla quale si vuole
valutare il rate.
3.4.2 Effetto Schermo del Plasma
La trattazione generale di questo problema è molto complicata e non del
tutto chiarita per alcune condizioni ”estreme”; senz’ altro ciò esula dagli
obiettivi di tale tesi.
Tuttavia, spesso nelle condizioni astrofisiche usuali si ha a che fare con un
plasma quasi perfetto, per il quale è utilizzabile la nota teoria di Debye-
Hückel.
Prima di poter applicare tale teoria, bisogna verificare che durante la BBN
siano verificate le 2 condizioni:
1. il plasma non sia degenere (effetti quantistici trascurabili)
2. l’ accoppiamento coulombiano sia debole.
Per verificare la prima ipotesi, si può valutare il parametro ξ definito come
ξ ≡ n 1/3
i λth i , dove λth è la lunghezza d’ onda termica di De Broglie già
introdotta in 1.3.1.

3.4. EFFETTI TERMICI 75
Fra i nuclidi, quelli con la maggiore densità sono i protoni, per i quali np
(0.5 ÷ 1)ηnγ da cui si trova:
ξp ∼ η1010 −10
3/2 T
> Z2 i αem
aiT
(3.51)
dove ai è il raggio ionico o di Wigner-Seitz del nuclide in questione, definito
in modo tale che 4πa 3 i /3 = 1/ni, cioè:
ai ≡
3
4πni
Quindi, χi ( 4πni
3 )1/3 Z2 i αem
T . Tipicamente
1/3
χi ≤ (ηnγ) 1/3αem
T αemη 1/3

76 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE
e a zero a distanze ”grandi” (rispetto ad una qualche scala caratteristica);
la distribuzione di Boltzmann viene allora modificata in modo che 22 :
ni = ni(r) = ¯ni× exp −
1/2
Ziαemψi(r) T
(3.53)
(si noti che così per grandi r, ni → ¯ni, cioè tende al valore asintotico fuori
dalla sfera ionica).
Per determinare ψi(r) si usa l’ equazione di Poisson ∇2ψi = −4πρq. Essendo
ρq = α 1/2
em ( Zjnj − n
j=nuclidi
eff
e− )
e sfruttando la 3.53, l’ equazione di P. si scrive:
∇ 2 ψi = 4πα 1/2
em ¯n eff
e−
1 + α1/2
T
emψi(r)
−
j=nuclidi
Zj¯nj
1 −
1/2
Zjαemψi(r) T
dove si è sviluppato al prim’ ordine l’ esponenziale, compatibilmente con l’
ipotesi di accoppiamento debole.
Se, ora, sfruttiamo la condizione di neutralità elettrica
¯n eff
e− =
Zj¯nj,
j=nuclidi
risulta
∇ 2 ψi = ψi
R2 D
la cui soluzione (ricordando le condizioni a contorno) è data da:
ψi(r) = −
1/2
Ziαem e
r
−r/RD
dove si è definito il raggio di Debye RD
T
RD =
4παemnBζ
(3.54)
e ζ ≡
nuc (Z2 j + Zj)Xj, dipendente dalla composizione chimica del plasma
(per la BBN, ζ (2Xp + 6XHe4).
A questo punto, il fattore moltiplicativo nelle sezioni d’ urto tra due particelle
cariche a e b dovuto allo schermo può essere calcolato con modelli
analoghi a quelli sviluppati per la correzioni dei dati sperimentali per l’
effetto schermo ”atomico” 3.3. Grossomodo si ha:
< σv >thermal
≡ PEF ∼ e
< σv >bare
UD/T
22
Questo argomento euristico può essere ovviamente sostituito con una derivazione dalla
B.4.

3.4. EFFETTI TERMICI 77
dove PEF sta per Plasma Enhancing Factor 23 e
Nel caso della BBN,
UD ≡
ZaZbα 1/2
em
RD
PEF exp(1.7×10 −5 η10ζZaZbα 3/2
em)
confondibile con 1 e quindi ininfluente se confrontato con le altre approssimazioni
fatte. Per dettagli ulteriori, si vedano ad esempio [27], [17], [26].
23 L’ analoga correzione per i plasmi degli interni stellari è detta SEF, Stellar Enhancing
Factor

78 CAPITOLO 3. CENNI DI ASTROFISICA NUCLEARE

Capitolo 4
Revisione del Set di
Equazioni
4.1 Prospetto del Lavoro Eseguito
In questo capitolo sono illustrate brevemente le reazioni prese in considerazione
nella revisione del codice; laddove siano già state incluse nella nuova
versione di BBNCODE, ci si riferisce ad esse nelle tabelle o nei commenti
anche con il relativo codice numerico. Le reazioni a due corpi di natura
e.m. e forte aventi come bersaglio o residuo almeno un nucleo con A ≤ 7
tra (H1,H2,H3,He3,He4,Li6,Li7,Be7) e con proiettili appartenenti alla lista
seguente (γ,n,p,d,t,τ,α) sono tutte raccolte in questo capitolo; le reazioni
deboli trattate includono i soli decadimenti dei nuclidi e/o reazioni di rilevanza
cosmologica e/o astrofisica. La discussione di ciascuna reazione non
ha alcuna pretesa di completezza, ma è mirata al chiarimento del ruolo di
quel processo nella BBN; per informazioni più dettagliate, si rimanda ovviamente
alla letteratura originaria.
Per agevolare la lettura del capitolo, è opportuno anticiparne i principali
contenuti e risultati:
• La reazione chiave della BBN, la p(n,γ)H2, è stata sottoposta ad
un’ approfondita revisione sia dello status sperimentale che teorico.
Le informazioni raccolte hanno consentito di valutare il rate di questa
reazione con un’ accuratezza significativamente maggiore di quella
precedentemente stimata, almeno nel range rilevante per la BBN.
• Le principali reazioni del network, individuate innanzitutto con analisi
qualitativa del tipo presentato in appendice C, sono discusse in dettaglio
alla luce anche di dati molto recenti. In particolare, si segnalano
le analisi delle reazioni H2(d,n)He3, H2(d,p)H3 e, soprattutto, della
H2(p,γ)He3.
79

80 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
• Si è valutato il ruolo di alcune reazioni a tre corpi (4.6.2), che è risultato
poco significativo. Per alcune di queste (p(nn,γ)H3, p(nn,n)H2), a
quanto mi risulta, sono stati calcolati per la prima volta i rates di
reazione.
• si sono colmate lacune significative sia nel network di reazioni che coinvolgono
i nuclidi sino all’ elio-4 (si veda il commento alla reazione 26
in 4.5.2), sia in reazioni che coinvolgono nuclei con numeri di massa
A ≥ 6. Questo comporta sicuramente alcune conseguenze sulla previsioni
di XLi7 e XLi6 ma, in maniera più rilevante, modifica di ordini
di grandezza le previsioni della BBN su alcuni nuclidi con A > 8 1 .
4.2 Reazioni Deboli
Num Reazione Fonte
1 n ←→ p [2]
pp p + p ←→ e + + νe + H2 [4]
2 H3 −→ ¯νe + e − + He3 [108]
hep He3 + p ←→ e + + νe + He4 [37]
3 Be7 + e − −→ νe + Li7 questa tesi
Reazione 1: n ←→ p
Tali reazioni, di importanza cruciale per l’ abbondanza dell’ He4, sono state
ampiamente trattate in [2]; nel corso della revisione effettuata, si è semplicemente
aggiornato il valore sperimentale della vita media del neutrone, che è
uno degli input empirici della BBN.
In base all’ ultima edizione del Particle Data Book ([64]), si ha:
τn = 885.7±0.8s.
Reazione pp: p + p ←→ e + + νe + H2
Nelle stelle è la reazione chiave per innescare la nucleosintesi; ha una sezione
d’ urto troppo bassa per potere essere misurata, ed è quindi stimata teoricamente,
con incertezze ∼ 5 ÷20% a seconda della temperatura (si veda, ad
esempio, [4]). Il suo rate di produzione di deuterio è inferiore di molti ordini
di grandezza (15÷20) rispetto al tasso di produzione della p+n ←→ γ+H2
e, poichè non ha rilevanza per la sintesi o la distruzione di altri nuclidi, nel
codice di BBN può essere omessa.
1 Questo risultato, pur se marginale per gli scopi di questa tesi, risulta importante per
altre ricerche in corso, come la previsione del contenuto primordiale di ”metalli stellari”
(A ≥ 12), connesso all’ importante problema dell’ esistenza (e della fisica) della primigenia
Popolazione III di stelle.

4.2. REAZIONI DEBOLI 81
Questo è il principale tratto distintivo della nucleosintesi primordiale rispetto
a quella stellare: essendo disponibili quantità rilevanti di n liberi per la
reazione 4 di cattura radiativa, la sintesi del deuterio mediante interazioni
deboli risulta del tutto trascurabile. Le stesse considerazioni svolte per la
p+p ←→ e + +νe+H2 si applicano alla reazione pep: p+p+e − ←→ νe+H2;
per T9 ≤ 3 esiste una stima del rate pubblicata in [37], che mostra come tale
tasso di reazione sia di circa 4 ordini di grandezza inferiore al precedente. Il
suo contributo è ulteriormente soppresso dal fattore moltiplicativo di densità
elettronica (è un processo a tre corpi); l’ interesse per questa reazione è
dovuto allo studio dello spettro neutrinico solare, al quale essa contribuisce
con una riga monocromatica di circa 1.4 MeV.
Reazione 2: H3 −→ ¯νe + e − + He3
Si tratta di un decadimento β − , ed è stata aggiornata con i dati di [108];
è una reazione relativamente poco importante (salvo a temperature molto
basse), inclusa essenzialmente per motivi storici (era già presente nel codice
di Kawano [105]).
Reazione hep: He3 + p ←→ e + + νe + He4
Come le reazioni pp e pep, ha un contributo del tutto trascurabile nella
sintesi primordiale dei nuclidi (per un’ analisi quantitativa, si può sfruttare
il rate presentato in [37]); è invece rilevante per il problema dei neutrini
solari, essendo responsabile della produzione della coda più energetica dello
spettro (sopra 10 MeV), oltre quelli provenienti dal decadimento del B8.
Reazione 3: Be7 + e − −→ νe + Li7
Nel codice precedente l’ influenza di tale reazione veniva trascurata; tuttavia,
il Be7 allo stato atomico decade per cattura elettronica (EC), con
una vita media misurata pari a τ = 53.29±0.07 giorni; se si osserva che nel
codice era inserito il decadimento del trizio che avviene con τ = 12.33±0.06
anni, tale processo deve essere incluso quantomeno per motivi di coerenza.
Nelle condizioni del plasma primordiale, il decadimento del Be7 risulta alterato
dal fatto che esso è presente solo come nucleo 2 immerso in un mare
di elettroni del continuo; dalla regola aurea di Fermi e dalla teoria di Fermi
delle interazioni deboli si valuta:
dove:
Γ = 2πρ(E)|Hfi| 2
(4.1)
2 La ionizzazione può assumersi completa, visto che l’ energia di ionizzazione dell’ elettrone
più interno è pari a 216.6 eV, molto minore della tipica energia dei fotoni durante
la BBN.

82 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
• ρ(E) = 4πE 2 ν è il fattore di densità nello spazio delle fasi con Eν che
è l’ energia del neutrino emesso;
• Hfi ≡< f|Hw|i >= dτtot [ψLi7ψνe] ∗ ˆ HwψBe7ψ e − è l’ ampiezza di
transizione del processo; poichè le funzioni d’ onda radiali dei due nuclei
sono diverse da zero solo in una piccola regione, possiamo eseguire
le approssimazioni:
Pertanto
1. ψνe = 1
√ V exp(kν·r) 3 1
√ V .
2. ψ e −(r) ψ e −(0)
dove V è un volume di normalizzazione. Pertanto
dove G ≡ ψ ∗ Li7 ˆ HwψBe7drLi drBe
Hfi ψ e −(0)
√ V G,
Γ = 1
τ GE2 ν
π
|ψe(0)| 2
(4.2)
Tale formula vale essenzialmente sia per la cattura di e− atomici che del
continuo, a meno del diverso valore assunto dal fattore |ψe(0)| 2 ; possiamo
pertanto scrivere:
|ψc(0)|
Γc = Γat
2
|ψat(0)| 2
(4.3)
Nel caso atomico, nelle approssimazioni adottate, la EC può avvenire solo a
spese di elettroni in orbitali s, la cui densità nell’ origine è non nulla; poichè
vale:
|ψns(0)| 2 3 1 Zeff(n)
=
n
πa 3 Bohr
con la Zeff(n) che tiene conto degli effetti di schermo, tenendo conto che il
Be7 ha configurazione elettronica 1s 2 2s 2 , una stima ragionevole è quella di
considerare la sola cattura degli 1s, ma non schermata:
|ψat(0)| 2 2
3 4
π aBohr
Nel caso di cattura di un elettrone del continuo, se con ne indichiamo la
densità numerica degli e − , in prima approssimazione avremo:
|ψc(0)| 2 ne 4 ;
3 Cioè il neutrino considerato come un’ onda piana.
4 Ciò equivale a considerare gli e − come onde piane.

4.3. REAZIONI DI CATTURA RADIATIVA 83
tenendo conto della distorsione coulombiana delle onde piane 5 , si ha:
|ψc(0)| 2 ne 2π < ηSomm >
dove, assumendo una distribuzione di Boltzmann, la media termica dà:
< ηSomm > 4α
da cui, esplicitando aBohr = (meα) −1
Γc = Γat
π 2
16 √ 3α 2
1
1/2 me
me
3T
3
z 1/2 ne =
= 1.00683×10 −3 z −5/2 ˆ L(z,φe) s −1
(4.4)
con z(T) ≡ me/T; formalmente, la 4.4 è da considerarsi valida nel limite
non relativistico (ad es.,per z > 5); allo scopo di rendere utilizzabile il rate
precedente anche a temperature alte, nell’ ultimo passaggio della 4.4 si è
eseguita la sostituzione:
n e − −→ n e − − n e +,
che dovrebbe grossomodo dar conto dell’ effetto netto delle reazioni deboli di
equilibrio Li7/Be7 a temperature ”alte” 6 . La stima 4.4 è stata ottenuta con
lo stesso tipo di approssimazioni fatte nel [30] (in quel caso relativamente al
plasma solare); poichè in quel caso c’ è uno scarto di circa il 40% rispetto ai
calcoli più raffinati, una stima pittosto conservativa dell’ errrore potrebbe
essere del 50%.
4.3 Reazioni di Cattura Radiativa
4.3.1 Reazioni (n,γ)
Num Reazione Fonte
4 H + n ←→ γ + H2 questa tesi
5 H2 + n ←→ γ + H3 [35]
6 He3 + n ←→ γ + He4 [35]
7 Li6 + n ←→ γ + Li7 [62]
li7ng Li7 + n ←→ γ + Li8 [71]
5 Si vedano ad esempio le Ref. [30], pag 350 e [31], pag 485.
6 Si tenga presente che una stima più accurata del tasso di reazione a temperature alte
rispetto ad me e al Q-valore (=0.861816 MeV) sarebbe poco utile, visto che le reazioni
deboli sono sempre più attive, sono presenti abbastanza e + perchè si abbia un equilibrio
Be7/Li7 dovuto anche alla reazione Li7 + e + ↔ ¯νe + Be7 e, infine, le abbondanze di
tali nuclidi sono tanto basse da rendere poco rilevante tale reazione di ”equilibrio debole”
”Be7/Li7” ai fini della previsione delle abbondanze finali.

84 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
Reazione 4: p + n ←→ γ + H2
E’ la principale responsabile della produzione di deuterio e, indirettamente,
degli altri nuclidi; sono scarse le informazioni sperimentali dirette sulla
sezione d’ urto di questo processo (non-risonante) nel range energetico rilevante
per la BBN; oltre a numerose misure della sezione d’ urto di cattura
di neutroni termici σth (si veda [80]), le sole di cui sono a conoscenza sono
riportate in [78] e [79]; esistono poi delle misure di fotodistruzione del deutone
ad energie non troppo superiori alla soglia che forniscono informazioni
indirette sulla sezione d’ urto di sintesi del deuterio ([86] e [87]).
Una stima del rate (basata sui calcoli teorici di [BeMo56] 7 e [Ev55] normalizzati
a σth = 0.332±0.002b misurata da [HuSchw 58]) è presente già in [35].
In [63] e nella precedente versione del codice è stato usato il calcolo di
[Hale91] basato sulle misure di cattura termica di [85] (σth = 0.3326±0.006b),
sui dati di alta energia di [Bos79] e su dati di fotodissociazione del deutone,
con un errore totale sul rate del 7% 8 .
Nella nuova versione del codice ho valutato il rate sulla base dei (pochi)
dati di bassa energia disponibili e, soprattutto, del calcolo teorico di Rupak
in[34], eseguito con una Teoria di Campo Effettiva (EFT) ed avente un
errore < 1%. Vista la grande importanza di questa reazione, è opportuno
fornire qualche dettaglio sulla tecnica impiegata da Rupak per la previsione.
Come già detto in precedenza, nell’ incapacità di ricavare l’ interazione
adronica dalla QCD, i fisici devono ricorrere a modelli fenomenologici per descrivere
le reazioni nucleari. Fortunatamente, ad un esame attento delle tavole
di dati nucleari e adronici emergono numerose regolarità, interpretabili
con l’ esistenza di diverse scale di massa caratteristiche; ad esempio: ΛQCD ∼
1GeV , corrispondente alla tipica massa dei nucleoni e di molti mesoni (ρ,
ω, ecc.); Λπ ∼ 0.2GeV , corrispondente alla massa del pione e alla differenza
in massa tra nucleone e risonanza ∆, e così via.
Fisicamente, questa naturale separazione di scale presente nell’ ambito nucleare
e subnucleare indica che i dettagli della dinamica a distanze piccole
rispetto a 1/Λ non hanno significative conseguenze sulle osservabili a energie
inferiori a Λ. Tale proprietà può essere usata per semplificare l’ analisi
teorica (anche in presenza di costanti di accoppiamento ≥ 1) sfruttando
tecniche analoghe a quelle del gruppo di rinormalizzazione: in effetti, essa
ha portato allo sviluppo delle teorie di campo effettive (EFT), di cui
l’esempio più noto è la Teoria Perturbativa Chirale (χPT): tipicamente si
costruisce una lagrangiana per il sistema includendo termini di interazione
sino ad un certo ordine nello sviluppo in potenze del parametro (piccolo)
7 Le sigle dei Ref. bibliografici che, per brevità, non sono stati riportati alla fine della
tesi, corrispondono ad articoli che non sono stati direttamente consultati per questo lavoro,
ma sono rilevanti per le stime di rates pubblicate in lavori precedenti, ai quali rimandiamo
per ulteriori informazioni (è sempre chiarito nel testo la fonte del Ref).
8 Ottenuto sommando in quadratura gli errori sperimentali dichiarati (0.2%), quelli di
fitting (5%) e quelli di integrazione numerica (2%).

4.3. REAZIONI DI CATTURA RADIATIVA 85
E/Λ; ciascuno di questi dipenderà da costanti che parametrizzano la nostra
ignoranza sulla dinamica del sistema e che devono essere fissate a partire
dai dati sperimentali, ma i termini possibili sono vincolati dalle simmetrie
(esatte e/o approssimate) della QCD9 . I risultati così ottenuti sono validi in
un range di energie molto più ampio rispetto a quello da cui sono tratte le
informazioni empiriche, rendendo predittiva la teoria.
Nel caso dell’ approccio di Rupak, essendo l’ energia rilevante (≤ 1MeV )
molto inferiore alla massa del pione (∼ 140MeV ), è possibile descrivere l’
interazione forte tra nucleoni senza introdurre pioni nella teoria (ricorrendo
ad operatori locali a quattro nucleoni) mentre l’ accoppiamento e.m. è introdotto
mediante il principio di gauge. Nella teoria risultante si dimostra
che, alle energie rilevanti per la BBN, l’ ampiezza di transizione del processo
p + n −→ γ + H2 è dominata (rispettivamente alle energie inferiori e superiori)
dai contributi M1V (transizione isovettoriale di dipolo magnetico) e
E1V (transizione isovettoriale di dipolo elettrico); l’ ampiezza M1V è calcolata
sino all’ ordine N2LO e normalizzata alla sezione d’ urto di cattura
di neutroni termici, σth data in [84] 10 ; l’ ampiezza E1V è calcolata sino all’
ordine N4LO e normalizzata ai dati di scattering nucleone-nucleone e alla
sezione d’ urto del processo di fotodistruzione del deutone (nel range di energia
del fotone 2.6÷7.3 MeV); nel limite in cui gli effetti di ordine superiore
sono trascurati, si riottengono i risultati della ”tradizionale” teoria di range
effettivo (ERT). Per determinare il rate, ho riespresso i dati11 in termini
della funzione ausiliaria R(E) (si veda 3.2.1) e ho eseguito dei fit pesati di
tali punti con polinomi in ɛ1/2 , come suggerito dagli argomenti riportati in
3.2.1, con il grado del polinomio variabile da 3 a 7. La scelta tra questi è
; il rate corrispondente al
stata compiuta valutando il chi-quadro ridotto χ2 r
polinomio di grado 6 si rivela quello ottimale (χ2 r
1.32; si veda il grafico
4.1.) ; da questo fit, che si discosta dai punti di Rupak per meno dello 0.3%,
è stato ricavato il rate della reazione secondo la 3.17; la propagazione lineare
degli errori permette di stimare un’ incertezza statistica inferiore allo 0.4%
per T9 ≤ 1.5.
Poichè la forma analitica usata per R(E) ha senso solo localmente e il
database usato è limitato ad E ≤ 1MeV , non mi aspetto che l’ andamento
del rate ad alte temperature sia realistico; in effetti, a partire da circa
9 In un futuro prossimo è possibile immaginare che, parallelamente allo sviluppo di
nuovi campi di applicazione delle EFT (per ora limitate ai soli casi a pochi nucleoni), l’
avanzamento nelle tecniche di simulazione su reticolo della QCD permetterà di prevedere
a partire da pochi parametri fondamentali (αstrong, masse dei quarks,...) le costanti di
accoppiamento delle teorie effettive, ora fissate empiricamente, ampliando notevolmente
il potere predittivo della cromodinamica quantistica a ”basse energie”.
10 Nell’ elaborazione dei dati, ho rinormalizzato le previsioni al valore più recente fornito
da [85], di circa lo 0.5% inferiore a quello usato nel Ref. [34]
11 Sebbene abbia incluso sia i dati sperimentali che quelli teorici del calcolo di Rupak,
questi ultimi danno il contributo dominante al fit, visto che la loro indeterminazione è
molto inferiore.

86 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
R, cm 3 s 1
810 -20
710 -20
610 -20
510 -20
410 -20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
E, MeV
Figura 4.1: I dati di bassa energia e il fit della funzione R(E) relativi alla
reazione p(n,γ)H2. I punti per i quali non è visibile la barra d’ errore sono
quelli ”teorici” tratti da [34].
T9 ∼ 2 lo scarto rispetto al rate usato in [63] cresce quasi linearmente; includendo
dati di energia maggiore (∼ 3 ÷ 6MeV ), è possibile verificare che
differenze percentuali di qualche permille compaiono proprio a partire da
T9 ∼ 2; per questo, ho scelto di utilizzare il nuovo rate in T9 ≤ 1.5 (che è
la regione più rilevante per la BBN e in cui esso è certamente più accurato
di quello precedentemente in uso) raccordandolo con l’ andamento di quello
del Ref. [63] a temperature maggiori. L’ errore complessivo è stato stimato
conservativamente pari a 1.2% in T9 ≤ 1.5 12 e pari al 7.3% a T9 > 1.5 13 .
Reazione 5: H2 + n ←→ γ + H3
Questa reazione gioca un ruolo importante nella sintesi del trizio solo a
temperature medio-alte. Non essendo a conoscenza di stime recenti di questo
rate nè di misure nuove rispetto a quelle eseguite sino agli anni ’60, ho
adottato l’ originaria stima di [35] 14 .
Gli autori attribuiscono al rate un errore di circa il 30% nel range T9 ∈ [0;3],
in cui il fit dei dati sperimentali di [St64,Gr63] è valido. Tenendo presente
che questo è anche l’ intervallo rilevante per la BBN, lo stesso errore è stato
assegnato a questa reazione nel codice 15 .
12
Sommati in quadratura gli errori teorici (≤ 1%), di fitting (≤ 0.3%), statistici (≤ 0.4%)
e di normalizzazione (∼ 0.5%).
13
Sommati in quadratura l’ errore del 7% quotato in [63] con quello di normalizzazione
di circa il 2% dovuto al raccordo.
14
Questa è la principale fonte dei rates riportati (spesso in forma approssimata) in [39].
15
E’ bene precisare, tuttavia, che laddove sono disponibili aggiornamenti degli altri rates
che in [35] sono derivati dai dati di [St64,Gr63], ho riscontrato talvolta scarti superiori al
doppio rispetto agli errori dichiarati.

4.3. REAZIONI DI CATTURA RADIATIVA 87
Reazione 6: He3 + n ←→ γ + He4
Questa reazione costituisce uno dei canali secondari di sintesi l’ He4 durante
la BBN. Come nel caso della reazione precedente, non esistono dati aggiornati
rispetto a quelli di [35], nei quali al rate viene attribuito un errore di
un fattore 2 nel range di validità T9 ∈ [0;3], che è anche l’ errore riportato
nel codice.
Fortunatamente, l’ abbondanza finale dell’ He4 dipende poco dal preciso
valore dei tassi delle sue reazioni di sintesi, per cui l’ approssimazione con
cui è nota tale reazione non deve destare molta preoccupazione 16 .
Reazione 7: Li6 + n ←→ γ + Li7
L’ ultimo aggiornamento per tale reazione risale al 1989, ed è riportato in
[62], purtroppo senza alcuna stima dell’ errore. Risalendo al valore di tale
rate fornito in [35], ho verificato che in quella compilation gli era attribuito
un valore di circa il 20% superiore e un errore del 30% (con un range di applicabilità
dato da T9 ∈ [0;2]). Tenendo conto dell’ aggiornamento effettuato,
risulta ragionevolmente conservativa la stima di ɛ± = ±0.3.
Reazione li7ng: Li7 + n ←→ γ + Li8
L’ ultimo aggiornamento per il rate di questa reazione risale al 1993, ed è
riportato in [71]; questo si basa sulle misure riportate in [72], affette da un
errore percentuale complessivo (sistematico+statistico) variabile a seconda
dell’ energia, ma sempre inferiore al 33.3% a 1σ; risulta quindi ragionevole
attribuire al rate la stima conservativa di ɛ = ±0.33.
4.3.2 Reazioni (p, γ)
Num Reazione Fonte
8 H2 + p ←→ γ + He3 [4]
9 H3 + p ←→ γ + He4 [37]
10 Li6 + p ←→ γ + Be7 [4]
be7pg Be7 + p ←→ γ + B8 [4]
Reazione 8: H2 + p ←→ γ + He3
E’ la principale responsabile della produzione di He3 a temperature alte e
basse (quando si apre il canale di formazione del deuterio, essa è temporaneamente
sovrastata dalla reazione forte H2 + H2 ←→ n + He3); E’ una
reazione di cattura diretta, per la quale esiste anche un modello teorico relativamente
recente ([65]); il rate presentato in [4] si basa su dati sperimentali:
16 Una maggiore importanza riveste l’ evoluzione temporale di XHe4, una cui variazione
potrebbe ripercuotersi significativamente sulle abbondanze dei nuclidi più pesanti.

88 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
questi sono accurati tra 0.1 e 10 MeV, mentre al di sotto si hanno 2 stime
distinte usate per f8low (dati di [67]) e f8high (dati di [68]); si veda il grafico
4.2.
I fit per gli errori relativi sono stati eseguiti a partire dai tabulati 17 forniti
on-line. Al decrescere della temperatura da T9 = 10 a T9 = 0.01, l’ errore
relativo cresce da circa il 5% a circa il 30%, il che giustifica l’ introduzione
di errori dipendenti dalla temperatura; a questo errore, ho sommato quello
≤ 3% dovuto all’ approssimazione di fitting.
Rispetto ai risultati precedenti, un miglioramento sostanziale si ottiene se si
considera che:
• in [69] si sottolinea la presenza di errore sistematico nei dati riportati
in [67], che vanno corretti ”al rialzo”, riducendo così il problema di
incompatibilità tra questo set di misure e quello, più datato, di [68].
• recentemente, la collaborazione LUNA 18 ha eseguito una misura della
sezione d’ urto di tale reazione ad energie basse, sino al picco di Gamow
solare (E = 6.5×10 −3 MeV ).
Ho quindi eseguito un fit di tutti i dati a disposizione con un polinomio
cubico (si veda il grafico 4.3); il chi-quadro ridotto pari a 1.4, pur se probabilmente
influenzato da qualche effetto sistematico residuo, può considerarsi
compatibile con una dispersione ”quasi-statistica” dei dati. Sicuramente, il
rate (ricavato col procedimento descritto al 3.2.2) risulta più affidabile del
precedente, dal quale si discosta per circa il 2.5%; la propagazione lineare
degli errori statistici sui parametri fittati conduce ad un errore sul rate inferiore
al 3%; per quanto forse troppo ottimistica e non del tutto giustificata,
questa va considerata una stima dell’ incertezza molto più realistica di quella
fornita in [4], visto il numero e la qualità dei dati ormai raccolti.
Reazione 9: H3 + p ←→ γ + He4
Il rate più recente pubblicato per questa reazione è in [37], ma, a meno di
aggiornamenti delle costanti fisiche usate, si basa sugli stessi dati impiegati
nella prima compilation ([35]), risalenti al 1957; in quella sede, l’ errore
dichiarato sul rate (il cui fit è valido in T9 ∈ [0;10]) è del 20%, che è anche
il valore adottato nel codice.
Per il ruolo non del tutto trascurabile giocato da questa reazione sarebbero
auspicabili nuovi dati.
Reazione 10: Li6 + p ←→ γ + Be7
Il rate aggiornato per questo processo è tratto da [4]; esso si basa sul calcolo
di cattura diretta di [BA80] normalizzato ai (pochi) dati di [SW79]; dai
17 In corrispondenza di flow(T9 = 0.14) ho corretto il refuso 8.67 → 0.867.
18 Si veda la Ref. [66].

4.3. REAZIONI DI CATTURA RADIATIVA 89
Figura 4.2: Il fattore astrofisico della H2(p,γ)He3 usato in [4].
e bL
Sfactor H V
100
10
1
0.1
0.001 0.01 0.1 1
E HMeVL
Figura 4.3: Il nuovo fit.

90 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
tabulati si può stimare un errore di circa il 20%, cui va aggiunto un 7% di
errore di fitting.
Sarebbe opportuno prendere nuovi dati, anche se la sua importanza per la
sintesi del Be7 (e nella distruzione del Li6) è relativamente limitata.
Reazione be7pg: Be7 + p ←→ γ + B8
Questa reazione ha una certa importanza in relazione all’ emissione neutrinica
solare (vedi reazione 13). I dati sperimentali di cui si tiene conto in
[4] sono abbastanza numerosi, ma tutti tranne quelli di [HA98] sono misure
relative rispetto alla Li7+H2 ←→ p+Li8, la cui determinazione più recente
è in [ST96a]. I nuovi valori misurati per questa reazione di normalizzazione
e il fatto che il fit è eseguito sulla base del calcolo teorico microscopico di
[DE94a] danno conto delle differenze della nuova stima rispetto a quella presentata
in [37]. Dai tabulati presentati in [4] 19 si può vedere che l’ errore
relativo varia nell’ intervallo 10.5% ÷ 14.5%, in maniera analoga per il lower
limit e l’ upper limit; la variazione non è tanto rilevante da suggerire l’ utilizzo
di un errore dipendente dalla temperatura; prudenzialmente, ho scelto
ɛ = ±0.18, tenendo conto di un errore nel fitting minore o uguale a 11%.
4.3.3 Reazioni (d, γ)
Num Reazione Fonte
11 H2 + H2 ←→ γ + He4 [4]
12 He4 + H2 ←→ γ + Li6 [4]
li7dg Li7 + H2 ←→ γ + Be9 questa tesi
Reazione 11: H2 + H2 ←→ γ + He4
Questa reazione merita una discussione più dettagliata in virtù di alcune
caratteristiche che la rendono interessante sia da un punto di vista ”storico”
che da uno ”fisico”. Infatti, essa risulta emblematica delle ripercussioni
che un nuovo risultato sperimentale o una nuova previsione teorica possono
avere sull’ importanza di un canale della BBN.
Innanzitutto, è opportuno osservare come un tempo la si ritenesse potenzialmente
importante nella sintesi di He4; intorno al 1950, agli albori dello
studio quantitativo della Nucleosintesi Primordiale, Fermi e Turkevich
sovrastimarono il tasso di questa reazione di un fattore ∼ 1000 e, al contempo,
sottostimarono tipicamente di un fattore 10 le catture radiative rilevanti
19 Successivamente alla compilazione di NACRE ci sono state altre misure di questa
sezione d’ urto ([99], [100] e [101]); sebbene esse non concordino sulla corretta estrapolazione
ad energia zero, un’ analisi quantitativa sembra escludere una influenza rilevante
di questi dati sulla BBN. Pertanto si è adottata la stima fornita nel [4].

4.3. REAZIONI DI CATTURA RADIATIVA 91
per la sintesi dell’ elio 20 . Varie analisi hanno successivamente ridimensionato
il suo interesse per la BBN.
Su consiglio del professor Belyaev di Dubna, tuttavia, ho approfondito l’
indagine sulle conoscenze (sia sperimentali che teoriche) riguardo al comportamento
della sezione d’ urto a basse energie (EH2lab < 1MeV ). In particolare,
i dati del [88] sotto i 100keV mostrano un branching ratio Γ H2(d,γ)
Γ H2(d,p)
quasi indipendente dall’ energia e di almeno un paio di ordini di grandezza
superiore alle precedenti estrapolazioni lineari. Essi hanno erroneamente
interpretato questo risultato come segno di una forte rilevanza di una transizione
di dipolo magnetico(M1).
Tuttavia, in base ad una semplice analisi teorica, ci si aspetta che i dati
riflettano il contributo di una componente D nello stato fondamentale dell’
He4 21 . Oltre alle misure citate in precedenza, esistono anche altre evidenze
di tale effetto, ottenute ad esempio da distribuzioni angolari (si veda a tal
proposito la Ref. [90]).
Calcolando l’ energia del picco di Gamow in corrispondenza delle tre temperature
T = (0.01,0.1,1)MeV si trova:
E0 = T
1/3 EG
= (0.040,0.18,0.85)MeV
4T
Poichè la novità nei dati sembra riguardare energie inferiori a circa 3 ÷
4×10 −2 MeV (si veda la tabella 4.4), è prevedibile un effetto marginale per
la BBN. La conferma di questa previsione l’ ho avuta calcolando il rate
20 Nota Storica: i modelli teorici allora a disposizione erano più rudimentali e, soprattutto,
le misure nucleari alle scale rilevanti per l’ astrofisica erano poche; riguardo ai processi
di fusione di H1, H2 e H3 in He3 e He4, poi, queste erano coperte da segreto militare.
Ricordiamo che la prima bomba a fissione/fusione esplose nel 1951 e che il lavoro di Fermi
e Turkevich non è mai stato pubblicato.
21 L’ identità delle particelle bosoniche collidenti nel canale di ingresso restringe gli stati
di scattering 2S+1 LJ a quelli per i quali S ha la stessa parità del momento angolare orbitale
L. Pertanto, limitandosi ai soli multipoli di ordine L ≤ 2, le transizioni permesse sono:
(E1; 3 P1),(M1; 5 D1),(E2; 1 D2),(E2; 5 S2),
(E2; 5 D2),(E2; 5 G2),(M2; 3 P2),(M2; 3 F2)
La conservazione dell’ isospin in nuclei ”autoconiugati” implica che (a basse energie) le
transizioni E1 siano proibite e che quelle M1 siano soppresse tra stati con lo stesso isospin.
Ci si aspetta che il contributo dominante al processo sia una transizione E2.
In effetti, per 10 MeV < EH2lab < 60 MeV , la sezione d’ urto differenziale mostra un
andamento ∝ sin 2 2θ, unversalmente interpretato come segnatura di una transizione E2
dallo stato di scattering 1 D2 alla componente 1 S0 dello stato fondamentale dell’ He4.
La componente 5 D0 dell’ He4, sebbene molto meno probabile di quella 1 S0 è permessa dal
carattere tensoriale dell’ interazione nucleare (”mixing-state” dell’ He4, analogo al ben
più studiato caso di onda D nel deutone) e può essere popolata mediante transizioni E2
dagli stati di scattering iniziali 5 S2, 5 D2 e 5 G2, tutti con S = 2; al decrescere dell’ energia
del deutone incidente, la barriera centrifuga sopprimerà tutti gli stati di scattering con
L = 0 rispetto allo stato in onda S ( 5 S2)(si veda [89]).

92 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
corrispondente ad un fattore astrofisico da me ricavato fittando le cinque
misure ”anomale” di bassa energia più alcuni punti di energie intermedie
e alte che sembrano scartare verso l’ alto rispetto al fattore astrofisico di
best-fit di tutti i dati. Il contributo dei dati di [88] al rate totale intorno a
T9 ∼ 1 è dell’ ordine del 20%; tale stima dell’ upper limit concorda entro
scarti del 10% con quella di NACRE. Solo a temperature T ∼ 10 8 K, ormai
poco rilevanti) il peso dei dati di bassa energia modifica sino al 100% il rate
di best-fit.
Reazione 12: He4 + H2 ←→ γ + Li6
Pur essendo una debole transizione di quadrupolo elettrico, questa è la
principale reazione di produzione di Li6; è nota sperimentalmente solo ad
E > 1MeV e attorno alla risonanza di 0.711Mev; a basse energie si hanno
solo upper limits poco stringenti; le varie stime teoriche riportate in [4] per
il rate non risonante a basse energie differiscono tra loro di 1 ÷ 2 ordini di
grandezza e sono usate per stabilire gli upper e lower limits. A causa di
queste caratteristiche, è necessario ricorrere ad un errore dipendente dalla
temperatura (cui va aggiunto un 4% di errore di fitting).
Vista la relativa importanza del nuclide Li6, sarebbe molto importante
disporre di nuove informazioni sperimentali; solo così si sarebbe in grado
di escludere, ad esempio, che una frazione significativa del Li6 osservato
(o osservabile in un prossimo futuro) sia riconducibile ad una sintesi
primordiale.
Figura 4.4: I dati di bassa energia e il fit del fattore astrofisico relativi alla
reazione H2(d,γ)He4 (da [4]).

4.3. REAZIONI DI CATTURA RADIATIVA 93
Reazione li7dg: Li7 + H2 ←→ γ + Be9
Le informazioni su questa reazione potenzialmente rilevante per la produzione
di Be9 sono molto scarse, particolarmente a basse energie.
In [91] viene riportato sia un upper limit di 600eV sull’ ampiezza per decadimento
γ dello stato risonante del Be9 a J Be9 ∗ = 1/2 ed E ∗ Be9 = 16.9752 22 ,
sia un upper limit al contributo di DI a questa reazione.
Convenzionalmente ho posto il valore adottato e il lower limit rispettivamente
pari ad 1/10 ed 1/100 del valore massimo così calcolato.
4.3.4 Reazioni (t, γ) e (τ, γ)
Num Reazione Fonte
13 He3 + H3 ←→ γ + Li6 [59]
14 He4 + H3 ←→ γ + Li7 [4]
15 He4 + He3 ←→ γ + Be7 [4]
li6tg Li6 + H3 ←→ γ + Be9 mia stima
be7tg Be7 + H3 ←→ γ + B10 mia stima
li7he4g Li7 + He3 ←→ γ + B10 mia stima
Reazione 13: He3 + H3 ←→ γ + Li6
Questa reazione è tipicamente esclusa dai codici di BBN in uso. Tuttavia,
la necessità di analizzarne l’ importanza per la sintesi del Li6 è motivata
dalla peculiare situazione della reazione 12.
Il più recente rate pubblicato è in [58], tratto dal report [59]. I dati utilizzati
per il calcolo del rate sono tratti dalle più recenti (e dettagliate) misure
(nell’ intervalllo di energie ECM ∈ [0;3.60]MeV , rilevante per la BBN), che
risalgono al 1968 e sono riportate in [70], al quale rimando anche per i riferimenti
agli esperimenti precedenti.
In questo lavoro sono disponibili misure della sezione d’ urto differenziale
a 90 ◦ per le transizioni allo stato fondamentale e ai primi due stati eccitati
del Li6, rivelate mediante i γ emessi; avendo anche determinato la
distribuzione angolare delle emissioni, si può stimare la sezione d’ urto totale
della reazione, con l’ accortezza di includere solo i dati relativi allo stato
fondamentale e al secondo stato eccitato, poichè il primo decade essenzialmente
in H2+He4. L’ analisi presentata nell’ articolo mostra come i dati si
accordino bene con le previsioni di un modello di DI, con transizioni mediate
da un operatore di dipolo elettrico.
Ripetendo il fit del fattore astrofisico estratto dai dati con un polinomio cubico
(anzichè quadratico) e calcolando il rate mediante le formule analitiche
presentate in 3.2.2, non ho riscontrato differenze significative rispetto al
risultato quotato in [59].
22 Ciò corrisponde E ∗ CM = 0.2795 MeV .

94 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
Il rate risultante è di 3 ÷ 4 ordini di grandezza superiore a quello della 12,
come ci si potrebbe aspettare grossomodo dai rappporti di ampiezza E2/E1
forniti dalle stime di Weisskopf (si veda l’ appendice D). Tuttavia, la minore
abbondanza di He3 e H3 rispetto a He4 e H2 ne ridimensiona il ruolo nella
produzione di Li6 rispetto alla 12: per un ampio range di η, essa contribuisce
al più al percento all’ abbondanza finale del nuclide.
Ciononostante, è opportuno includerla nel codice per due motivi:
1. Una volta che si dovessero avere nuovi dati sulla reazione 12 (affetta
da una grossa incertezza), il peso relativo di questo processo potrebbe
anche aumentare.
2. Questo stesso rate è affetto da una certa indeterminazione; l’ andamento
dei dati del [70] sembra in buon accordo con quello teoricamente
previsto da modelli di DI; nel [59] viene ritenuta improbabile l’ esistenza
di una significativa risonanza a basse energie (ricordiamo che non
si hanno dati per E < 0.26MeV ); tuttavia, la normalizzazione della
sezione d’ urto potrebbe essere sottostimata anche di un fattore 3,
stando alla regola di somma per transizioni di tipo E1 (si veda la Ref.
8 in [59]); le discrepanze con alcune delle precedenti misure, valutabili
in un fattore 0.2 ÷ 5, non escludono un’ eventualità del genere.
Reazione 14: He4 + H3 ←→ γ + Li7
E’ la principale reazione di produzione diretta di Li7. Il rate presentato in [4]
(affetto da un’ indeterminazione globale di circa il 12%), grazie alle misure
di [BR94], può contare su una migliore statistica dei dati e su incertezze
minori rispetto a quello precedentemente usato nel codice (tratto da [63]).
Reazione 15: He4 + He3 ←→ γ + Be7
E’ la principale reazione di produzione di Be7 e quindi, indirettamente, di
Li7. E’ stata oggetto di numerosi studi, sia teorici che sperimentali, perchè
mediante una successiva cattura protonica viene sintetizzato il B8; questo,
che decade per interazione debole, è una delle più importanti sorgenti di
neutrini solari (vedi anche [63]).
L’ incertezza totale da cui è affetto il rate è circa pari al 18%.
Reazione li6tg: Li6 + H3 ←→ γ + Be9
Questa reazione può essere tranquillamente ignorata, visto che ci si attende
un contributo trascurabile:
• alla distruzione del Li6
(è una reazione di cattura radiativa e chiama in causa il poco abbondante
trizio);

4.3. REAZIONI DI CATTURA RADIATIVA 95
• alla produzione di Be9
(è soppressa dai fattori di densità del trizio e di Li6 rispetto alla
Li7(d,γ)Be9; inoltre è una DC e pertanto molto meno intensa delle
concorrenti Li7(t,n)Be9, Li7(τ,p)Be9 e Be7(t,p)Be9).
Reazione be7tg: Be7 + H3 ←→ γ + B10
Sicuramente trascurabili ai fini della distruzione del Be7 e del Li7, questa
reazione e la successiva probabilmente hanno una certa importanza nella
sintesi diretta del B10 (i.e. da nuclidi più leggeri).
Poichè non disponevo di informazioni sperimentali su tali reazioni, ne ho
stimato il rate in base alla formula presentata in appendice D, attribuendole
convenzionalmente un’ incertezza di un fattore 10. Non è da escludere che
il valore così ottenuto possa differire anche di diversi ordini di grandezza
da quello reale. Più affidabile è, invece, la stima del loro rapporto, che è
presumibile attribuire essenzialmente ai diversi fattori di penetrazione.
Reazione li7he3g: Li7 + He3 ←→ γ + B10
Si veda la reazione precedente.
4.3.5 Reazioni (α, γ)
Num Reazione Fonte
li6ag Li6 + He4 ←→ γ + B10 [37]
li7ag Li7 + He4 ←→ γ + B11 [4]
be7ag Be7 + He4 ←→ γ + C11 [4]
Reazione li6ag: Li6 + He4 ←→ γ + B10
Non avendo trovato aggiornamenti per questa reazione, ho lasciato invariato
il rate pubblicato in [37]. L’ indeterminazione è posta pari ad un fattore
2, ma potrebbe essere interessante reperire le pubblicazioni originarie per
eseguire una stima realistica dell’ errore.
Reazione li7ag: Li7 + He4 ←→ γ + B11
Il rate pubblicato in [37] è stato aggiornato in [4]; nonostante il fatto che
i dati sperimentali considerati nelle due compilations siano gli stessi, una
più attenta analisi di 2 risonanze modifica significativamente il nuovo rate a
T9 ≤ 0.1 e a T9 ≥ 0.7. L’ errore è stato ottenuto mediante una interpolazione
(conservativa) dei dati tabulati, mentre il rate adottato è stato migliorato
notevolmente a temperature T9 ≥ 1, portando l’ errore massimo di fitting a
meno del 12% (tipicamente, però, esso è di qualche percento).

96 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
Reazione be7ag: Be7 + He4 ←→ γ + C11
Molto scarsi i dati sperimentali per questo processo, essendo limitati alle
sole prime 2 risonanze (Er1 = 0.560 MeV e Er2 = 0.877 MeV ); esistono
calcoli teorici della sezione d’ urto per E ≤ 1 MeV su cui si basa la stima
del rate per T9 ≤ 0.7, ma alcuni parametri del modello sono noti con grande
indeterminazione.
In [4], è stato eseguito un calcolo basato sul modello di HF per la stima
del rate per T9 ≥ 2 ( aggiungiamo che, per gran parte del range del rate
pubblicato in [37] non è stata rintracciata la fonte).
E’ chiara, quindi, la necessità di nuove misure e nuovi calcoli per ridurre la
grande indeterminazione che caratterizza questa reazione.
4.4 Reazioni di Scambio di Carica
Num Reazione Fonte
16 He3 + n ←→ p + H3 [75]
17 Be7 + n ←→ p + Li7 [63]
be7the3 Be7 + H3 ←→ He3 + Li7 -
Queste reazioni ((n,p)/(p,n) e (t,τ)/(τ,t)) non fanno altro che regolare
i rapporti tra nuclei isobari (per A ≤ 7, tra He3 e H3 e tra Li7 e Be7).
Poichè in entrambi i casi solo uno dei due nuclidi è stabile (e, quindi, potenzialmente
osservabile), di fatto esse sono più rilevanti per i possibili canali
aperti verso i nuclei con A > 7 che non per l’ abbondanza finale dei nuclidi
leggeri.
In tale ottica, tenuto peraltro conto della soppressione dovuta al fattore di
densità, riveste un’ importanza marginale la Be7(t,τ)Li7.
Reazione 16: He3 + n ←→ p + H3
Questo processo mantiene in equilibrio He3 e H3 ad alte temperature; nella
BBN, gioca un ruolo importante nel determinare le abbondanze finali di
He3 e Li7; in [73] si riportano nuove e più accurate misure della sezione d’
urto del processo inverso nei pressi della soglia (zona rilevante per la BBN)
e viene eseguito un nuovo fit del rate di reazione (sui vecchi dati), con un
errore stimato pari a circa il 5% nel range rilevante per la Nucleosintesi
Primordiale, con un abbassamento del valore centrale di circa il 5% rispetto
al rate pubblicato in [63], e un dimezzamento dell’ incertezza. In [75], è
stato presentato un nuovo rate, ottenuto integrando il database precedente
con i nuovi dati, con una stima dell’ errore (ad 1σ) di circa il 3.5%, che è
quella adottata.

4.5. REAZIONI DI STRIPPING/PICKUP (S/P) 97
Reazione 17: Be7 + n ←→ p + Li7
E’ la responsabile principale della conversione Be7/Li7 durante la BBN
(nelle fasi finali e successive domina la 3); è ben nota sperimentalmente da
25meV (σth) a 13.5keV ; per energie superiori ci si basa sui dati dell’ inversa
(per ulteriori dettagli, si veda [63]).
L’ errore totale riportato in [63] è del 9% (1 σ). L’ analisi successiva riportata
in [75] suggerisce un errore statistico inferiore, pari a circa il 3.5%;
combinandolo in quadratura con l’ errore di fitting del 6% si trova una stima
dell’ errore ad una σ pari al 7%.
4.5 Reazioni di Stripping/Pickup (S/P)
4.5.1 Reazioni S/P di H2
Num Reazione Fonte
18 H2 + H2 ←→ n + He3 [4]
19 H2 + H2 ←→ p + H3 [4]
20 H3 + H2 ←→ n + He4 [4]
21 He3 + H2 ←→ p + He4 [63]
22 Li6 + H2 ←→ n + Be7 [62]
23 Li6 + H2 ←→ p + Li7 [62]
li8pd Li8 + p ←→ H2 + Li7 [62]
b8nd B8 + n ←→ H2 + Be7 mia stima
Reazione 18: H2 + H2 ←→ n + He3
E’ il principale processo di produzione di He3 a T9 ∼ 1, ed è un tipico processo
DI. Le energie interessanti per la BBN vanno da 0 sino a circa 2.46
MeV, con particolare importanza del range E ≤ 0.4MeV (vedi la tabella
4.1).
T (MeV ) E0 (MeV ) ∆E0 (MeV )
0.01 0.0291038 0.0393977
0.1 0.135088 0.268414
1.0 0.627022 1.82868
Tabella 4.1: Energia e larghezza del picco di Gamow a tre temperature di
riferimento per le reazioni H2(d,n)He3 e H2(d,p)H3.
Il rate di [4], basato sui dati sperimentali pubblicati in [95], [96], [97] e
[98], presenta differenze notevoli rispetto a quello pubblicato in [37] (sino
ad un fattore 10); meno marcate, ma comunque rilevanti, sono le differenze

98 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
con il rate presentato in [63] (precedentemente usato in BBNCODE), come è
mostrato nella tabella 4.2; le differenze sono da attribuire essenzialmente
al progressivo aggiornamento del database sperimentale passando da [37] a
[63] e, infine, a [4].
In tutti i casi, il fattore astrofisico S è fittato con un polinomio quadratico.
T (MeV) new f old f ratio new/old
0.01 3.56×10 5 3.46×10 5 1.03
0.1 1.55×10 7 1.61×10 7 0.963
1.0 1.01×10 8 1.47×10 8 0.688
Tabella 4.2: Confronto tra il rate della 18 aggiornato (da [4]) e quello
precedentemente usato (da [63]) a tre temperature di riferimento.
S(E) = S0 + S1 E + S2 E 2 ,
L’ errore sul rate ad alte temperature dipende dai dati piuttosto accurati
di [95], ed è dell’ ordine di pochi punti percentuali; a temperature inferiori,
esso sale sino a circa il 10%, riflettendo la parziale incompatibilità dei dati
di [96] e [98], usati rispettivamente per dedurre il lower rate e l’ upper rate.
Poichè questa reazione, così come la successiva, determina una buona parte
dell’ incertezza nell’ abbondanza finale del deuterio, ho eseguito un’ analisi
ex-novo dei dati riportati nella letteratura citata.
Utilizzando il budget degli errori così come pubblicato da [4], e la tecnica
di integrazione ”semianalitica” descritta nel 3.2.2, il rate risultante concorda
bene con quello di NACRE (affetto da un’ indeterminazione di fitting
inferiore o uguale al 4%).Sommando in quadratura agli errori statistici l’ indeterminazione
di ”scala” dell’ 1.3% nei dati di [97] (omessa da [4]) e quella
di circa il 2.5 ÷ 3.5% in quelli di alta energia di [95], il chi-quadro ridotto
migliora decisamente, passando a circa 1.61 se si usa una cubica per fittare
i dati. La propagazione lineare degli errori sui parametri di fitting permette
di stimare un’ indeterminazione sul rate minore o uguale all’ 1.8% 23 .
Reazione 19: H2 + H2 ←→ p + H3
Questa reazione è responsabile della gran parte del trizio sintetizzato a T9 ≤
1. Le energie rilevanti per la BBN sono riportate nella tabella 4.1.
Le fonti dei dati utilizzati in [4] coincidono con quelle relative alla 18, ma la
statistica è più ricca. A differenza della precedente, in [63] era semplicemente
23 Per l’ interpretazione di questo dato si vedano gli analoghi commenti fatti per la
reazione H2(p,γ)He3.

4.5. REAZIONI DI STRIPPING/PICKUP (S/P) 99
riportato il rate valutato in [36] 24 ; la tabella 4.3 evidenzia le piccole differenze
della nuova valutazione rispetto a quella di [36] precedentemente inserita in
BBNCODE.
Anche in questo caso, la reazione ha natura non risonante, per cui il fattore
T (MeV) new f old f ratio new/old
0.01 343728 343344 1.00
0.1 1.32×10 7 1.35×10 7 0.981
1.0 8.19×10 7 8.27×10 7 0.991
Tabella 4.3: Confronto tra il rate della 19 aggiornato (da [4]) e quello
precedentemente usato (da [36]) a tre temperature di riferimento.
astrofisico viene fittato con una forma polinomiale (quella utilizzata in [35]
e [4] è quadratica). L’ indeterminazione tabulata da NACRE varia poco
con la temperatura, passando da un 4.2% ad un 3.2% circa tra T9 = 0.1 e
T9 = 10; per semplicità, ho preferito usare un valore costante pari al 4% 25 .
Anche in questo caso valgono osservazioni analoghe a quelle svolte per la
reazione precedente riguardo all’ error-budget. Inoltre, essendo disponibili
per questa reazione dei dati di energia molto bassa ([98]), inclusi in [4] senza
tener conto dello screening elettronico (tranne che per il dato di energia più
bassa, con un potenziale apparentemente sottostimato) una correzione dei
dati per questo effetto sistematico risulta rilevante quantomeno nel ridurre
il χ 2 r a valori dell’ ordine di 1.1, certamente compatibili con una dispersione
statistica dei dati. Un’ analisi preliminare suggerisce che l’ entità dell’ errore
statistico sul rate (dopo siffatte correzioni) possa aggirarsi attorno a valori
dell 1 − 2%.
Reazione 20: H3 + H2 ←→ n + He4
Questa reazione è, con la 21, la principale responsabile della sintesi di He4.
Essa è ben nota sperimentalmente nel range di energie [0.05,10] MeV (ricordiamo
che la ”finestra” utile alla BBN è tra 0 e 2.55 MeV circa). Al
fondo non risonante è sovrapposta una risonanza larga con ER = 0.064
MeV e Γ = 0.076±0.012 MeV; ciò consente di utilizzare una formula di
Breit-Wigner per estrapolare con una certa affidabilità il fattore astrofisico
anche ad energie inferiori al range coperto dai dati. Le differenze con le
precedenti compilations [37] e [63] sono marginali (si veda la tabella 4.4)
e attribuibili ai diversi approcci numerici usati (il database sperimentale,
24 Nonostante la più recente pubblicazione del rate in [37], in [63] constatano come
questa riproduca peggio i dati, soprattutto ad alte energie; per un confronto quantitativo,
si rimanda anche ai tabulati presentati da NACRE.
25 Se si usa il rate pubblicato nel ref. [4], va sommato in quadratura quello di fitting,
valutato inferiore al 5%, ottenendo ɛ± = ±6.4%.

100 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
infatti, non è variato dal 1987).
L’ errore sul rate a T9 ≤ 1 è inferiore al 5%, mentre sale sino al 40% a
T (MeV) new f old f ratio new/old
0.01 6.76×10 7 7.59×10 7 0.890
0.1 4.75×10 8 4.79×10 8 0.991
1.0 1.61×10 8 1.51×10 8 1.07
Tabella 4.4: Confronto tra il rate della 20 aggiornato (adattato da [4])
e quello precedentemente usato (tratto da [63]) a tre temperature di
riferimento.
T9 = 10, a causa di una certa dispersione nei dati. Queste caratteristiche
rendono necessario l’ utilizzo di un errore dipendente dalla temperatura; inoltre,
il fit pubblicato da NACRE, per l’ esigenza di riprodurre l’ andamento
del rate in un vasto intervallo di temperatura, presenta un errore che raggiunge
anche l’ 8%; un’ incertezza del genere comprometterebbe la qualità
dei dati tabulati per T9 ≤ 2; ho quindi realizzato un nuovo fit, adatto al
range della BBN, nel quale lo scarto dai valori tabulati è sempre inferiore al
2%. Infine, ho ottenuto l’ errore totale sommando in quadratura l’ errore di
fitting all’ errore sperimentale.
Reazione 21: He3 + H2 ←→ p + He4
Con la 20 è la principale responsabile della produzione di He4. E’ abbastanza
ben nota sperimentalmente, con aumento della dispersione dei dati per E ≤
0.1MeV (il range di energie rilevante per la BBN è 0 ÷ 3.43 MeV). Il rate
adottato è tratto da [63], in cui l’ errore totale stimato ad 1 σ è pari a 8%, che
è anche l’ errore attribuito nell’ aggiornamento del codice. Poichè è analoga
alla 20, la validità del fitting di [63] può stimarsi dal fatto che il rapporto tra
il rate della 20 tratto da [4] e il corrispondente rate pubblicato in [63] non
si discosta significativamente da 1 nel range rilevante per la Nucleosintesi
Primordiale (si veda la tabella 4.4).
Reazione 22: Li6 + H2 ←→ n + Be7
Le due reazioni 22 e 23 non erano sinora incluse nel codice; avendo a disposizione
i rates pubblicati in [62], ho potuto stimarne l’ effetto già durante una
prima analisi, che mi ha suggerito fortemente la loro inclusione; esse rivestono
una certa importanza sia come canali di distruzione del Li6 che come
meccanismo di sintesi del Li7 e del Be7 (pur essendo il Li6 poco abbondante,
queste sono reazioni forti, mentre le ”leading” 14 e 15 sono catture radiative).
Sarebbe opportuno disporre di informazioni sperimentali dettagliate
su tali reazioni nel range interessante per la BBN E ∈ [0 ÷ 2.46]MeV .

4.5. REAZIONI DI STRIPPING/PICKUP (S/P) 101
Reazione 23: Li6 + H2 ←→ p + Li7
Vale quanto già esposto per la reazione 22.
Reazione li8pd: Li8 + p ←→ H2 + Li7
Questa reazione e la successiva sono state introdotte nel codice per la prima
volta. Il rate della sua inversa è stato pubblicato nel [62] e ridiscusso in [71].
E’ da osservare come la creazione di nuclidi con A = 8 mediante stripping
del deutone risulti energeticamente sfavorita, contrariamente a quello che si
verifica per A = 7 (reazioni 22 e 23). Questa è una manifestazione del ”gap”
di stabilità in corrispondenza di A = 8.
Reazione b8nd: B8 + n ←→ H2 + Be7
Non sono a conoscenza di rates pubblicate per questa reazione. Ho eseguito
una stima moltiplicando il reverse della Li8+p −→ H2+Li7 (ricavato in base
al principio del bilancio dettagliato) per il fattore correttivo valutato come
descritto in appendice D per le reazioni endoenergetiche; l’ indeterminazione
assunta è di un fattore 5.
4.5.2 Reazioni S/P di H3 e He3
Num Reazione Fonte
24 Li6 + n ←→ H3 + He4 [37]
25 Li6 + p ←→ He3 + He4 [4]
26 He3 + H3 ←→ H2 + He4 [37]
li6td Li6 + H3 ←→ H2 + Li7 mia stima
li6he3d Li6 + He3 ←→ H2 + Be7 mia stima
li6tp Li6 + H3 ←→ p + Li8 -
b8nhe3 B8 + n ←→ He3 + Li6 -
li7tn Li7 + H3 ←→ n + Be9 [77]
li7he3p Li7 + He3 ←→ p + Be9 questa tesi
be7tp Be7 + H3 ←→ p + Be9 questa tesi
li8dt Li8 + H2 ←→ H3 + Li7 mia stima
b8dhe3 B8 + H2 ←→ He3 + Be7 mia stima
Reazione 24: Li6 + n ←→ He4 + H3
Tale reazione ha un ruolo non trascurabile nella distruzione del Li6. Un
primo rate per questa reazione risale a [35]; l’ ultimo aggiornamento è quello
pubblicato in [37], ma senza indicazione d’ errore. Una proposta di comodo
(e piuttosto conservativa) è quella di adottare come stima migliore quella di

102 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
[37], con le incertezze pari al 10% (che è quella dichiarata nei dati riportati
in [35].).
Reazione 25: Li6 + p ←→ He4 + He3
E’ la principale reazione di distruzione di Li6; il rate adottato è tratto da [4]
e si basa su dati sperimentali; questi sono abbondanti e abbastanza accurati
tra 0.1 e 10 MeV, tanto che lo scarto tra i valori high e low e quelli adottati
per il rate è circa pari al 10%. Tenendo conto dell’ errore di fitting, una
stima conservativa per l’ errore complessivo è del 12%.
Reazione 26: He3 + H3 ←→ H2 + He4
Una delle principali lacune della vecchia versione del codice consiste nell’
assenza delle reazioni tra due nuclidi con A = 3. La sola reazione di questo
tipo inclusa è la He3(τ,pp)He4, probabilmente a causa della sua (relativa)
importanza in ambito solare 26 . A differenza degli ambienti stellari, però,
nella BBN le quantità di trizio presenti non sono sempre trascurabili (se
paragonate all’ He3), il che giustifica l’ introduzione delle analoghe:
H3(t,nn)He4 e He3(t,np)He4
(reazioni 32 e 33, con rates tratti da [37]).
Sempre dal canale He3+H3 hanno pure origine la reazione 13 He3(t,γ)Li6,
di cui si è già discusso, e, appunto, la reazione in questione.
Questa ha la caratteristica di essere l’ unica reazione che coinvolga nuclidi
con A ≤ 4 a produrre deuterio (a parte ovviamente la p(n,γ)H2);
concettualmente essa svolge un importante ruolo di ”reazione negativa” (o
backreaction) sul ciclo del H2 (anche se, quantitativamente, tale effetto è
piccolo).
Il rate utilizzato è quello pubblicato in [37], con un’ indeterminazione convenzionale
di un fattore 2 (la stessa attribuita alle 32 e 33).
Reazione li6td: Li6 + H3 ←→ H2 + Li7
In base a semplici considerazioni, non sembra necessaria un’ analisi approfondita
di questa reazione: il suo contributo alla sintesi di Li7 sarà senz’
altro irrisorio rispetto a quello della ”leading” 14 o anche rispetto a quello
della 23 (introdotta per la prima volta nel codice con questo aggiornamento);
riguardo all’ effetto sul rate di distruzione del Li6, non c’ è da aspettarsi che
questo processo possa essere competitivo con le interazioni di questo nuclide
con protoni, neutroni e deutoni.
26 Essa ”chiude” il ramo principale del ciclo pp stellare.

4.5. REAZIONI DI STRIPPING/PICKUP (S/P) 103
Reazione li6he3d: Li6 + He3 ←→ H2 + Be7
Valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per la reazione precedente, a
meno delle sostituzioni 14 → 15 e 23 → 22.
Reazione li6tp: Li6 + H3 ←→ p + Li8
Non sono a conoscenza di dati e/o previsioni teoriche per il rate di questa
reazione; tuttavia, è ragionevole attendersi che il suo ruolo nella distruzione
del Li6 sia irrilevante non solo rispetto alle reazione 25, ma anche rispetto
alla Li6+H2 ←→ He4+He4; il suo peso nella produzione di Li8 andrebbe
valutato con maggiore attenzione, ma dubito che, pur trattandosi di un
processo forte, sia in grado di competere con la Li7+n ←→ γ +Li8, a causa
della densità bassa di Li6 e H3.
Reazione li7tn: Li7 + H3 ←→ n + Be9
L’ introduzione di questa reazione è legata più alla produzione di Be9 che
ad un ruolo nella distruzione di Li7, che comunque vale la pena analizzare.
Le misure aggiornate nel range della BBN e il calcolo del rate sono riportate
in [77]; una stima conservativa dell’ errore può ottenersi sommando
in quadratura il 6% di errore massimo di fitting con il 15% di errore di
normalizzazione 27 ; pertanto ɛ = ±0.162.
Reazione li7he3p: Li7 + He3 ←→ p + Be9
Non avendo a disposizione dati o calcoli teorici per questo processo, ne ho stimato
il rate a partire dalla conoscenza di quello dell’ omologa Li7+H3 ←→
n + Be9, moltiplicandola per una funzione correttiva (polinomio quadratico
in 1/t), ottenuta mediante un fitting del rapporto tra i rates di reazione,
così come previsto dal modello descritto in appendice D; ho implicitamente
assunto l’ identità nei parametri delle risonanze per le due reazioni, il che
dovrebbe essere rigorosamente vero nel limite in cui la simmetria di isospin
è esatta.
Reazione be7tp: Be7 + H3 ←→ p + Be9
Valgono le stesse considerazioni svolte per la reazione precedente.
Reazione li7td: Li7 + H3 ←→ H2 + Li8
Per questa reazione e la successiva mi sono limitato a porre degli upper
limits ai rates, stimandoli con la procedura descritta in appendice D.
27 Questo, come spiegato nel [77], dipende essenzialmente dalla conoscenza della reazione
Si28(n, α)Mg25.

104 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
Reazione be7he3d: Be7 + He3 ←→ H2 + B8
Vale quanto detto per la precedente.
4.5.3 Reazioni di Pickup di He4
Num Reazione Fonte
27 Be7 + n ←→ He4 + He4 [39]
28 Li7 + p ←→ He4 + He4 [4]
be9pa Be9 + p ←→ He4 + Li6 [4]
b10na B10 + n ←→ He4 + Li7 [4]
b10pa B10 + p ←→ He4 + Be7 [4]
29 Li6 + H2 ←→ He4 + He4 [74]
be9da Be9 + H2 ←→ He4 + Li7 mia stima
30 Be7 + H3 ←→ He4 + Li6 mia stima
31 Li7 + He3 ←→ He4 + Li6 mia stima
b8ta B8 + H3 ←→ He4 + Be7 mia stima
li8he3a Li8 + He3 ←→ He4 + Li7 mia stima
Reazione 27: Be7 + n ←→ He4 + He4
In base alle ricerche che ho fatto, sembrerebbe che tale rate di reazione sia
stato pubblicato solo in [20] e [39], che non riportano la fonte dei dati, nè
una stima dell’ errore. Non mi risulta che questo rate sia stato discusso
nelle periodiche analisi di Fowler e altri. Una proposta molto conservativa,
suggerita dallo stesso Wagoner, è quella di adottare un’ incertezza di un
fattore 10.
Sfortunatamente, questa reazione gioca un qualche ruolo nella distruzione
del Be7; sarebbe auspicabile un aggiornamento del database sperimentale.
Reazione 28: Li7 + p ←→ He4 + He4
E’ la principale reazione di distruzione di Li7; il rate si basa su dati sperimentali,
che sono abbastanza ben noti (vedi [4]); è opportuno usare un errore
dipendente dalla temperatura, con un contributo del 6% dovuto al fitting.
Reazione be9pa: Be9 + p ←→ He4 + Li6
NACRE tiene conto di nuovi dati sperimentali; il rate è abbastanza ben
noto per T9 ≥ 0.1; sotto, l’ incertezza cresce notevolmente: in particolare
è possibile che, a basse energie, il rate sia maggiore di qualche ordine di
grandezza.

4.5. REAZIONI DI STRIPPING/PICKUP (S/P) 105
Reazione b10na: B10 + n ←→ He4 + Li7
Pur non essendo intervenute nuove misure dell’ inversa di questa reazione
dal 1984, in [4] è stata eseguita una revisione critica dei dati disponibili, portando
alla pubblicazione di un nuovo rate, parametrizzato da una funzione
lineare di T9, anzichè semplicemente da un termine costante come in [37]; le
nuove previsioni rivedono al ribasso di un fattore 2 ÷ 10 il vecchio rate.
Reazione b10pa: B10 + p ←→ He4 + Be7
La situazione sperimentale è abbastanza soddisfacente per T9 ≥ 0.01 (si veda
[4]); questo permette di conoscere il rate con incertezza inferiore al 30%; per
T9 ≤ 0.01 l’estrapolazione è fatta sulla base di una risonanza a 9±2keV :
solo a T9 ≤ 0.001 le incertezze sono considerevoli; si noti che in [37] non si
teneva conto di tale risonanza.
Reazione 29: Li6 + H2 ←→ He4 + He4
Sebbene non ci si debba attendere un grosso contributo di tale reazione al
rate totale di distruzione del Li6 (dominato dalla 25 e dalla 24) a causa della
soppressione dovuta alla bassa densità del deuterio rispetto all’ idrogeno, la
sua inclusione è motivata dalla possibilità che, a basse energie, una risonanza
larga di sottosoglia in Be8 (J π = 2 + , 22.2 MeV) ”amplifichi” il rate atteso.
Il tasso introdotto nel codice è tratto da [74], cui si rimanda anche per un
resoconto sulla conoscenza teorica e sperimentale attuale su tale processo.
L’ errore del 15% deriva da una stima conservativa dell’ errore totale da cui
sono affette le misure riportate in [74].
Reazione 30: Be7 + H3 ←→ He4 + Li6
In assenza di dati, il rate di questa reazione è stato calcolato moltiplicando
la sua omologa 31 per una funzione correttiva (polinomio quadratico in 1/t),
ottenuta mediante un fitting del rapporto tra i rates di reazione così come
previsto dal modello descritto in appendice D. Si veda la reazione 31 per
ulteriori dettagli.
Reazione 31: Li7 + He3 ←→ He4 + Li6
Questa reazione (come la sua omologa 30) è stata introdotta per un duplice
motivo:
• La densità dell’ He3 rispetto a quella dei p sopprime il suo contributo
al tasso di distruzione di Li7 almeno di un fattore 10 5 rispetto
alla reazione leading (la 28); tuttavia, anch’ essa, come la 28, è una

106 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
reazione forte (peraltro con un alto Q-valore); solo valutando esplicitamente
il suo rate può stabilirsi se essa rivesta un ruolo sinificativo
nella distruzione del Li7.
• Essa costituisce un canale di ”back-reaction” verso il Li6 28 ; pur essendoci
una forte soppressione dovuta ai fattori di densità (anche
superiore a 12 ordini di grandezza), non bisogna dimenticare che la
reazione leading nella sintesi del Li6 è una cattura radiativa, peraltro
di quadrupolo elettrico e affetta da grossa incertezza. Anche per
questo motivo, è bene valutare esplicitamente il suo peso.
I dati a mia disposizione per questa reazione si riducono ai sette 29 pubblicati
nel Ref. [92], ad energie nel centro di massa maggiori o uguali a
1.26MeV . Ho estratto il fattore astrofisico ed ho eseguito un fit lineare,
usato per calcolare il rate. Anche se l’ errore statistico è inferiore al 2% e
quello di normalizzazione è stimato dagli autori come inferiore al 15%, prudenzialmente
ho assunto un’ indeterminazione di un fattore 2, motivata dall’
assenza di dati nel range molto rilevante di E ≤ 1MeV e, per l’ upper-limit,
per un possibile contributo alla reazione di stati eccitati.
Per confronto, ho calcolato un upper-limit al rate mediante il modello descritto
in appendice D; esso sovrastima quello adottato di un fattore 20-30.
I rates delle reazioni B8(t,α)Be7, Li8(τ,α)Li7 e Be9(d,α)Li7 sono stati
stimati con il modello presentato in appendice D.
4.6 Reazioni a 3 e 4 corpi
Anche con i (relativamente) pochi nuclidi presi in considerazione sinora, il
numero di possibili reazioni a tre/quattro corpi è proibitivamente alto; scartato
in partenza un approccio sistematico, l’ analisi di nuove reazioni si è
basata su alcune considerazioni suggerite dal ”buonsenso”.
Cominciamo col considerare reazioni a 3 o 4 corpi in uscita, ma a due corpi
nel canale d’ ingresso (esoenergetico); tre reazioni di questo tipo erano
già incluse nella precedente versione del codice: la He3(τ,2p)He4 (34), la
Li7(d,n)2He4 (35) e la Be7(d,p)2He4 (36). Per coerenza con la (34), ho
incluso anche le due reazioni H3(t,2n)He4 (32) e He3(t,np)He4 (33); un
naturale ampliamento delle reazioni (35) e (36) suggerisce di prendere in
considerazione i processi di interazione di Li7 e Be7 con H2, H3 e He3
numerati da 35 a 42.
Sinora, invece, non erano incluse in BBNCODE reazioni a tre corpi ”propriamente
dette”, almeno nel network ridotto rilevante alla sintesi di elementi
28 Con un ruolo analogo a quello della reazione 26 per il deuterio.
29 Ho preso in considerazione solo quelli relativi alla transizione allo stato fondamentale;
il primo stato eccitato, per il quale pure si dispone di misure, decade essenzialmente in
Li7(He3, dα)He4.

4.6. REAZIONI A 3 E 4 CORPI 107
con A ≤ 7 30 ; anche su consiglio del professor Belyaev di Dubna, tuttavia,
ho deciso di prendere in considerazione il ruolo che alcune reazioni a tre
corpi rivestono nella BBN. La scelta è ricaduta sui soli casi in cui i tre corpi
sono protoni o neutroni, che sono i nuclidi più abbondanti per T9 ≥ 1; come
mostrato nel paragrafo 2.4, infatti, i rates di reazioni a 3 corpi sono soppressi
rispetto a quelli a due corpi a causa del fattore di densità numerica delle
particelle (che è dell’ ordine di 10 −5 T 3 9 mol/cm3 ), che compare al quadrato
anzichè alla prima potenza.
L’ analisi della He4(pn,γ)Li6, possibile grazie al rate pubblicato in [37],
conferma che reazioni a tre corpi con A ≥ 2 hanno un ruolo del tutto trascurabile.
La restante categoria di reazioni da analizzare è quella delle fusioni mediate
dall’ interazione e.m. non radiative, cinematicamente possibili se interviene
nel processo un’ altra particella carica. In particolare, gli elettroni
sono le particelle cariche più abbondanti e, inoltre, dotati di carica
negativa. E’ pertanto giustificato limitare l’ analisi alle sole reazioni di
elettrofusione/elettrodisintegrazione, come la
la
e − + p + n ←→ e − + H2, (4.5)
e − + p + H2 ←→ e − + He3, (4.6)
ecc.
A causa della ”deuterium bottleneck”, ai fini della BBN la 4.5 è senz’ altro
la più significativa. Una breve analisi della 4.5 è riportata nel ref. [104];
in base ai dati allora disponibili (si veda [103]), l’ autore ne stima il peso a
circa 10 −5 volte quello della p(n,γ)H2, rendendo così superflua l’ inclusione
di questo nuovo rate.
Tuttavia, bisogna notare che ad ogni cattura radiativa è associata una
reazione analoga indotta da elettrone e che, a differenza della p(n,γ)H2,
caratterizzata da una sezione d’ urto piuttosto grande, per altre reazioni
di cattura il rapporto potrebbe essere molto maggiore 31 . Non avendo a
disposizione dati di elettrodisintegrazione per nuclidi con A ≥ 3, ho cercato
previsioni teoriche per analoghi processi. L’ analisi dei risultati pubblicati in
letteratura (si veda, ad es. [81], [82], [83]) è in corso, e costituirà certamente
uno dei possibili ampliamenti del lavoro di tesi.
30 La n + 2He4 ←→ γ + Be9 e la 3He4 ←→ γ + C12, importanti anche (e soprattutto)
per la nucleosintesi stellare, erano incluse anche in precedenti versioni del codice.
31 In particolare, questo potrebbe essere il caso di reazioni che, a causa delle regole
di selezione, procedono mediante transizioni di quadrupolo (si pensi, ad esempio, alla
He4(d,γ)Li6).

108 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
4.6.1 Reazioni a 2 corpi in ingresso.
Num Reazione Fonte
32 H3 + H3 ←→ n + n + He4 [37]
33 He3 + H3 ←→ p + n + He4 [37]
34 He3 + He3 ←→ p + p + He4 [4]
35 Li7 + H2 ←→ n + He4 + He4 [37]
36 Be7 + H2 ←→ p + He4 + He4 [37]
37 Li7 + He3 ←→ H2 + He4 + He4 [92]
38 Be7 + H3 ←→ H2 + He4 + He4 [92]
39 Li7 + H3 ←→ n + n + He4 + He4 [37]
40 Be7 + H3 ←→ p + n + He4 + He4 [37]
41 Li7 + He3 ←→ n + p + He4 + He4 [37]
42 Be7 + He3 ←→ p + p + He4 + He4 [37]
Per le reazioni H3(t,nn)He4 (32) e He3(t,np)He4 (33), si rimanda al
commento relativo alla reazione 26.
Reazione 34: He3 + He3 ←→ p + p + He4
Questa reazione è stata oggetto di revisione nella compilation [4]. Tale processo
del ciclo pp solare è stato a lungo di qualche interesse per il problema
dei neutrini solari: l’ eventuale presenza di una risonanza a basse energie
(

4.6. REAZIONI A 3 E 4 CORPI 109
Reazione 36: Be7 + H2 ←→ p + He4 + He4
Vedi reazione 35.
Reazione 37: Li7 + He3 ←→ H2 + He4 + He4
Una stima del rate di questa reazione può essere dedotta dai dati riportati in
[92] relativi al primo stato eccitato, che decade proprio in H2 + He4 + He4
(si veda anche la reazione 31). Il lower limit è probabilmente superiore alla
metà del rate così ottenuto, mentre l’ upper limit potrebbe essere anche
significativamente superiore se contribuisse qualche risonanza (ho scelto un
fattore 5 di indeterminazione).
Reazione 38: Be7 + H3 ←→ H2 + He4 + He4
Il rate di questa reazione è stato stimato a partire da quello della reazione
precedente in maniera analoga a come quello della 30 è stato ottenuto dal
rate della 31. Lower e upper limit sono stati valutati moltiplicando rispettivamente
per 0.25 e 10 il rate stimato (ulteriore fattore due rispetto alla
stima eseguita per la 37).
I restanti processi (a quattro corpi finali):
• reazione 39: Li7 + H3 ←→ n + n + He4 + He4,
• reazione 40: Be7 + H3 ←→ p + n + He4 + He4,
• reazione 41: Li7 + He3 ←→ n + p + He4 + He4,
• reazione 42: Be7 + He3 ←→ p + p + He4 + He4,
sono indotti da nuclidi con A = 3 e sono tutte caratterizzate da alti Qvalori
(Q ≥ 8.8MeV ). Sono state introdotte per la prima volta nel codice
e tutti i rates sono stati tratti dal Ref. [37], con un’ indeterminazione
convenzionalmente posta pari ad un fattore 2.
4.6.2 Reazioni a 3 corpi in ingresso.
Num Reazione Fonte
43 p + n + n ←→ n + H2 questa tesi
44 p + p + n ←→ p + H2 [37]
45 p + n + n ←→ γ + H3 questa tesi
46 p + p + n ←→ γ + He3 questa tesi
47 p + n + He4 ←→ γ + Li6 [37]

110 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
Reazione 43: p + n + n ←→ n + H2
Il possibile interesse per le reazioni 43 e 44 è dovuto al fatto che, pur essendo
reazioni a tre corpi, esse sintetizzano deuterio mediante interazione nucleare
forte, a differenza della p(n,γ)H2 (elettromagnetica) e della p(p,e + ¯νe)H2
(debole).
A quanto mi risulta, non è mai stato pubblicato un rate per questa reazione
a tre corpi; anche il Prof. Belyaev di Dubna ha suggerito di approfondirne
il ruolo relativamente alla BBN.
Sperimentalmente, i dati dell’ inversa di interesse per la BBN sono quelli
prossimi alla soglia della reazione (che, nel CM, è l’ energia di legame del
deuterio). Purtroppo, in base alla ricerca di dati sull’ archivio [80], questo
è anche il range di energie meno indagato. Per stimare il rate ho quindi
preso in considerazione i 7 dati di minore energia (ELab del neutrone da 4.10
a 6.11 MeV), e ho fittato linearmente la funzione33 Rr (E ′
) ≡ σ(E ′
) √ E ′ ,
dove E ′
≡ E rev
CM
− |Q|. Il rate è stato ottenuto per integrazione numerica
e successivo fitting dei punti così ricavati (previa qualche trasformazione
funzionale necessaria a rendere la funzione da fittare poco dipendente da
T9.). Tenendo presente la scarsità di dati a basse energie e le approssimazioni
compiute nei vari fitting, è ragionevole stimare l’ incertezza complessiva su
questo rate in un fattore 2.
Reazione 44: p + p + n ←→ p + H2
Analoga alla reazione 43, a meno degli effetti coulombiani; un rate per questa
reazione è stato pubblicato in [37]; a quanto mi risulta, i dati su questa
reazione sono anche meno abbondanti di quelli relativi alla precedente. Tuttavia,
poichè ignoro la fonte e il metodo utilizzato in [37] per ricavarlo,
convenzionalmente pongo l’ incertezza pari ad un fattore 2, come per la 43.
Un dato confortante è che il rapporto tra il rate della nnp (da me calcolato)
e quello della ppn è pari a circa uno attorno a T9 ∼ 1, mentre è maggiore
a temperature inferiori (dove conta maggiormente l’ effetto della repulsione
elettrostatica).
Reazione 45: p + n + n ←→ γ + H3
I dati sperimentali 34 per la reazione di fotodissociazione tripla del trizio e
dell’ He3 sono tratti da [102], dove è possibile anche trovare riferimenti a
misure precedenti (meno complete e accurate). Dal punto di vista teorico,
33 In base a quanto detto nell’ appendice D, ci si aspetta che a basse energie R r (E ′
dipenda poco da E ′
.
34 In generale, i dati delle fotodissociazioni multiple possono essere sfruttati per dedurre
solo un upper limit della diretta a molti corpi, perchè in realtà includono anche i contributi
di reazioni a due o più stadi; tuttavia, l’ assenza di stati eccitati del deuterio fa sì che, in
questo caso, quella misurata sia proprio la sezione d’ urto di interesse.
)

4.7. ALTRI NUCLIDI? 111
l’ interesse di tale processo per la Fisica Nucleare consiste essenzialmente
nel fatto che, insieme all’ isobara p + p + n ←→ γ + He3, costituisce un
naturale banco di prova del principio di simmetria di carica per il sistema a
3 nucleoni; inoltre, il pessimo accordo delle prime previsioni teoriche con i
dati a disposizione(discrepanza di un fattore 2-3) ha messo in luce come l’
andamento asintotico della funzione d’ onda dello stato legato a 3 nucleoni e,
soprattutto, l’ interazione residua dei nucleoni nello stato finale influenzino
significativamente tali previsioni; ciò chiama in causa tecniche più avanzate
per lo studio dei sistemi a 3 corpi.
Ai fini della BBN, il possibile interesse per tale reazione è evidente: se il
tasso di reazione fosse sufficientemente alto, potrebbe avere contributo significativo
nella sintesi iniziale del trizio, affiancandosi alle reazioni sinora
considerate; pur essendo a tre corpi, coinvolge i nuclidi più abbondanti sino
a T 0.1MeV , laddove l’ inversa è ormai inibita e di deuterio ce n’ è molto
poco.
Lo studio analitico e numerico che ho eseguito (con un incertezza sperimentale
e di fitting inferiore ad un fattore due) ha tuttavia escluso tale
possibiltà.
Reazione 46: p + p + n ←→ γ + He3
Valgono considerazioni analoghe a quelle svolte per la rezione 45, alla quale
si rimanda per ulteriori dettagli.
Reazione 47: p + n + He4 ←→ γ + Li6
Un rate di questa reazione è riportato in [37]; ho potuto così studiare con
relativa semplicità il ruolo di questo processo nella sintesi del Li6.
Il risultato conferma che, ancora a T0 ∼ 10, il ruolo di questo processo è di
grande importanza e non può certamente essere trascurato; tuttavia, l’ alta
entropia per barione fa in modo che l’ inversa proceda essenzialmente con
lo stesso rate, mantenendo quindi ancora il Li6 in prossimità dell’ equilibrio
cinetico. A temperature più basse, il rate crolla di molti ordini di grandezza,
risultando quindi irrilevante nella produzione di Li6.
Pur non disponendo di altre informazioni specifiche, è ragionevole attendersi
che questa fenomenologia sia comune a tutti gli altri nuclidi con A > 2.
4.7 Altri Nuclidi?
Tra i nuclidi con A ≤ 7, nel codice sono attualmente inclusi tutti i nuclidi
stabili o che decadono per interazioni deboli; la sola eccezione riguarda l’
He6, che subisce un decadimento β − in Li6 con emivita di circa 0.8s.
Una modifica sostanziale del codice per includere tale nuclide non sarebbe
giustificata, visto che il suo ruolo si traduce essenzialmente nella comparsa

112 CAPITOLO 4. REVISIONE DEL SET DI EQUAZIONI
di nuovi canali per il Li6; il suo contributo all’ abbondanza finale di tale
nuclide è stato valutato in maniera semiquantitativa ed è risultato trascurabile
(non più rilevante dell’ 1%).
Num Reazione Fonte
he6β He6 −→ e − + ¯νe + Li6 [108]
ttg H3 + H3 ←→ γ + He6 mia stima
he4nng He4 + n + n ←→ γ + He6 [37]
L’ esigenza di includere nuovi nuclidi β-instabili è più significativa per A > 7
35 , ma tale compito esula dagli scopi di questa tesi.
Per i nuclidi che decadono forte, il discorso è diverso: essenzialmente, essi
si manifestano come risonanze in particolari sezioni d’ urto (es. He5 e Li5
nelle H3(d,n)He4 e He3(d,p)He4). Poichè tale andamento risonante viene
incluso nelle σ dei processi rilevanti, tali nuclidi non devono essere introdotti
come gradi di libertà espliciti nel plasma barionico.
35 Ad esempio, sono attualmente esclusi nuclidi come il Be10 (t1/2 1.5×10 6 anni), il
Be11 e il C10, con emivita superiore a 10 secondi, comunque significativa per i tempi della
BBN.

Capitolo 5
Calcolo Numerico e Analisi
degli Errori
5.1 BBNCODE
Il programma BBNCODE (scritto in FORTRAN 77) ha un’ architettura essenzialmente
mutuata dai predenti codici di Nucleosintesi Primordiale (si
veda a tal proposito la Ref. [105]). Rispetto a questi, le principali innovazioni
consistono nella maggiore affidabilità numerica, nell’ inclusione delle
correzioni radiative, di plasma e di massa finita ai rates deboli p/n e nella
maggiore accuratezza nel calcolo del potenziale chimico elettronico (si consultino
le Ref. [3] e [29]).
Il MAIN del programma elabora l’ interfaccia con l’ utente, consentendo la
scelta tra varie opzioni (riguardanti i parametri fisici, quelli numerici, di network,
ecc.). Queste informazioni vengono trasferite al corpo del programma
(routine BBNCODE). Dopo l’ apertura dei files di output e il calcolo delle condizioni
iniziali per il set di equazioni, il programma chiama la subroutineFCN
in cui, di fatto, vengono calcolate le grandezze di interesse; in particolare,
viene costruita la matrice che descrive i secondi membri del set di equazioni
differenziali della BBN, ricorrendo alla subroutineRATE per attribuire i valori
opportuni ai rates (nei due versi). La risoluzione del set di equazioni avviene
nella subroutine EQSLIN. I risultati vengono registrati con una chiamata alla
subroutineOUTPUT. Nel BLOCK DATA, infine, sono raccolte le costanti matematiche
e fisiche, i fattori di conversione tra le unità di misura e, in generale,
tutti i parametri numerici non modificabili dall’ utente. Laddove possibile,
in BBNCODE si fa ricorso, ad opportune subroutines NAG 1 per il calcolo di
varie grandezze (fondamentali e/o ausiliarie).
1 NAG sta per Numerical Algorithm Group; si consulti il sito http://www.nag.co.uk.
113

114CAPITOLO 5. CALCOLO NUMERICO E ANALISI DEGLI ERRORI
5.1.1 Cenni ai Metodi Numerici
Descriviamo brevemente alcuni accorgimenti utili per trattare numericamente
le equazioni di evoluzione della BBN (in quanto segue, salvo avviso
contrario, si useranno unità naturali ¯h = c = kB = 1).
Le funzioni incognite sono in numero di 4+Nnuc (con il vincolo
i AiXi = 1).
Poichè non siamo interessati ad avere esplicitamente la relazione t(T), una
delle equazioni della BBN può utilizzarsi per introdurre la temperatura T
come variabile indipendente, riducendo le funzioni incognite a 3 + Nnuc:
a,µe,nB e le Xi; per comodità, al posto di T utilizziamo come variabile indipendente
z ≡ me/T (che è adimensionale e crescente). Sostituiamo a con
H ≡ ˙a/a, µe con φe ≡ µe/T, mentre la 2.15 può utilizzarsi per esprimere nB
(o, equivalentemente, la grandezza adimensionale θB ≡ nB/T 3 ) in termini
delle altre incognite. Poniamo:
ρ = ργ + ρν + ρe + ρB ≡ ρNB + ρB
P = Pγ + Pν + Pe + PB.
Ancora, sia L(u,v) la funzione definita dalla 2.20 e Lz e Lφe le sue
derivate parziali rispetto ai pedici; indichiamo con Ξi le funzioni a secondo
membro delle 2.28; utilizziamo, infine, la notazione compatta:
˜x ≡ x/T 4 , ˆx ≡ x/me.
Il set di equazioni differenziali della BBN può essere posto nella forma:
dφe
dz
1 LE F + (zLz − 3L)G
=
z
LE ∂˜ρe
− LφeG ∂φe
dXi
dz = − ˆ Ξi
Lφe
z
F + (zLz − 3L) ∂˜ρe
∂φ e
LE ∂˜ρe
− LφeG ∂φe
(5.1)
(5.2)
dove si sono introdotte le funzioni ausiliarie:
E(z,φe,Xj) ≡ 3 ˆ
i
H −
Zi ˆ Ξi
j ZjXj
, (5.3)
essendo
F(z,φe,Xj) ≡ 4˜ρNB + 3
2 ˜ PB − z ∂˜ρe
, (5.4)
∂z
G(z,φe,Xj) ≡ 3 ˆ H(˜ρNB + ˜ zL
P) +
ˆΛi i + 3
ˆΞi 2z
(5.5)
ˆH =
8π
3
˜ρ
ˆM 2 P
z −2
j ZjXj
(5.6)

5.1. BBNCODE 115
La densità numerica di barioni, la loro densità di energia e la loro pressione
si esprimono allora mediante le equazioni seguenti:
˜ρB = zL(z,φe)
j ZjXj
θB = L(z,φe)
j ZjXj
ˆMu +
˜PB = L(z,φe)
j ZjXj
j
( ˆ Λi + 3
2z )Xj
Xi
i
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(Analoghe riformulazioni si hanno per le altre espressioni delle densità e
delle pressioni).
Le equazioni 5.1 e 5.2 vengono risolte imponendo le seguenti condizioni
iniziali (a zin = me/Tin, con Tin convenzionalmente scelto pari a 10MeV ):
dove
e la φ 0 e
Xn(zin) = [exp(ˆqzin) + 1] −1 , Xp(zin) = [exp(−ˆqzin) + 1] −1
X 0 i
3/2
giAi ≡
2
Xi(zin) = Max[10 −25 ,X 0 i
ζ(3)
(mizin) 3/2
φe(zin) = φ 0 e
Ai−1 8
η
π
Ai−1 Zi X
è implicitamente definita dall’ equazione:
L(zin,φ 0 e) = 11
4
2ζ(3)
π
2 η
i
(5.10)
] (5.11)
p XAi−Zi n
ZiXi(zin)
exp( ˆ Bizin)
(5.12)
(q ≡ mn − mp, Bi è l’ energia di legame del nuclide i-esimo, mi è la sua
massa, mentre ηin = 11
4 ηinput).
La parte più critica del codice è quella relativa al metodo di soluzione del
sistema di equazioni differenziali 5.2; in particolare alle alte temperature,
laddove le reazioni procedono nei due versi quasi con la stessa rapidità, le Ξi
sono numeri piccoli risultanti dalla differenza di numeri molto grandi (problema
di stiffness).
Questo problema richiede di usare uno step di integrazione inferiore a quello
richiesto dalla sola accuratezza numerica, al fine di garantire stabilità all’
algoritmo.
Tradizionalmente, nei codici di BBN i secondi membri delle equazioni 5.2
vengono riscritti con un metodo di differenziazione implicita (Backward Euler
Scheme, BES) e il sistema risolto mediante la tecnica di Runge-Kutta;
nel codice sviluppato dal gruppo di Astroparticelle di Napoli, si fa ricorso ad

116CAPITOLO 5. CALCOLO NUMERICO E ANALISI DEGLI ERRORI
una routine NAG che implementa un metodo della classe BDFs (Backward
Differentiation Formulas). Queste tecniche sono multistep, cioè la soluzione
allo step i + 1 è determinata mediante un’ interpolazione polinomiale dei
valori assunti in più step precedenti (e non solo dal valore dell’ incognita
allo step precedente i, come accade negli one-step methods come quelli
tradizionalmente usati). Per risolvere le equazioni implicite che ne derivano,
la routine NAG ricorre a due metodi diversi (iterazione funzionale e metodo
di Newton), incorporando anche un test di controllo dell’ errore che stabilisce
anche l’ ampiezza dello step successivo. Per maggiori dettagli, si veda la Ref.
[3].
5.1.2 Modifiche a BBNCODE
Le modifiche al codice da me eseguite si sono sviluppate lungo le seguenti
linee-guida:
1. Nuove funzionalità.
Gli obiettivi principali del lavoro eseguito possono essere identificati
con l’ aggiornamento dei parametri e dei rates di reazione usati e l’
introduzione delle indeterminazioni sugli stessi, l’ eventuale inclusione
di nuovi tipi di reazioni. Nella nuova versione del codice, l’ utente può
scegliere per ciascun rate di reazione se adottare il valore migliore,
quello migliore aumentato o diminuito dell’ incertezza o di moltiplicarlo
per un fattore arbitrario; quest’ ultima opzione consente di valutare
in maniera diretta l’ influenza che ha sulle abbondanze previste
la modifica di uno o più rates di reazione.
Sono state introdotte anche nuove opzioni di output: si può ora scegliere
di salvare l’ andamento delle abbondanze dei nuclidi in funzione della
temperatura; questo si rivela particolarmente utile per un’ analisi
qualitativa dei ranges di temperature rilevanti per l’ attivazione di certi
processi di sintesi. Con l’ introduzione delle funzioni di partizione
nucleare, poi, si è ottenuta una riproduzione più realistica degli andamenti
dei rates ad alte temperature che coinvolgono i nuclidi con
A ≥ 6. Il valore di z per cui il codice si arresta è stato inoltre portato
da 100me a 130me.
2. Miglioramento della leggibilità del codice.
Le grandezze definite in ciascuna subroutine sono ora classificate in
base al significato fisico o numerico (in precedenza erano accorpate
per ”tipo”); sia per le nuove parti di codice che per alcune già esistenti
sono stati introdotti dei commenti chiarificatori; in numerosi punti (e,
in particolare, nella costruzione delle grandezze Ξi) alcune procedure
”criptiche” sono state riscritte in modo da favorire il riconoscimento
delle grandezze fisiche che entrano negli algoritmi implementati.

5.2. DISCUSSIONE SUGLI ERRORI 117
3. Ottimizzazione in vista di futuri aggiornamenti.
Numerose grandezze derivate (come Q-valori, fattori statistici dei rates,
ecc.) erano in precedenza memorizzate nelBLOCK DATA come parametri
indipendenti. Ora, esse vengono calcolate nel corpo del programma,
riducendo il numero di parametri fisici da modificare nel caso di futuri
aggiornamenti; anche molte delle nuove funzionalità implementate
sono state realizzate garantendo una possibile estensione del codice
senza stravolgerne la struttura (ad esempio, per l’ introduzione di nuovi
tipi di reazione).
4. Riduzione del numero di operazioni.
Questo non era uno degli obiettivi primari del lavoro, anche perchè
l’ incremento della velocità di calcolo dei computer a disposizione ha
reso meno impellente la richiesta di riduzione del ”tempo-macchina”;
tuttavia, laddove possibile, ho trasferito a livelli ”superiori” calcoli in
precedenza ripetuti in un ciclo e/o in subroutines chiamate più di una
volta.
5.1.3 Altro lavoro numerico
Un altra parte del lavoro numerico è stata affrontata con l’ uso del programma
di calcolo Mathematica. In tale ambiente si sono realizzati gli algoritmi
per l’ estrazione e l’ elaborazione (analitica, grafica e numerica) dell’ output
di BBNCODE.
Nel caso di reazioni aventi un fattore astrofisico di tipo polinomiale, ho elaborato
un protocollo atto a fittare i dati e, soprattutto, ad ottenere dal fit
un’ espressione del rate che, sebbene fornita in maniera analitica, ha un’
accuratezza paragonabile a quelli ottenuti per integrazione numerica; come
brevemente illustrato in 3.2.2, i fattori correttivi applicati alle tradizionali
stime analitiche (approssimate) sono stati calcolati fittando mediante polinomi
in 1/y0 le funzioni αn(T). La matrice di covarianza dei parametri di
fit viene poi utilizzata per dare una stima dell’ errore statistico sul rate di
best-fit.
5.2 Discussione sugli Errori
L’ indeterminazione finale sul rate segue da diverse sorgenti di errore: l’
incertezza sulla sezione d’ urto, quelle dovute alle integrazioni numeriche (se
presenti) e quelle attribuibili alle approssimazioni analitiche coinvolte nelle
parametrizzazioni dei fattori astrofisici e/o negli integrali eseguiti per il calcolo
del rate (laddove presenti).
L’ errore su ciascun rate di reazione dipende in maniera cruciale dall’ indeterminazione
su σ(E), dovuta a vari effetti, di natura statistica e sistematica.
Tipicamente, i dati disponibili su una reazione dovuti a diversi esperimenti

118CAPITOLO 5. CALCOLO NUMERICO E ANALISI DEGLI ERRORI
sono tra loro incompatibili (spesso si sovrappongono a malapena a 2σ); in
alcune analisi ciò viene considerato come una sottostima dell’ errore sperimentale;
ad esempio, in [63] per accogliere a 2σ almeno il 95% dei dati,
l’ incertezza totale è stata ridefinita, tanto da ottenere stime dell’ ordine
del 7 ÷ 30% ad 1σ. Se questa caratteristica viene interpretata come manifestazione
di errori sistematici in uno o più esperimenti, bisogna adottare
un criterio per attribuire alla stima di σ(E) un’ incertezza statisticamente
interpretabile (si veda, ad esempio, il lavoro [75]).
Agli errori sperimentali andrebbe poi aggiunto l’ errore compiuto nel fittare
i dati con una forma funzionale per σ(E) (o, equivalentemente, per S(E)
o R(E) definite nel capitolo 3); questo è tipicamente molto inferiore agli
altri, a meno che non vi siano ragioni per ritenere che la funzione scelta sia
inadeguata in un range energetico rilevante 2 .
Nel ricavare la < σv > dalla sezione d’ urto, a seconda del metodo adottato,
compaiono altre sorgenti di errore:
1. Nel ”tradizionale” approccio di Fowler e altri (si vedano [38] [35], [20],
[36], [37], [62]), si ricorre ad un’ integrazione analitica ma approssimata
della σ(E); l’ accuratezza del rate così ottenuto dipende essenzialmente
da quanto bene sia nota o prevista la σ(E) nel range energetico
rilevante per la BBN 3 . Secondo quanto riportato in [36], pag. 93, l’
esigenza di fornire delle espressioni analitiche per i rates nell’ intervallo
di temperature piuttosto ampio T9 ∈ [10 −3 ;10] comporta un errore
di fitting che può arrivare sino al 25%, mentre l’ incertezza ”fisica”
sui rate, pur variando da caso a caso tra il 10% e il 300%, si aggira
tipicamente attorno al 50%.
2. Un approccio alternativo, più recente, è quello presentato in [76], in
cui si utilizza un metodo Monte Carlo per incorporare direttamente i
dati sulle sezioni d’ urto nel codice di nucleosintesi; in questo modo, si
riduce al minimo la perdita di informazione e l’ aumento di incertezza
dovuto alle elaborazioni intermedie.
Sebbene in linea di principio più soddisfacente 4 , nella pratica questo
metodo si imbatte in non poche difficoltà: spesso, il grado di accuratezza
delle conoscenze empiriche non giustifica la maggiore complessità
computazionale di tale approccio 5 ; per reazioni importanti come la
p(n,γ)H2 e la H2(p,γ)He3, per stessa ammissione degli autori, il
2
Questo può accadere, ad esempio, se si usa una forma polinomiale per S(E) calibrata
in un range di energie troppo basse o alte rispetto a quelle interessanti per la BBN.
3 min
Cioè da E0(T9 ) − ∆E0(T min
9 ) a E0(T max
9 ) + 3∆E0(T max
9 ).
4 L’ errore sul rate deriva direttamente da quelli sperimentali; pertanto la sua natura
(statistica, sistematica) è definibile in maniera ovvia.
5 Una modifica del codice in tale senso richiederebbe, di fatto di riscrivere ampie parti
del codice attualmente in uso e, soprattutto, di costruire un ampio database sperimentale
dopo un opportuno esame critico delle fonti disponibili.

5.2. DISCUSSIONE SUGLI ERRORI 119
metodo risulta poco adatto; non di rado, devono essere elaborate analisi
”ad hoc” per ogni reazione.
Fatto ancora più rilevante, il ricorso a parametrizzazioni prive di significato
fisico può produrre ”localmente” degli andamenti fittizi, legati
a problemi con qualche dato sperimentale piuttosto che a reali effetti
nucleari.
3. Nella recente compilation [4], il calcolo dei rates è quasi integralmente
eseguito in forma numerica; a causa della difficoltà di attribuire uno
stesso significato statistico alle indeterminazioni sulle diverse reazioni
e su tutto l’ intervallo di temperatura interessante, gli scostamenti dai
rates ”migliori” (fadopted, nella loro notazione) sono forniti mediante
upper e lower rates, piuttosto che come deviazioni standard 6 ; le forme
funzionali dei rates fittati dai dati tabulati sono suggerite almeno in
parte da argomenti teorici; questo, a costo di leggeri scarti dai dati,
riduce significativamente il rischio di imbattersi in effetti ”spuri”.
Per il tipo di lavoro eseguito in questa tesi, il problema di una definizione
”universale” degli errori attribuiti ai tassi di reazione è, se possibile, ancora
più sentito. Già adesso, uno degli obiettivi primari della tesi è fornire
stime attendibili sulla produzione primordiale di litio; in futuro, il nuovo
codice dovrà essere in grado di stimare con ragionevole affidabilità la produzione
primordiale di elementi tipicamente con A > 8; molte delle reazioni
importanti per tali fini sono state semplicemente trascurate nelle analisi
quantitative recenti della BBN (dai lavori ”storici” di Krauss e Romanelli
([106]) e di Smith, Kawano e Malaney [63] a quelli degli autori dei [107],
[76] e [75]). La letteratura esistente in materia è molto più scarsa e, laddove
presente, è rivolta tipicamente ai problemi dell’ astrofisica stellare e/o dei
processi cosmici di spallazione.
Di fatto l’ assegnazione degli errori ai vari rates varia da reazione a reazione 7 ;
in generale, tuttavia, i criteri adottati sono i seguenti:
1. Per i rates forniti da NACRE, ho usato gli errori percentuali ottenuti
fittando i valori tabulati; per variazione di pochi punti percentuali nell’
intero range di temperature ho assunto conservativamente l’ errore
massimo; a questi sono stati poi sommati (quadraticamente) gli errori
di fitting riportati.
2. Per quelli tratti direttamente o ”indirettamente” dall’ analisi [63], ho
riportato l’ errore ”a 1 σ”.
6 Per ulteriori dettagli sui procedimenti di volta in volta usati si rimanda all’ articolo
originale; è opportuno osservare come, in linea di massima, i criteri ”conservativi” adottati
per ottenere tali limiti differiscono tecnicamente (piuttosto che concettualmente) da quelli
seguiti in [63].
7 Per informazioni specifiche si consulti il capitolo precedente.

120CAPITOLO 5. CALCOLO NUMERICO E ANALISI DEGLI ERRORI
3. In assenza di alcun riferimento specifico all’ errore, ho convenzionalmente
attribuito ai rates un’ incertezza di un fattore 2 (cioè f ∈
[0.5÷2]×fadopted) per quelle stimate in una delle compilation di Fowler
e al. (in accordo piuttosto conservativo con l’ osservazione in [36] di
cui si è detto sopra); di un fattore 10 (cioè f ∈ [0.1 ÷10]×fadopted) per
quelle risalenti a [39] di cui non sono a conoscenza della fonte (alcune
di quelle da lui impiegate sono, in effetti, stime teoriche, con incertezze
tipiche stimabili in un fattore 10, come riportato in [39], pag.280.).
4. Laddove un tasso riportato in una compilation di Fowler si trovi già
in [35], ho usato:
ɛ± = ± (25/100) 2 + ɛ2 FCZI (ris) + ɛ2 FCZI (nris).
dove ɛFCZI(ris) e ɛFCZI(nris) sono le valutazioni pessimistiche degli
errori ad 1σ dei contibuti risonanti e non risonanti alla reazione, mentre
25/100 deriva dall’ errore di fitting massimo dichiarato in [36].
5. Per informazioni sulle indeterminazioni attribuite ai rates solo stimati,
si consulti l’ appendice D.
5.3 Errori sulle Xi
Dopo il discorso della sezione precedente, si sarebbe tentati di liquidare le
previsioni della BBN come ”poco attendibili”. in realtà, le osservabili cui
siamo interessati non sono i tassi di reazione, ma le abbondanze relative
dei vari elementi al termine della nucleosintesi primordiale, indicate con Xi;
queste dipendono da vari parametri fisici, come η, i tassi di reazione Γk, τn,
Λ, ecc. Nella formulazione minimale della BBN presa in considerazione in
questa tesi, non sono considerati parametri diversi da quelli standard e, fra
questi, i soli parametri non fissati sono η10 ∈ [1;10] e i rates Γk. In queste
condizioni, il problema diretto della BBN è il seguente:
assegnato il valore di η 8 , determinare i valori di aspettazione e l’ indeterminazione
tipica delle Xi (dovuta all’ indeterminazione sui rates) al termine
della nucleosintesi. La BBN risponde, allora, alla questione di quale fosse la
”composizione chimica iniziale” della materia cosmica prima della nascita
delle strutture 9 . Senza dover ricorrere a complessi metodi Monte Carlo di
8 Questo è oggi tipicamente fornito dallo studio dello spettro di potenza della CMB
- la più recente determinazione è stata effettuata dalla missione spaziale WMAP quest’
anno,Refs. [10]- ma, in principio, potrebbe ad esempio essere fornito da una teoria sulla
Bariogenesi.
9 Ovviamente, ogni variazione dalla SBBN può essere utilizzata per porre limiti a numerose
grandezze caratterizzanti il cosmo primordiale -come le caratteristiche di eventuali
campi magnetici ancestrali- e/o parametri fisici fondamentali -come i potenziali chimici
dei neutrini, il numero di specie relativistiche, ecc.

5.3. ERRORI SULLE XI
analisi degli errori, possiamo generalizzare l’ approccio introdotto in [107],
definendo la matrice degli errori σ2 ij (η) data dalla seguente:
σ 2 1
ij (η) ≡
4
[(Xi(η,Γk×(1 + ɛ + k )) − Xi(η,Γk×(1 + ɛ − k )))
k
121
×(Xj(η,Γk×(1 + ɛ + k )) − Xj(η,Γk×(1 + ɛ − k )))] (5.13)
(con la somma che corre su tutte le reazioni) come l’ oggetto fondamentale
nella stima delle indeterminazioni delle Xi.
L’ incertezza sull’ abbondanza relativa dell’ i-esimo nuclide sarà data da:
σi(η) =
σ2 ii (η) (non sommato su i)
mentre la correlazione tra le abbondanze dell’ i-esimo e del j-simo sarà:
ρij(η) = σ2 ij (η)
σi(η)σj(η)
Il metodo esposto in [107] usa le stesse grandezze ma, essendo basato sull’
∂ln Xi
ipotesi dell’ esistenza dei funzionali λij(η) = necessari a stabilire un
∂lnΓk
legame lineare tra gli errori relativi sulle Xi e quelli sulle Γk, non è generalizzabile
al caso di errori relativi asimmetrici o dipendenti dalla temperatura.
A rigore, la ”gaussianità” delle Xi con parametro di larghezza ricavato dalla
(η) richiederebbe, chiaramente, una verifica mediante un ”test d’ ipote-
σ2 ij
si”. Tuttavia, è ragionevole attendersi una ”regolarizzazione” del comportamento
delle Xi dovuto al teorema del limite centrale (le incertezze sulle
Γk costituiscono molte sorgenti di errore indipendenti); inoltre, assumendo
l’ ipotesi di linearità della propagazione degli errori 10 e di ɛ + k = ɛ− k
= cost.,
in [107] trovano risultati che, a 2σ, sono in buon accordo con quelli ottenuti
con simulazioni Monte Carlo.
L’ utilizzo più tradizionale della teoria standard della BBN è, però, quello
legato al problema inverso, di deteminazione di η a partire dal confronto tra
le abbondanze previste Xi(η) e quelle osservate, X ex
i , ciascuna delle quali
affetta da indeterminazione sia teorica (ricavabili da σ2 ij
tale (contenute in un’ analoga matrice s2 ij
ha i soli elementi diagonali non nulli, i.e. s2 ij = δijsisj ). La matrice degli
errori complessiva può ottenersi come:
definendo la matrice Wij(η) come
(η) ) che sperimen-
, che, in assenza di correlazioni,
S 2 ij (η) = s2ij + σ2 ij (η) (5.14)
Wij(η) = [S 2 ij(η)] −1 ,
10 Confortata dal fatto che, per molte delle reazioni alle quali le Xi sono sensibili, si
abbia |ɛ ±
k |

122CAPITOLO 5. CALCOLO NUMERICO E ANALISI DEGLI ERRORI
la funzione χ 2 (η) per il problema in esame si scrive:
χ 2 (η) =
[Xi(η) − X ex
i ]Wij(η)[Xj(η) − X ex
j ] (5.15)
ij
Minimizzando tale funzione si ottiene il valore più probabile di η, mentre
l’ intervallo di confidenza per tale parametro è fissato da un opportuno
∆χ2 attorno a χ2 min , pari rispettivamente a 1, 3.84 e 6.64 per intervalli di
confidenza del 68%, del 95% e del 99%.
Un’ analisi di questo tipo è in corso e, a breve, i risultati saranno pubblicati
in un pre-print.

Capitolo 6
Conclusioni
Gli uomini e le donne non si accontentano di consolarsi con miti di dei e di
giganti o di restringere il loro pensiero alle faccende della vita quotidiana;
costruiscono anche telescopi e satelliti e acceleratori e siedono alla scrivania
per ore interminabili nel tentativo di decifrare il senso dei dati che raccolgono.
Lo sforzo di capire l’ universo è tra le pochissime cose che innalzano
la vita umana al di sopra del livello di una farsa, conferendole un po’ della
dignità di una tragedia.
Steven Weinberg, I Primi Tre Minuti
Questo lavoro di tesi, pur se particolarmente vasto e dettagliato, non pretende
di condurre a risultati definitivi nell’ analisi del ruolo che le reazioni
nucleari svolgono nella fisica della Nucleosintesi Primordiale. In sintesi:
• Si sono sostanzialmente confermate le reazioni leading nella sintesi
e distruzione dei vari elementi H2, H3, He3 e He4, individuate con
chiarezza già in [63] (si veda l’ appendice C); per queste come per altre
reazioni sono stati comunque apportati significativi aggiornamenti.
• Si è verificata la compatibilità delle varie approssimazioni fatte (funzioni
di distrubuzione classiche, trascurabilità degli effetti di plasma,
equazioni del bilancio dettagliato . ..) con i limiti dell’ accuratezza
richiesta alle previsioni (∼ 10 −3 ).
• si è studiato in dettaglio il ruolo giocato dalle reazioni a tre corpi e
da altri processi tipicamente trascurati: in alcuni casi (ad esempio:
Li6(d,p)Li7, Li6(d,n)Be7, He3(t,γ)Li6) le reazioni trascurate (entro
gli errori attuali e per certe regioni dello spazio dei parametri) influiscono
anche più dell’ 1% sulle abbondanze finali. Per previsioni dettagliate
sulle osservabili della BBN, esse devono essere necessariamente
prese in considerazione.
123

124 CAPITOLO 6. CONCLUSIONI
• Sono state colmate alcune lacune presenti nel network: per nuclidi con
A ≤ 4, ne sono un esempio le reazioni H3(t,nn)He4, He3(t,np)He4,
He3(t,d)He4 che, seppure secondarie, giocano un ruolo più rilevante
della He3(τ,pp)He4. Per il network riguardante A ≥ 6, alcune di
queste lacune si rivelano essenziali, in particolar modo per stimare la
percentuale di elementi ”pesanti” sintetizzata.
Il merito maggiore di questo lavoro, tuttavia, deve a mio parere essere individuato
nel fatto che esso costituisce una necessaria premessa ad ogni
ulteriore approfondimento delle capacità predittive della BBN (nella versione
standard o in una delle sue varianti). Questo consentirà, ad esempio,
di porre limiti più robusti su Nν o sull’ intensità di campi magnetici primordiali;
temi che, per ovvie ragioni di spazio, non hanno potuto trovar
posto in questa tesi, ma che senz’ altro saranno almeno in parte analizzati
in successive pubblicazioni.
Vorrei concludere con alcune considerazioni di carattere più generale.
Uno degli aspetti più interessanti di questo lavoro di ricerca risiede nella profonda
interconnessione tra varie aree della fisica e, in particolare, di quella
astroparticellare.
Un esempio emblematico è costituito dall’ abbondanza primordiale (e dall’
evoluzione della stessa con la metallicità) del litio. Fra quelli osservabili, è l’
elemento maggiormente influenzato dai dettagli del network di reazioni nucleari;
effetti evolutivi di enhancement e/o depletion dei valori riscontrati nei
vari ambienti astrofisici sono probabilmente presenti, dovuti a delicati meccanismi
di fisica stellare, a contaminazioni da nucleosintesi da spallazione
dei raggi cosmici e dal processo-ν attivo nelle supernovae.
Tutti questi contributi si intrecciano in maniera non banale, chiamando in
causa sia aspetti di fisica fondamentale (η, Nν, proprietà dei neutrini ad alte
temperature e densità, ...) che di modellizzazione astrofisica.
Le varie osservazioni astronomiche, le misure nucleari, gli esperimenti e i progetti
per la determinazione di varie osservabili cosmologiche, affiancandosi
ai risultati della fisica delle alte energie, negli anni a venire consentiranno di
porre limiti sempre più significativi sui vari parametri e, forse, di rispondere
ad alcuni degli interrogativi più importanti della fisica attuale:
• Siamo in grado di inquadrare, almeno per grandi linee, l’ evoluzione
del cosmo entro i limiti della fisica nota?
• Cosa c’ è oltre il Modello Standard e in quale misura questa nuova
fisica ha influenzato o influenza tuttora il nostro universo o i peculiari
ambienti astrofisici che sembrano popolarlo?

Appendice A
Brevi Note di Relatività
Generale
1 In Relatività Generale, lo spazio-tempo è descritto da una varietà metrica
quadridimensionale; scelto un sistema di coordinate {x µ }, l’ elemento di
linea ds 2 si esprime in termini delle componenti della metrica {gµν} come:
ds 2 = gµνdx µ dx ν . (A.1)
Per poter eseguire il trasporto parallelo di campi tensoriali su una varietà (e,
quindi, confrontare tensori in punti diversi) è necessaria l’ introduzione di
un operatore di derivazione covariante ∇a; che chiederemo compatibile con
la metrica 2 :
∇agab = 0. (A.2)
Scelto un sistema di coordinate, per un generico campo ωµ avremo:
∇µων ≡ ων;µ = ∂µων − Γ λ
µν ωλ ≡ ων,µ − Γ ρ
µν ωρ
dove i coefficienti di connessione Γ ρ µν
(e della sua inversa) come:
Γ ρ
µν
(A.3)
si esprimono in termini della metrica
= 1
2 gρσ (∂µgσν + ∂νgµσ − ∂σgµν). (A.4)
Le propretà di curvatura della varietà sono descritte dal tensore di Riemann
definito dalla seguente:
R d
abc
[∇a, ∇b]ωc ≡ R d
abc ωd
(A.5)
1 Le notazioni adottate (come l’ uso delle lettere latine per gli indici astratti e di quelle
greche per la forma coordinata) ricalcano quelle presentate in [13], cui si rimanda anche
per ulteriori dettagli.
2 Ciò equivale a chiedere che i prodotti scalari siano conservati nel trasporto parallelo.
L’ operatore di derivazione covariante che verifica la A.2 esiste ed è unico.
125

126 APPENDICE A. BREVI NOTE DI RELATIVITÀ GENERALE
da cui si ricava:
R d
abc = ∂bΓ d
ac − ∂aΓ d
bc + Γ e
ac Γ d
be − Γ e
bc Γ d
ae . (A.6)
Quindi R d
abc dipende linearmente dalle derivate seconde di gab e quadraticamente
dalle derivate prime.
A partire dal tensore di Riemann si possono definire:
• Il tensore di Ricci, Rab:
• Lo scalare di curvatura R:
• Il tensore di Einstein, Gab:
Rac ≡ R b
abc
R ≡ g ab Rab
(A.7)
(A.8)
Gab ≡ Rab − 1
2 gabR (A.9)
Non tutte le componenti di R d
abc sono indipendenti, poichè esso soddisfa
alcune identità (algebriche e differenziali), fra cui le cosiddette identità di
Bianchi; queste implicano che Gab soddisfi le importanti relazioni:
∇aG a b
= 0. (A.10)
L’ idea centrale della teoria della gravitazione di Einstein è che le proprietà
metriche dello spazio-tempo dipendano dal contenuto di materia/energia
dell’ ambiente, descritto da un tensore energia-impulso Tab (da determinarsi
empiricamente). Tale legame è espresso dalle equazioni di campo 3 :
Gab[gcd] = 8πGTab[gcd]. (A.11)
Il moto della ”materia” avviene in accordo con le leggi di conservazione:
∇aT ab = 0,
che sono implicate dalle A.10 e A.11 4 .
3 Il fatto che la dipendenza dalla metrica compaia in entrambi i membri delle A.11
insieme alla loro non-linearità rende arduo trovare soluzioni esatte (o appprossiamate ma
significative) delle equazioni di campo di Einstein. Il fattore di proporzionalità 8πG può
essere determinato imponendo che nel limite di campi deboli e debolmente variabili e
per moti non-relativistici si ottenga il risultato newtoniano nella forma dell’ equazione di
Poisson.
4 Nel moto, quindi, la ”materia” risente della curvatura che essa stessa determina.

Appendice B
L’ Equazione di Boltzmann.
Nel seguito, viene ripercorsa per linee essenziali la derivazione dell’ equazione
di Boltzmann; per una trattazione dettagliata, si rimanda alla ricca letteratura
esistente (es: [14] o [15]).
Consideriamo lo spazio delle fasi del sistema di N particelle classiche, assunte
per semplicità prive di struttura interna; indichiamo collettivamente
con τk le variabili coniugate rk,pk in termini delle quali è descritto il moto
della k-sima particella. Una descrizione completa del sistema può essere
data dalla funzione di distribuzione di N particelle f (N) (τ1,... ,τk,...,τN),
che assumiamo normalizzata a 1 nello spazio delle fasi globale (cioè:
f (N) dτ1 ...dτk ... dτN = 1) e che descrive la probabilità di trovare la particella
1 in dτ1 attorno a τ1, la particella 2 in dτ2 attorno a τ2 ...la particella N
in dτN attorno a τN (la funzione è, in realtà, invariante sotto permutazione
dei nomi).
In termini di questa, integrando rispetto ad alcune delle variabili, si determinano
delle funzioni di distribuzione ”ridotte”: in particolare,
e
f (2)
(τ1,τ2) ≡ f (N) dτ3 ...dτN
f (1)
(τ1) ≡ f (N) dτ2 ...dτN.
Ad f (N) si applica il teorema di Liouville (equazione di continuità nello
spazio delle fasi):
df (N)
che, riespressa in termini di variabili canoniche, si scrive:
∂f (N)
∂t +
N
k=1
dt
˙rk· ∂f(N)
∂rk
127
= 0 (B.1)
+ ˙pk· ∂f(N)
= 0 (B.2)
∂pk

128 APPENDICE B. L’ EQUAZIONE DI BOLTZMANN.
dove, se H è l’ hamiltoniana del sistema,
˙rk = ∂H
∂pk
, ˙pk = − ∂H
.
∂rk
Nota la forma di H, dall’ equazione B.2 si può ottenere una gerarchia di
relazioni integrodifferenziali tra ogni f (k) e la corrispondente f (k+1) , detta
gerarchia BBGKY 1 ; tale riscrittura può essere utile se si sa ”chiudere”
il sistema ad un ordine sufficientemente basso, ricorrendo ad opportune approssimazioni.
Se si assume un interazione binaria tra le particelle derivabile
dall’ energia potenziale U12(|r1 −r2|), di range d

129
dove:
R δt drdp = numero di collisioni che avvengono nel periodo δt attorno a t,
in cui una delle particelle iniziali è in drdp attorno al punto (r,p).
¯R δt drdp = numero di collisioni che avvengono nel periodo t ÷t+δt, in cui
una delle particelle finali è in drdp attorno al punto (r,p).
Per semplicità, consideriamo il caso delle sole collisioni binarie; si può allora
stimare:
e, analogamente,
R(r,p1,t) =
¯R(r,p1,t) =
dp2
(2π) 3
dp ′
1
(2π) 3
dp ′
2
(2π) 3 (2π)3 δ (3) (pfin − pin)×
×2πδ(Efin − Ein)|Tfi| 2 f (2) (r,p1,p2,t) (B.7)
dp2
(2π) 3
dp ′
1
(2π) 3
dp ′
2
(2π) 3 (2π)3 δ (3) (pfin − pin)×
×2πδ(Efin − Ein)|Tif | 2 f (2) (r,p ′
1 ,p′ 2 ,t), (B.8)
dove r ≡ r1 − r2, e Tfi ≡< fin|T(E)|in >, essendo T l’ operatore di transizione
che descrive il processo in esame, mentre con |in > si intende lo stato
iniziale |1,2 > delle particelle ”entranti” e con |fin > quello finale |1 ′
,2 ′
>
delle particelle ”uscenti” dall’ interazione.
Poichè le interazioni che prenderemo in esame sono invarianti sotto inversione
temporale, vale :
(B.9)
Tfi = Tif
e, quindi, con ovvio significato dei simboli abbreviati:
∂f
=
∂t coll
¯
R − R =
dp2
(2π) 3
dp ′
1
(2π) 3
dp ′
2
(2π) 3 (2π)4 ×
×δ (3) (pfin − pin)δ(Efin − Ein)|Tfi| 2 [f (2) (1 ′
,2 ′
) − f (2) (1,2)].
Assumendo, ora, l’ ipotesi di caos molecolare B.5 avremo:
=
dp2
(2π) 3
dp ′
1
(2π) 3
che è l’ equazione di Boltzmann 1.37.
∂ p1
+
∂t m ·∇r
+ F1·∇p1 f1 =
dp ′
2
(2π) 3(2π)4 δ (4) (pfin − pin)|Tfi| 2 [f ′
1f ′
2 − f1f2], (B.10)

130 APPENDICE B. L’ EQUAZIONE DI BOLTZMANN.

Appendice C
Analisi Grafiche dei Rates di
Reazione
In questa appendice sono riportati in grafici in scala doppio-logaritmica gli
andamenti dei secondi membri delle equazioni di Boltzmann per l’ evoluzione
dei nuclidi. Anche se analisi simili (svolte anche in una fase preliminare
per suggerire nuovi canali possiblimente importanti) sono state eseguite su
tutte le reazioni, includendo sia i rates diretti che inversi, per brevità e maggiore
chiarezza espositiva sono stati qui riportati solo i termini corrispondenti
alle reazioni dirette(Q > 0) e sono stati trascurati numerosi processi
evidentemente secondari ai fini di stabilire le abbondanze dei nuclidi con
A ≤ 7.
C.1 H2
Nei grafici C.1 e C.2 sono riprodotti gli andamenti di alcuni rates di produzione
e di distruzione del deuterio.
Nel primo è evidenziato il ruolo predominante della reazione p(n,γ)H2 nella
sintesi di questo nuclide: i contributi delle reazioni forti a tre corpi, della
reazione debole p(p, ¯νee + )H2 e della backreaction He3(t,d)He4 si rivelano
essere di molti ordini di grandezza inferiori.
In distruzione, sono essenzialmente confermati gli andamenti evidenziati già
in [63], con un predominio delle reazioni H2(p,γ)He3 e H2(n,γ)H3 ad
alte temperature e delle reazioni forti tra i nuclidi H2, H3 e He3, oltre
alla H2(p,γ)He3 a temperature T9 ≤ 1. La soppressione dei rates della
H2(d,γ)He4 e della H2(α,γ)Li6 (mediate da operatori E2) è pure evidente.
C.2 H3
Come prevedibile, la maggiore reazione di sintesi è la H2(d,p)H3, mentre il
ruolo della 3-corpi nn(p,γ)H3 è, almeno nel range di temperatura rilevante
131

132 APPENDICE C. ANALISI GRAFICHE DEI RATES DI REAZIONE
per la BBN, del tutto trascurabile.
In distruzione, al di là del già noto ruolo di reazione ”leading” rivestito dalla
H3(d,n)He4, è da segnalare come la neo-introdotta H3(t,nn)He4 abbia un
valore ”di picco” inferiore di un solo ordine di grandezza alla H3(p,γ)He4
1 . Si vedano i grafici C.3 e C.4.
C.3 He3
Per questo nuclide dominano la H2(d,n)He3 e la H2(p,γ)He3 in produzione
e la He3(d,p)He4 in distruzione; fra le subleading, è da segnalare, rispetto
al caso del trizio, un’ importanza ancora più marcata delle reazioni
He3(t,np)He4 e He3(t,d)He4 introdotte nella nuova versione del codice.
Si vedano i grafici C.5 e C.6.
C.4 He4
E’ evidente il ruolo dominante svolto in produzione dalla H3(d,n)He4 e
dalla He3(d,p)He4 (e, in misura minore, dalla H3(p,γ)He4). A causa del
gap di stabilità in corrispondenza di A = 5, dell’ alta energia di legame
dell’ He4 e di quella relativamente bassa degli isotopi con A = 6 e 7, la
distruzione dell’ He4 è dovuta alle sole catture radiative di H2, H3 e He3
(oltre che a reazioni endoenergetiche). Si vedano i grafici C.7 e C.8.
C.5 Li6
Viene confermato il ruolo dominante della He4(d,γ)Li6 nella sintesi di
questo nuclide (alla quale si affianca la subleading He3(t,γ)Li6), mentre il
principale canale di distruzione risulta essere la Li6(p,τ)He4, come atteso.
Si vedano i grafici C.9 e C.10.
C.6 Li7
La sintesi diretta di questo nuclide è dominata dalla cattura radiativa del
trizio da parte di He4; è da osservare, però, come la neo-introdotta Li6(d,p)Li7
sia senz’ altro più rilevante della Li6(n,γ)Li7, che invece era già inclusa in
precedenza. In distruzione, alle reazioni e.m. e forti già presenti si affiancano,
con un ruolo non del tutto trascurabile, quelle forti dovute ad
interazioni con nuclidi con A = 3. Si vedano i grafici C.11 e C.12.
1 Il ruolo della H3(t, nn)He4 può essere anche molto più significativo in scenari
-standard o meno- con una maggiore abbondanza di neutroni.

C.7. BE7 133
C.7 Be7
Mutatis mutandis, può ripetersi il commento eseguito a proposito del Li7.
Si vedano i grafici C.13 e C.14.
Log 10ΓijXiXj
Log 10 ΓijXiXj
10
0
-10
-20
-30
-40
0
-5
-10
-15
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10 T9
Figura C.1: Rates di sintesi del deuterio.
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10 T9
Figura C.2: Rates di distruzione del deuterio.
nppdp
nnpdn
pndΓ
ppdeΝ
he3tad
ddn
ddp
dpΓ
dnΓ
tdn
Τdp
ddΓ
ΑdΓ

134 APPENDICE C. ANALISI GRAFICHE DEI RATES DI REAZIONE
Log 10 ΓijXiXj
Log 10 ΓijXiXj
0
-5
-10
-15
-20
-25
0
-2.5
-5
-7.5
-10
-12.5
-15
-0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10 T9
Figura C.3: Rates di sintesi del trizio.
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10 T9
Figura C.4: Rates di distruzione del trizio.
dnΓ
ddp
nnpΓ
tpΓ
ΑtΓ
tdn
ttnn
Τtd
Τtpn
ΤtΓ

C.7. BE7 135
Log 10 ΓijXiXj
Log 10 ΓijXiXj
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
-2.5
-5
-7.5
-10
-12.5
-15
-17.5
-0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10 T9
Figura C.5: Rates di sintesi dell’ elio-3
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10T9
Figura C.6: Rates di distruzione dell’ elio-3.
dpΓ
ddn
nppΓ
ΤnΓ
ΑΤΓ
Τdp
ΤΤΑpp
ΤtΑd
ΤtΑpn
ΤtΓ

136 APPENDICE C. ANALISI GRAFICHE DEI RATES DI REAZIONE
Log 10 ΓijXiXj
Log 10 ΓijXiXj
0
-2.5
-5
-7.5
-10
-12.5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-15
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10T9
Figura C.7: Rates di sintesi dell’ elio-4.
-0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10 T9
Figura C.8: Rates di distruzione dell’ elio-4.
ΑdΓ
ΑtΓ
ΑΤΓ
tpΓ
ΤnΓ
tdn
Τdp
ΤΤpp
ΤtΑd
Τtnp
ttnn

C.7. BE7 137
Log 10ΓijXiXj
Log 10 ΓijXiXj
0
-20
-40
-60
-80
-100
-5
-7.5
-10
-12.5
-15
-17.5
-20
-0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10 T9
Figura C.9: Rates di sintesi del litio-6.
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10T9
Figura C.10: Rates di distruzione del litio-6.
ΑdΓ
ΤtΓ
ΑnpΓ
li6nt
li6pΓ
li6pΤ
li6dΑ
li6dn&

138 APPENDICE C. ANALISI GRAFICHE DEI RATES DI REAZIONE
Log 10ΓijXiXj
Log 10ΓijXiXj
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
0
-5
-10
-15
-20
-25
-0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10T9
Figura C.11: Rates di sintesi del litio-7.
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10T9
Figura C.12: Rates di distruzione del litio-7.
li6nΓ
li6dp
ΑtΓ
li7pΑ
li7dn
li7Τpn
li7Τd
li7tnn
li7nΓ
li7tn

C.7. BE7 139
Log 10ΓijXiXj
Log 10 ΓijXiXj
-7.5
-10
-12.5
-15
-17.5
-20
-7.5
-10
-12.5
-15
-17.5
-20
-22.5
-25
-0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10 T9
Figura C.13: Rates di sintesi del berillio-7.
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Log 10T9
Figura C.14: Rates di distruzione del berillio-7.
li6pΓ
li6dn
ΑΤΓ
be7nΑ
be7dp
be7Τpp
be7td
be7tnp
be7tp

140 APPENDICE C. ANALISI GRAFICHE DEI RATES DI REAZIONE

Appendice D
Modelli per le Previsioni dei
Rates
D.1 Introduzione
Si consideri una reazione X + a −→ Y tra i due nuclei a (”proiettile” di
massa ma, spin Sa e parità intrinseca πa) e X (”bersaglio” di massa mX,
spin SX e parità intrinseca πX), dove Y è un particolare stato finale (a due
o più corpi).
Come noto, la descrizione del loro moto relativo è riconducibile (sia in Meccanica
Classica che in quella Quantistica) al problema ”ridotto” (ad un
corpo) nel centro di massa del sistema. Nella descrizione del processo di
interazione, postuliamo le proprietà seguenti:
1. L’ interazione nucleare è a corto range; a tutti gli effetti, può considerarsi
nulla quando la distanza relativa dei due corpi r supera un certo
valore RN;
2. considerando i nuclei sferici e con raggio dato dalla:
assumiamo che sia
R = R0 A 1/3 , R0 ∼ 1.3fm
RN = R0(A 1/3
X
+ A1/3
a );
3. una caratteristica essenziale dell’ interazione nucleare è la sua natura
”a molti corpi”; per r < RN non ha molto senso parlare di una funzione
d’ onda del sistema dipendente dalle variabili di una sola particella;
tuttavia, i successi del ”modello ottico” dimostrano che una descrizione
abbastanza efficace del comportamento del sistema in tale regione può
ottenersi considerando la particella (di massa ridotta µXa ed energia
E(> 0)) in una ”buca sferica di potenziale”; dovendo ricorrere ad un
modello illustrativo, assumeremo tale buca di profondità costante −V0
141

142 APPENDICE D. MODELLI PER LE PREVISIONI DEI RATES
(V0 reale e V0 > 0) che si estende da r = 0 a r = RN. Un valore
indicativo della profondità della buca è V0 ∼ 40MeV ; grossomodo,
esso coincide con quello necessario per spiegare il nucleo come gas di
Fermi in una buca di potenziale (si consulti [24], formule 2.27 e 2.31
con R ′
0 ∼ 1.2fm).
4. Sia la parte risonante che quella non risonante della sezione d’ urto
dei processi considerati possono descriversi con ragionevole approssimazione
nell’ ambito del modello di CN (o di Bohr); si trascura l’
eventuale presenza di termini di DI e d’ interferenza. Il problema è
separato nei due sottoproblemi di determinazione della σ CN di formazione
del nucleo composto e del branching ratio bY di decadimento
del CN nel canale Y considerato, cioè:
σX+a→Y (E) = σ CN (E)bY (E)
5. per il contributo non risonante, considereremo il solo momento angolare
orbitale del sistema, trascurando gli spin delle particelle; si tratta
di un’ utile semplificazione, che non è sostanziale e, nel modello di
Bohr, conduce agli stessi risultati della teoria ”completa” 1 ;
Per r > RN, la sola interazione rilevante è quella e.m. (radiale e a lungo
range) VCoul = ZXZaαem
r , che commuta col momento angolare; è utile, allora,
sviluppare la funzione d’ onda ψ del sistema in armoniche sferiche2 :
ψE(r,θ) =
∞
l=0
χl(r,E)
Yl0(θ), (D.1)
r
dove le χl soddisfano l’ equazione agli autovalori ”radiale”:
− 1
2µXa
d 2
dr
2 + l(l + 1)
ZXZaαem
+
2µXar2 r
− E χl(r,E) = 0 (D.2)
la generica soluzione della D.2 è esprimibile mediante una combinazione
lineare delle funzioni di Coulomb regolari Fl(r,E,ηS) e irregolari Gl(r,E,ηS)
3 , per le cui propietà e caratteristiche si rimanda, ad esempio, a [31], (vol.I,
App. B) :
χl(r) = aFl(r) + bGl(r).
Anche per r < RN, nelle ipotesi da noi fatte, siamo ricondotti alla risoluzione
1 A meno che non si sia intressati ad osservabili come la polarizzazione delle particelle
in uscita e/o alla loro distribuzione angolare. Si veda [25].
2 Poichè nel modello in esame non ci sono altre direzioni privilegiate rispetto all’ asse
di collisione, scegliendo questo come asse z non ci può essere dipendenza dall’ angolo
azimutale φ, i.e. da armonche sferiche con m = 0.
3 Si noti che queste dipendono, in generale, anche dall’ energia di Gamow, o,
equivalentemente, dal parametro di Sommerfeld ηS.

D.1. INTRODUZIONE 143
Figura D.1: Il potenziale radiale dell’ equazione di Schrödinger per il modello
descritto, con il tipico andamento della funzione d’ onda per una particella
incidente sulla barriera di potenziale.
di una equazione radiale; la D.2 viene sostituita dalla:
d2 dr2 − (V0
+ E) χl(r,E) = 0 (D.3)
− 1
2µXa
che ha la generica soluzione (onda ”entrante” nel nucleo più onda ”uscente”,
se si ricorda che l’ evoluzione temporale è data da e −iEt ):
dove
K ≡
χl(r) = Ae −iKr + B e +iKr , (D.4)
k2 + K2 0 ≡
2µXa(E + V0).
I coefficienti (complessi) a,b,A,B sono determinati: dalla normalizzazione
della funzione d’ onda radiale χl, dalle condizioni di raccordo di χl e della
sua derivata prima in r = RN e dalle condizioni al contorno variabili da
problema a problema.
Viste le ipotesi precedenti, è naturale sviluppare anche la sezione d’ urto σ
in onde parziali:
∞
σ =
σl
l=0
dove σl è il contributo dovuto all’ urto nell’ l-esima onda parziale. La
condizione di unitarietà implica il seguente limite superiore per le σl (con

144 APPENDICE D. MODELLI PER LE PREVISIONI DEI RATES
k = 2π/λ):
σl ≤ (2l + 1) π
k 2.
Come già detto, nella sezione d’ urto per un certo processo possiamo distinguere
(non senza una certa arbitrarietà) un regime non-risonante da uno
risonante.
D.2 Sezioni d’ urto non risonanti
Una grossolano modello di descrizione della formazione non risonante di un
nucleo composto si può ottenere ponendo B=0 nella soluzione D.4 precedentemente
descritta 4 .
In accordo col modello di Bohr, scriviamo:
σl = (2l + 1) π X,a
T
k2 l (E)b Y l (E + Q), (D.5)
dove T X,a
è il coefficiente di trasmissione, che dà la probabilità che la par-
l
ticella (”ridotta”) incidente con energia E provieniente da r = +∞ penetri
nella regione con r < RN e bY l il branching ratio(≤ 1) del CN relativo al
canale Y 5 ; si noti che, nel limite in cui il modello di Bohr è esatto, bY dipende solo dalle proprietà del CN, cioè Q + E (energia a disposizione per
il canale d’ uscita), il momento angolare e lo spin; il problema di stimare i
bY l è rimandato al paragrafo seguente.
I coefficienti di trasmissione possono essere ottenuti dalle soluzioni presentate
in precedenza e, nel limite di bassa energia (E

D.2. SEZIONI D’ URTO NON RISONANTI 145
P0
EC
E exp
EG
−
E
Pl ∼ P0 exp
−
4l(l + 1)
x
(particelle cariche bassa energia)
(particelle cariche bassa energia)
Nel caso molto rilevante di rates non risonanti indotti da particelle cariche
la 3.31 porge la formula:
< σv >Xa=
8 4πE
π
a 0
3µXaT 2Sa eff (Ea 0 (T))e−3Ea 0 /T . (D.7)
La determinazione di Ea 0 e µXa è immediata; ho valutato la Sa eff con una
variante del metodo descritto da Fowler e Hoyle nell’ appendice C del lavoro
[38] 6 , che porge7 :
S a eff(E a 0(T)) xaπ
2µXa
Ea C
V0
βΓ2
×
Γ
×exp 2x − 4E
e
3xaER
1/x 4
−
[1 − e xa (La+1)2
] (D.8)
dove Ei C ≡ Zi1Zi2αemE i N , Ei R ≡ Ei 2
N
2µi , xi = 2
Ei C /Ei R e Li ≡
E i 0 /Ei N ;
il fattore 〈 βΓ2
Γ 〉 dipende dai dettagli del modello ottico (parte reale e immaginaria)
e dalle proprietà del canale d’ uscita della reazione (per ulteriori
informazioni, si rimanda al [38]).
Avendo a disposizione il rate di una reazione W +b speculare rispetto a quella
in esame X + a, poichè il fattore astrofisico descrive essenzialmente gli
effetti ”nucleari”, nel limite in cui la simmetria di isospin valga esattamente
è ragionevole attendersi che le due funzioni Sa eff (E) e Sb eff (E) abbiano anda-
mento analogo e, soprattutto, siano caratterizzate dagli stessi fattori 〈 βΓ2
Γ 〉;
una stima del rate incognito può ottenersi moltiplicando quello ”noto” per
il rapporto dei rates determinato mediante la D.7 e la D.8 8 .
E’ plausibile che questo metodo dia risultati corretti entro un ordine di
grandezza, visto che le correzioni riguardano essenzialmente i contributi
”elettromagnetici” al rate. Questa congettura si è rivelata corretta dopo
una verifica delle previsioni che il modello dava per le coppie di reazioni
speculari per le quali disponevo di dati: tipicamente l’ errore commesso è
risultato inferiore ad un fattore 2.
6 Per chi fosse interessato a ripercorrere i passaggi, le relazioni fondamentali usate sono
la C23, la C34, la C35 e la C51; la formula da me usata deriva da una generalizzazione
della C48.
7 La D.8 si riduce alla C58 nel limite in cui e 1/x [1 − e − 4
xa (La+1)2
] → 1.
8 Si noti che, in tale approssimazione, il rapporto tra i rates non dipende dalla profondità
media della buca di potenziale nucleare V0, come è ragionevole attendersi.

146 APPENDICE D. MODELLI PER LE PREVISIONI DEI RATES
Nel caso in cui non si abbiano dati su una reazione analoga, un upper limit
”generoso” si ottiene ponendo pari ad uno il fattore 〈 βΓ2
Γ 〉. Per le reazioni
forti, questo procedimento porta tipicamente a sovrastimare il rate di uno o
due ordini di grandezza: pertanto in tali casi il valore adottato è un decimo
di quello ottenuto dal modello (che è assunto come upper limit), mentre il
lower limit è stimato pari ad un centesimo di quello massimo.
Per stime assolute di rates di catture radiative, invece, l’ upper limit dedotto
nella maniera precedente risulta troppo grande; in questi casi si è adottato un
modello sviluppato nell’ appendice C del lavoro [38], (formula C60 ′
), adatto
al caso in cui il canale d’ ingresso quasi satura l’ intera ampiezza (Γ1 ∼ Γ),
come spesso accade per le reazioni di DC. Per la stima dei parametri incogniti
presenti in tale formula sono state utilizzate le relazioni dedotte da dati
sperimentali pubblicate in [20], pagg. 47-48; l’ upper e il lower limit per
queste reazioni sono ottenuti moltiplicando rispettivamente per 10 e 0.1 il
rate calcolato col modello9 .
Ai rates così determinati andrebbero aggiunti gli eventuali contributi delle
code di risonanze di sottosoglia (anche queste contribuiscono al rate in
maniera non-risonante), ricavate come è discusso nel paragrafo seguente.
D.3 Sezioni d’ urto risonanti
Una sezione d’ urto risonante ha il tipico andamento descritto dalla funzione
di Breit-Wigner:
σ(E) = π
k2ω Γa(E)Γb(E)
(E − ER) 2 + (Γ/2) 2
(D.9)
Una derivazione elementare di tale andamento può ottenersi anche dal nostro
semplice modello, purchè si ammetta il caso limite opposto a quello
considerato nel paragrafo precedente, dato da |B| = |A| nell’ equazione D.4;
questo equivale a supporre che una volta formatosi il CN, esso possa ricadere
nel canale di ingresso (|B| = 0) con la stessa energia con cui si è formato
(B| = |A|). Visto che le stime eseguite hanno al più carattere indicativo,
mi sono limitato a prendere in considerazione le sole risonanze strette, che
costituiscono senz’ altro il contributo risonante ai rates più frequente e significativo.
Come si è visto nel capitolo 3, questo contributo può scriversi:
< σv >
2π
µT
3/2
(ωγ)i e −Ei/T
i
(D.10)
9 Tipicamente, ho verificato che la previsione tende a sottostimare il rate a basse T9,
mentre è di poco superiore nel range T9 ∼ 5 ÷ 10.

D.3. SEZIONI D’ URTO RISONANTI 147
dove abbiamo indicato con Ei le energie delle risonanze, con (ωγ)i le forze
delle risonanze, date da:
(ωγ)i ≡
2JR + 1
(2sX + 1)(2sa + 1) ×ΓXaΓY
Γ
e ΓXa, ΓY , Γ sono rispettivamente le ampiezze del canale di ingresso, di
uscita e totale della risonanza. Le ampiezze Γi sono pari a ¯h = 1 per la
costante di decadimento del nucleo (λi = τ −1
i ) attraverso il canale i-esimo e,
in generale, sono funzioni dell’ energia; nel definire la forza di una risonanza
r, le ampiezze si intendono valutate in Er.
Nelle tavole degli isotopi sono riportate sia le energie di eccitazione dei nuclei
E ∗ (da cui possiamo derivare le energie di risonanza come Er = E ∗ −Q) che
le vite medie τ degli stati fondamentali ed eccitati. Le uniche incognite sono i
branching ratios dei due canali bX ≡ ΓXa/Γ e bX ≡ ΓY /Γ ; chiaramente vale
bi ≤ 1, mentre un limite superiore al loro prodotto è dato da bXabY = 1/4,
che si ottiene quando l’ intera ampiezza del CN è data proprio dai canali
di ingresso e di uscita, e questi sono peraltro equiprobabili; se uno dei due
canali è quello dominante, il suo b.r. sarà ∼ 1 e, quindi, il prodotto sarà
circa uguale al b.r. della transizione meno probabile 10 .
Per stimare le ampiezze di transizione (e quindi i b.r.’s) è necessario ricorrere
a modelli della regione nucleare; solitamente, si scrive:
Γi = 2kRNPlγ 2 i , (D.11)
con le γ2 i dette ampiezze ridotte. La scrittura usata nella D.11 ha il vantaggio
di separare i contributi all’ ampiezza dovuti alle condizioni ”esterne” alla
regione nucleare da quelli dovuti alla struttura ”interna”, parametrizzati
dalle γ2 i e che sono essenzialmente indipendenti dall’ energia.
Questo risulta evidente dal calcolo seguente. La costante di decadimento
λ = 1/τ = Γ del CN è la probabilità per unità di tempo che la particella
a attraversi una superficie sferica a distanza r, quando r tende all’ infinito.
λ è data, quindi, dal prodotto della probabilità di trovare la particella a su
questa superficie, per la velocità che essa possiede (”libera”):
2E
λ = lim |ψE(r,θ)|
x→∞ µaX Ω
2 r 2 dΩ
Se scriviamo ψE(r,θ) = χl(r)
r Yl0(θ) otteniamo
2E
λ = |χl(∞)|
µaX
2 ,
10 Questo è quanto accade tipicamente con le catture radiative, per le quali b

148 APPENDICE D. MODELLI PER LE PREVISIONI DEI RATES
cioè:
che implica:
2E
Γl(E) = Pl(E,RN)|χl(RN)|
µaX
2
1
γ 2 i =
2µXaRN
|χl(RN)| 2 .
(D.12)
Coerentemente con quanto asserito, l’ ampiezza ridotta dipende completamente
dalle condizioni interne al nucleo 11 , che determinano la |χl(RN)| 2 .
Una stima delle ampiezze ridotte, dovuta a Wigner, si basa sulla nota propietà
che la densità della materia nucleare è quasi uniforme sino al ”bordo”
del nucleo; tenendo conto del fatto che |χl(Rn)| 2 è la densità volumica di
probabilità di trovare la particella a presso una distanza Rn , ciò consente
di stimare:
da cui si ricava il limite di Wigner
|χl(Rn)| 2 4πR2 n
(4π)/3R 3 n
3
γ 2 i =
2µXaR2 N
= 3
Rn
. (D.13)
E’ doveroso chiarire che l’ interno del nucleo è stato descritto in maniera
molto grossolana; non di rado, i valori sperimentali sono inferiori di 2-3 ordini
di grandezza rispetto ai limiti (superiori) di Wigner.
Sinora si è considerato il caso di un decadimento del CN in due particelle.
Ovviamente, lo stato eccitato di energia Er, può decadere in uno stato di
energia inferiore Ef per emissione γ; per stime grossolane, si possono usare
gli andamenti funzionali previsti da Weisskopf 12 (ottenuti considerando
transizioni e.m. di un singolo protone che passi da uno stato all’ altro del
modello a shell del nucleo, con una funzione d’ onda costante entro il raggio
nucleare e nulla all’ esterno):
ΓL(Eγ) = wL
Eγ
1MeV
2L+1
(D.14)
dove Eγ = Er − Ef, L è l’ ordine di multipolo della radiazione emessa e le
wL sono costanti espresse tipicamente in eV che dipendono solo da L e dal
CN.
Nella tabella D.1 sono riportati i wL in funzione di L e A così come sono
previsti dal modello di Weisskopf per i multipoli più bassi. Si noti pure che:
11 Si osservi come non vi sia dipendenza esplicita delle Γi dalla RN; questa grandezza
entra nella definizione delle γ 2 i (D.11) solo perchè queste abbiano le dimensioni di un’
energia.
12 Per calcoli dettagliati relativi a transizioni di dipolo elettrico si usano di solito modelli
più raffinati, come quelli della GDR- Giant Dipole Resonance- o altri; si vedano le Ref.
citate in [32].

D.4. REAZIONI ENDOENERGETICHE 149
ordine multipolo L wL (eV)
E1 1 6.8×10 −2 A 2/3
M1 1 2.1×10 −2
E2 2 4.9×10 −6 A 4/3
M2 2 1.5×10 −8 A 2/3
Tabella D.1: Stime di Weisskopf da [30], pag. 83.
• la dipendenza da E delle Γ(Eγ) non è tanto drastica come nel caso di
emissioni di particella
• fissata Eγ, la dipendenza delle Γ da L è molto forte, con le Γ che
decrescono rapidamente con L
• le Γ hanno un ordine di grandezza dell’ eV o inferiore, contro i MeV
che tipicamente caratterizzano le Γ di emissione di particelle.
Il contributo al rate non-risonante dato dalle code delle risonanze di sottosoglia
(che ha senso prendere in considerazione solo se non si verifica
(Q − Er)/Γ >> 1, con Er < 0) può essere descritto dalla 3.31, con la
S(E0) dedotta dalla formula di Breit-Wigner:
S(E0) = πω
2µXa
exp
EG
E0
D.4 Reazioni Endoenergetiche
Γ 2
(E0 − Er) 2 + (Γ/2) 2babb.
(D.15)
Se una reazione è endoenergetica (Q < 0), le considerazioni precedenti possono
evidentemente applicarsi alla sua inversa; eventuali dati o previsioni
sulla reazione endoenergetica possono convertirsi in informazioni sulla inversa
mediante il principio del bilancio dettagliato. Tuttavia, laddove la
reazione esoenergetica sia a tre corpi, il formalismo sviluppato in precedenza
non è più adeguato, ma risultano ancora adeguate le informazioni che si
possono trarre dalla teoria precedentemente esposta sulla reazione inversa a
Q < 0, purchè questa sia a due corpi.
Caratteristica comune di tutte queste reazioni è che esse presentano una
soglia, cioè la loro sezione d’ urto è nulla per energie del proiettile inferiori
ad un certo valore, che coincide con il Q-valore della reazione ”convertito”
nel Sistema del Laboratorio.
Se per reazioni esoenergetiche il nostro interesse era rivolto in particolare
al comportamento della sezione d’ urto a bassa energia, in questo caso è
cruciale il comportamento nei pressi della soglia di reazione. Cosa possiamo
dire su tale andamento in base alle considerazioni svolte nei paragrafi precedenti?

150 APPENDICE D. MODELLI PER LE PREVISIONI DEI RATES
Che si parta dalla formula di Breit-Wigner D.9 o dalla teoria non risonante
(si veda la D.5), tenendo presente le espressioni delle Γ in termini delle Tl e
di queste in termini delle Pl, si trova:
⎧
⎨ E
σ(E) ∝
⎩
−1/2 (neutroni)
E−1
exp − (p. cariche)
EG
E
per le reazioni esoenergetiche con E → 0, e
⎧
⎪⎨ E
σ(E) ∝
⎪⎩
′1/2
(neutroni)
exp − (p. cariche)
EG
E ′
per le reazioni endoenergetiche con E ′ = E − Q → 0.
Le differenze sono dovute al ruolo del fattore λ 2 , che nel primo caso va come
E −1 , nel secondo va come (Q + E ′ ) −1 ∼ cost., (per E ′

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