Le Reazioni Nucleari nella Nucleosintesi Primordiale - INFN Napoli

18 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI COSMOLOGIA STANDARD
In base a quanto detto, il modello cosmologico di FLRW non ammette un
universo in equilibrio T.D.. Tuttavia, ai fini applicativi, si può assumere
con buona approssimazione che, a partire da un qualche momento successivo
al Big Bang, sufficientemente remoto nel tempo da non avere conseguenze
rilevanti sulle osservabili prese in esame, l’ evoluzione dell’ universo possa
considerarsi come un susseguirsi di varie fasi di (diversi) equilibri termodinamici,
con la temperatura T che, limitandosi ad una fase primordiale dominata
da specie relativistiche, varia circa come a −1 .
Ricordando la forma della distribuzione di ”equilibrio” per la specie i-esima
(omettiamo per brevità i pedici ”eq”)
fi(p) =
1
exp ( Ei−µi )±1 Ti
(+ : F , − : B)
(dove F sta per fermioni e B per bosoni), siamo in grado di esprimere le
grandezze termodinamiche caratteristiche, definite dalle seguenti relazioni:
ni = gi
ρi = gi
Pi = gi
d 3 pi
(2π) 3 fi(p) = gi
2π 2T 3 D ± 1,1 (xi,yi) (1.68)
d 3 pi
(2π) 3Eifi(p) = gi
2π 2T 4 D ± 2,1 (xi,yi) (1.69)
d 3 p 2 i
(2π) 3
|p| 2
3Ei
fi(p) = gi
6π 2T 4 D ± 0,3 (xi,yi) (1.70)
< Ei >= ρi
mediante le funzioni D ± ab (x,y) definite come:
e
ni
D ± ∞ v
ab (x,y) ≡
x
a (v2 − x2 ) b/2
exp(v − y)±1 dv
xi ≡ mi
Ti
, yi ≡ µi
;
Ti
(1.71)
Esse non sono, in generale, calcolabili in forma analitica; tuttavia, delle
espressioni semplici possono ottenersi in vari casi-limite:
1. Specie Non Relativistiche (Ti > 1, e, posto v − x ≡ k, si ha: (v 2 − x 2 ) =
(v − x)(v + x) = k(2x + k); mettendo in evidenza le x e trascurando i
termini quadratici in (k/x) si ottiene:
D ±
ab (x,y) 2b/2 x a+b/2 e y−x
∞
0
dke −k
k b/2 + k b/2+1
4a + b
4x